Dans le cadre de la création de cette métrique, un grand nombre d’analyses ont été effectuées. En effet, il s’agit ici de comprendre le raisonnement ayant abouti à la création et à la validation de cet indice.
Approche générale
Afin de créer un indice de densité cohérent, plusieurs caractéristiques entrent en compte. D’une part, on souhaite avoir une plus forte densité dans les zones courbées. En effet, il y a, dans ces zones-là, des détails à conserver et des géométries à recréer. D’autre part, il est nécessaire de simplifier un peu plus les zones dénuées de relief du fait de l’absence de détails. Enfin, une densité moyenne plutôt élevée est préférable pour une bonne modélisation des objets en général.
La formule choisie pour calculer l’indice est issue de celle du NDVI (Normalized Difference Vegetation Index)41. Cet indice est utilisé en télédétection pour combiner les réflectances dans le rouge et les réflectances dans l’infrarouge afin de détecter les zones de végétation sur des images satellitaires. De la même manière, cette formule est utilisée ici pour combiner dans un seul et même indice les différentes densités du nuage de points (zones de courbure, zones planes et nuage général). En théorie, il peut varier entre -1 et 1.
Il a été choisi de définir l’indice final, nommé NDDI (Normalized Difference Density Index), en additionnant deux sous-indices. Premièrement, un premier sous-indice permet d’évaluer la différence entre la densité la plus forte (apparentée aux courbures) et la densité générale (moyenne). Deuxièmement, un second sous-indice permet lui de combiner la densité générale à la densité la plus faible (apparentée aux zones planes). L’idée de la prise en compte de ces trois valeurs de densité est de caractériser la répartition des points en fonction de la géométrie des lieux. Enfin, pour finir, une somme de ces deux sous-indices donne l’indice final caractérisant le critère de densité.
Cet indice se calcule suivant la formule i = ((DC – DG) / (DC + DG)) + ((DG – DP) / (DG + DP)) avec :
41 Carl JORDAN, article “Derivation of Leaf-Area Index from Quality of Light on the Forest Floor” publié dans Ecology Vol. 50 numéro 4, Juillet 1969
66 DG la densité générale moyenne du nuage de points
DC la densité calculée dans les parties du nuage de points courbées DP la densité calculée dans les parties du nuage de points planes
Il est à noter que l’indice peut, en théorie, prendre valeur entre -2 et 2. Cependant, dans le cas présent, étant donné que DC >= DG >= DP, il ne peut pas être négatif.
Calculs des densités
Les trois valeurs de densité sont issues d’une étude statistique des données. En effet, lors du calcul d’un champ de valeurs, le logiciel CloudCompare propose l’affichage d’un histogramme et la création d’un fichier .csv (tableur) contenant toutes les informations obtenues par ce calcul. La méthode de calcul de la densité permet de déterminer le nombre de voisins que possède un point dans un rayon donné. Dès lors, après avoir calculé la densité en tant que champ de valeurs, il est possible d’exporter un tableau récapitulant par exemple le nombre de points par classe de densité (classes correspondant à différents nombres de voisins).
Le calcul d’une moyenne pondérée du nombre de points par classe permet alors de déterminer DG de manière évidente en prenant toutes les valeurs en compte. A l’inverse, la définition de DP et DC exige un peu plus de réflexion. Les valeurs de DP et DC sont choisies en calculant les moyennes pondérées de toutes les valeurs respectivement situées en dessous du premier quartile pour DP et au-dessus du troisième quartile pour DC. La prise en compte des quartiles pour déterminer les valeurs de densité représentant les zones de courbures et les zones planes est un choix statistique. Ce choix fut néanmoins validé par une étude de plusieurs nuages de points échantillonnés à l’aide d’une pondération par la courbure. Grâce aux histogrammes, cette étude a permis de montrer que 25% des dernières valeurs est un choix plutôt représentatif des endroits possédant de fortes courbures. De même, ce choix de quartile a été validé une nouvelle fois après un test sur un nuage de points régulier (voir figure ci-après).
