CHAPITRE 2 LE CADRE CONCEPTUEL
2.5 L’ÉTUDE DES CONTEXTES UTILISÉS POUR DÉVELOPPER LA
Le plus récent programme de formation renforce l’importance de varier les problèmes proposés. Au surplus, il est suggéré d’accroître les situations dont la mise en contexte s’apparentant à celles que vit – ou pourra potentiellement vivre – l’élève en dehors du cadre scolaire (Tremblay, 2013). La proposition de problèmes dont le contexte est issu du monde du réel invite à la distinction des différents contextes. Ce qui suit présente donc les variables à prendre en considération pour cette étude, inspiré du mémoire de Cotnoir (2010) qui fait ressortir une typologie pour les types de contextes.
Un contexte est dit réel s’il: «se produit effectivement dans la réalité» (MELS, 1988a, p. 20). L'élève est donc mobilisé dans le travail et l'effectue véritablement par exemple calculer le temps de vol d’un projectile. Par expérience, la situation où on engage l’élève et on lui fait vivre réellement la situation n’est pas toujours possible23 compte tenu de
l’organisation scolaire. Pour cette raison, il est possible de lui proposer des contextes dits réalistes c’est-à-dire ceux qui sont susceptibles de se produire réellement (Cooper et Harries, 2002, cité par Cotnoir, 2010) par exemple lancer un frisbee ou pousser un chariot d’épicerie. Le MELS (1988a) explique : «un contexte est réaliste s'il est susceptible de se produire réellement. II s'agit d'une simulation de la réalité ou d'une partie de la réalité» (p.21). L’élève reste donc en classe et effectue les calculs reliés à ces contextes.
22 Les processus de résolution de problèmes en mathématique et la démarche d’investigation comportent
plusieurs similitudes qui ont été traitées par Diaz (2005).
De surcroit, on ajoute une caractéristique au contexte dit réaliste : son authenticité. Dans son mémoire, Cotnoir (2010) présente un répertoire d’auteurs qui ont campé une définition d’un contexte dit authentique. Elle arrive au constat que ces définitions tendent vers celle que le MELS propose du contexte réaliste présenté précédemment. Pour cette étude, comme le contexte de classe ne permet pas toujours de réaliser les tâches réellement24, tel qu’expliqué précédemment, on peut proposer un contexte réaliste aux
élèves, mais qui est authentique c’est-à-dire qu’il peut être réalisé pour vrai ou du moins être simulé. Il faut donc que l'ensemble des facteurs soit pris en compte c’est-à-dire qu’aucun aspect de la réalité n’est mis de côté. Par exemple, dans le contexte où l’on lance un frisbee, il faut tenir compte de la vitesse du vent et de la friction de l’air appliqués sur l’objet. Si on ne veut pas en tenir compte dans nos calculs, il faut du moins le spécifier à l’élève. De cette façon, le contexte est dit réaliste et authentique. Pour ce mémoire, on s’intéressera à la place prise par les contextes authentiques issus du réel dans la proposition d’activités et de problèmes visant l’introduction du vecteur.
L’évaluation des contextes permettra de rendre compte du cadre en jeu (géométrique, algébrique ou physique). Et, dans le cas des contextes issus du réel, on portera notre attention sur le réalisme et l’authenticité des énoncés des activités ou problèmes. Ce travail sera conjugué à la qualification de la nature du travail demandé à l’élève. En effet, Ba (2007) démontre par son analyse des manuels que « l’utilisation du vecteur est incontournable pour modéliser certaines notions physiques en jeu » (p.142). Il faudra donc se pencher à savoir si, à l’aide du contexte présenté, on amène l’élève dans un processus de modélisation du problème à l’aide de la notion de vecteur c’est-à-dire que la notion de vecteur est indispensable pour résoudre le problème. Pour mieux identifier ce type de travail au travers des contextes proposés, la description du processus de modélisation mathématique a été retenue25.