Corrélation entre densité et courbure
Le but de l’établissement d’un tel critère est d’évaluer la qualité de la répartition des points offerte par chaque méthode d’échantillonnage. Les indices donnés aux valeurs de densité DC, DG et DP correspondent respectivement aux mots « courbures », « générale » et
67
« planéité ». Ces noms ont été prédéfinis en fonction des résultats attendus à l’issue d’échantillonnages irréguliers. En effet, ils découlent du fait que l’on connaisse la tendance des résultats, caractérisée par plus de points dans les zones courbées notamment. Cependant, lors de la mise en place du critère, une remarque intéressante a pu être faite : il existe une corrélation naturelle entre densité et courbure.
Les premiers calculs de densité ont été lancés à partir de nuages échantillonnés de manière régulière. Le but était de créer un nuage irrégulier ayant subi un sous-échantillonnage pondéré par la courbure pour pouvoir tester la formule de l’indice du critère de densité. C’est à partir d’une comparaison entre le champ de valeur de la courbure et celui de la densité sur le même nuage qu’est apparue l’existence d’une corrélation entre les deux paramètres. En effet, les endroits montrant une plus forte courbure se sont tous avérés avoir une forte densité. La présence de cette corrélation n’ayant pas de conséquences sur la détermination de la valeur de l’indice, il a été choisi de poursuivre le test envisagé afin de tenter de comprendre l’origine de cette corrélation et plus spécifiquement déterminer le bon fonctionnement de l’indice.
Figure 16 : Echantillon et histogramme représentant la variation de courbure (bleu pour le plat et vert pour les courbures)
68
Premiers résultats
Le test principal envisagé a été poursuivi malgré la remarque précédente. Pour satisfaire à l’élaboration de l’indice, le but est d’effectuer une comparaison entre un nuage irrégulier et un nuage régulier (un point tous les 8 cm). Le premier possède un échantillonnage irrégulier supposé avoir une plus forte densité dans les endroits courbés et une densité plus faible aux endroits sans relief. Le second est supposé être régulier puisqu’il est issu de l’algorithme d’échantillonnage de CloudCompare. Les nuages utilisés représentent donc le même endroit et possèdent le même nombre de points (6 343 points). Grâce à l’export des valeurs sous Excel, plusieurs calculs ont eu lieu, notamment pour vérifier que la formule utilisée fonctionnait correctement pour la détermination des trois valeurs de densité. La densité est exprimée en nombre de voisins. Un autre constat fut alors effectué d’après les résultats obtenus :
Nuage régulier, DC = 26.3 DG = 19.2 DP = 13.0 Nuage irrégulier, DC = 34.6 DG = 21.3 DP = 12.0
Comme on peut l’observer, les résultats indiquent une meilleure répartition des points pour le nuage irrégulier qui possède une densité dans les courbures plus forte et une densité dans les zones planes plus faible. Cependant, les densités d’un nuage régulier devraient se valoir approximativement du fait, justement, de la régularité du nuage qui implique qu’il n’y ait pas de différence de densité.
En plus d’une corrélation entre densité et courbure, un nuage supposé régulier révèle avoir des densités différentes. Plusieurs tests ont alors permis de comprendre ces résultats, d’en obtenir d’autres et, à terme, de valider la méthode de calcul.
Test avec un nuage synthétique
Un nuage régulier nominal, créé par un programme, répartit 251 000 points sur 5 mètres carré formant ainsi un quadrillage de un point tous les centimètres. Le but de ce test est multiple. Tout d’abord, il s’agit de déterminer si la méthode de calcul de la densité de CloudCompare est bien efficace. De plus, cela permet de tester la méthode de calcul de l’indice avec la comparaison des trois valeurs de densité obtenues.
En premier lieu, ce nuage a permis de confirmer que le calcul de densité effectué par CloudCompare correspond bien à la réalité. De fait, les densités issues de l’histogramme
69
caractérisent bien la régularité d’un nuage. Par la suite, les résultats suivants ont été obtenus avec notre méthode :
Nuage « vraiment » régulier, DC = 316 DG = 312 DP = 308
La différence d’ordre de grandeur avec les résultats des deux premiers nuages, due à une différence d’échantillonnage, n’influe pas sur l’interprétation suivante. Les trois valeurs de densité étant très proches, il est déduit que leur calcul se fait de manière correcte. Les quelques différences de densité s’expliquent principalement par le fait que les bords du nuage n’aient pas la même densité que le reste.
Figure 18 : Nuage régulier synthétique et ses histogrammes de densité pour 1 cm et 2 cm de pas d’échantillonnage
Validation avec deux échantillons au relief différent
Dans le but de valider la méthode de calcul de l’indice de densité, un dernier test a été effectué et a permis de répondre à l’interrogation subsistant sur la corrélation entre densité et courbure. En s’appuyant sur l’étude de la courbure, deux parties contenant approximativement le même nombre de points ont été segmentées du nuage régulier principal. Ces deux parties ont été choisies en fonction de la valeur de courbure moyenne dans ces régions. Un premier segment correspond au sol et a donc une courbure plutôt faible. Le second est issu d’un endroit éboulé arborant une courbure maximale. Une étude précise de densité a alors été menée.
Les densités se sont avérées être les suivantes :
Nuage avec relief, DC = 18.7 DG = 11.8 DP = 10.2 Nuage sans relief, DC = 10.2 DG = 8.0 DP = 6.2
On observe que la densité est bien plus élevée en moyenne pour le nuage avec relief. Pourtant, en analysant les distances entre les points, sur chacune des deux parties du nuage,
70
on constate qu’elles sont approximativement les mêmes. Pour un nuage régulier échantillonné à 10 cm, que ce soit en zone plane ou en zone courbée, les valeurs varient entre 10 cm et 12 cm en général mais aucun point n’est situé à moins de 10 cm d’un autre point.
Figure 19 : Histogrammes des densités des deux nuages (à gauche sans relief, à droite avec relief)
Figure 20 : Calcul de distances sur les nuages échantillonnés à 10 cm
En analysant plus en détails le fonctionnement de l’algorithme d’échantillonnage, on comprend d’où provient cette différence de densité notable. L’algorithme utilise des sphères pour échantillonner. Il retire donc, pour un pas d’échantillonnage de x cm, tous les points situés dans une sphère de rayon x cm et ne conserve que le point le plus proche au-delà de ces x cm, avant de ne répéter l’opération pour ce point. La corrélation entre courbure et densité s’explique donc par la géométrie des points. La densité est logiquement plus élevée dans les endroits courbés du fait de la prise en compte de tous les points. Elle devrait alors être calculée avec les points représentant les proches abords d’un point en termes de continuité surfacique.
Conclusion sur l’indice
Tout au long des différents tests présentés, les indices ont été calculés. A chaque fois, l’indice caractérise plutôt bien la qualité de la densité des nuages. Par exemple, pour le nuage régulier de la partie 5, un indice de 0.01 est obtenu (indice égal à 0 pour un nuage purement régulier). De même, pour les nuages utilisés dans la partie 4, le nuage régulier obtient un indice de
71
0.35 et le nuage irrégulier obtient 0.52. Dans la partie 6, le nuage avec relief obtient un indice de 0.30 et le nuage sans relief (densité plus faible) obtient 0.25. Même si il est apparu que, pour peu de points, le calcul pouvait s’avérer légèrement faussé du fait de la faible différence entre les valeurs, toutes les autres indiquent que la formule utilisée donne des résultats corrects et proportionnels à la qualité de la densité.
Egalement, du fait de la 3D, l’évaluation de la densité est un peu tronquée pour les calculs. Même si elle reste juste, l’optimal aurait été d’obtenir une densité calculée en 2D. Le problème est que le logiciel ne « déroule » pas le modèle en 2D mais détermine la densité en calculant le voisinage de chaque point dans son environnement 3D. Il y a alors naturellement plus de densité là où les points sont plus nombreux dans l’espace, zones qui s’avèrent être aussi les endroits de plus forte courbure. Il existe donc une légère corrélation entre courbure et densité.
Pour conclure, le critère établi donne des résultats qui vont toujours dans le même sens et, même si la détermination de la densité est légèrement biaisée, cela ne joue pas beaucoup sur les résultats : l’indice permet toujours d’effectuer une distinction nette entre les caractéristiques des nuages.
72