24 On entend ici de proposer des tâches en contexte réel.
25 La démarche d’investigation scientifique aurait aussi pu être exposée, mais compte tenu des similitudes, un
On nomme «modélisation» le processus de résolution qui exige de l’élève de s’approprier la situation proposée pour la modéliser mathématiquement. Verschaffel, Greer et De Corte (2000) illustrent le processus de modélisation à l’aide du schéma qui suit.
Figure 13: Processus de modélisation
La partie droite du schéma correspond aux aspects «purement» mathématiques du processus de résolution ; la partie gauche renvoie aux aspects relevant de la confrontation avec le monde réel. La démarche proposée doit être considérée de façon cyclique et dynamique. La validation des résultats obtenus pour chaque phase pouvant conduire à revenir sur une phase déjà réalisée.
Fagnant, Demonty et Lejong (2003) expliquent chacune des phases de ce processus. Le point de départ est le « phénomène sous étude ». Il correspond à la description de
certains aspects de la réalité, considérés comme potentiellement capables d’être soumis à une analyse mathématique. Les auteures précisent :
À l’école, il s’agit habituellement d’une description simplifiée d’une situation, présentée généralement sous la forme d’un texte, avec éventuellement des informations supplémentaires, présentées sous la forme de dessins ou de données organisées sous différentes formes (tableaux, graphiques…) (p.30).
Il peut aussi s’agir d’une situation présentée oralement secondée par l’usage d’une vidéo ou d’une situation d’expérimentation qui nécessitera ultérieurement de l’élève qu’il collecte de données (Tremblay, 2013).
La première phase implique la compréhension de la situation décrite et la construction d’un modèle de situation. Tel que le précise Tremblay (2013), la construction de ce modèle peut être médiatisée par du matériel, des outils technologiques ou non. Lesquels peuvent contribuer à mettre en évidence les variables importantes dans la situation, ainsi que les relations temporelles et causales entre ces variables. La construction du modèle nécessite de disposer de certaines connaissances relatives au phénomène impliqué dans la situation décrite.
Si l’on revient au modèle, la seconde phase (la modélisation) du modèle de Fagnant et ses pairs (2003) consiste à transformer le modèle de situation en un modèle mathématique. Elle vise à effacer progressivement la réalité au travers de divers processus, tels que la formulation d’hypothèses concernant l’identification des principales caractéristiques du problème, la généralisation, la formulation, dont l’objectif est de faire ressortir les caractéristiques mathématiques de la situation et de transformer le problème en problème mathématique qui soit le plus fidèle possible à la situation (OCDE, 2006).
La troisième phase consiste à appliquer une analyse mathématique au modèle mathématique. Les ressources mobilisées jouent un rôle primordial tant pour l’analyse elle- même que pour l’anticipation espérée des résultats découlant du modèle. Cette étape permet d’aboutir à une ou plusieurs solutions qui doivent être soumises à interprétation.
La quatrième phase consiste à interpréter la ou les solutions en relation avec le modèle de situation. Les résultats interprétés doivent être évalués en fonction du modèle de la situation : la solution obtenue a-t-elle du sens ? Si ce n’est pas le cas, le modèle de situation peut être soumis à une nouvelle analyse et le processus cyclique peut redémarrer. Une fois la solution trouvée, interprétée, évaluée et acceptée, la dernière étape consiste à communiquer la solution en fonction des requêtes de la tâche.
Dans le cas particulier où l’on s’intéresse à l’étude de problèmes dont le contexte est issu du réel et dont la modélisation à l’aide de vecteurs est espérée, il sera intéressant de constater les moyens mis en place par les auteurs pour que les élèves se familiarisent avec les contextes et ainsi être en mesure de les traiter mathématiquement.
2.6 SYNTHÈSE DES ÉLÉMENTS À CONSIDÉRER DANS L’ÉTUDE DES