Justifications mathématiques de la méthode proposée

2.4 Justifications mathématiques de la méthode proposée

Cette section est dévouée aux justifications mathématiques de la méthode. Son organisation suit la structure de la section précédente.

2.4.1 Réalisation de l’objectif 1

Le maillage de la cellule de référence T (K) est construit de la manière suivante. Chaquec

élément S de T (b K) est un dc _K-simplexe (i.e. l’enveloppe convexe de d_K + 1 points N :=c

(Nb_i)_i=1,...,dK+1). Nous définissons l’application Λ : N 7−→ Λ(N ), qui à un ensemble de d_K+ 1 points N = (N_i)_i=1,...,dK+1 associe le d_K-simplexe Λ(N ). Nous introduisons de plus

b

Θ_K := {N := ( ˆc Ni)_i=1,...,dK+1 : Λ(N ) ∈ T (c K)}.c

Alors, le maillage deK est défini parc

T (K) := {Λ(c N ) :c N ∈c Θb_K}.

La construction de T (K) est réalisée de la même manière. Nous définissons l’ensemble des nœuds de T (K) ainsi que l’ensemble

Θ_K:= {N = (N_i)_i=1,...,dK+1 := g_K(N ) :c N ∈c Θb_K},

où g_K(N ) := (gc _K( ˆNi))_i=1,...,dK+1 et N := ( ˆc Ni)_i=1,...,dK+1. Le maillage en simplexes de K est défini par

T (K) := {Λ(N ) : N ∈ Θ_K}.

Le lien entre le maillage de représentation de l’élément de référence et le maillage de repré-sentation de l’élément réel est donné par le lemme 2.3. Pour cela, une dernière hypothèse est nécessaire.

H₆ : Les éléments de référence sont des polyèdres.

D’après H₆, il existe donc un maillage de représentation T (K) qui satisfaitc K =c S b

S∈T (K)_b S^b

tel que pour chaque couple (S, S⁰) ∈ T (K)c², S 6= S⁰, Int(S)T

Int(S⁰) = ∅. Cette hypothèse sti-pule que chaque cellule de référence peut être entièrement recouverte par une union de simplexes. Dans le cas contraire, des éléments plus complexes auraient dû être utilisés.

Lemme 2.3 (Identification de T (K)). Soit un élément K ∈ T_h, sous les hypothèses H₃ à H₆, l’interpolation P¹ de g_K construite à partir de T (K), notée Pc ¹g_{T (K)}, est

1. une fonction bijective entre T (K) et T (K),c 2. une fonction surjective entre K etc K.f

Preuve. Soit Λ(g_K(N )) un simplexe de dimension dc _K de T (K), où Λ(N ) est un simplexe dec

T (K) et N = (Nc _i)_i=1,...,dK+1 est l’ensemble des nœuds de ce simplexe. Par définition, l’approxi-mation P1 de g_K vérifie

Nous en déduisons que P¹gT (K)(Λ(N )) = Pc ¹gT (K)      dK+1 X i=1 xiNbi, (xi) ∈ [0, 1]^dK+1      =    dK+1 X i=1 x_iN_i, (x_i) ∈ [0, 1]^dK+1    = Λ(g_K(N )).c

La surjectivité de P¹g_{T (K)} de T (K) vient par construction car T (K) = {Λ(gc _K(N )), Λ(c N ) ∈b

T (K)}. L’injectivité est prouvée en notant que T (c K) et T (K) ont la même cardinalité.c

La surjectivité de P1g_{T (K)} entre K etc K vient de la surjectivité de Pf 1g_{T (K)} entre T (K) etc

T (K), et de l’hypothèse H₆ :K =c S

Λ(N )∈T (_b K)_b

Λ(N ).c

La construction est basée sur une transformation classique entre l’élément de référence et l’élément réel dite de plane to surface [Zienkiewicz and Phillips, 1971] dans le cas d’éléments surfaciques (d_K = 2). Un exemple de construction de ces maillages est montré sur la figure2.7.

T (K)c T (K) Λ( bN¹) Λ( bN²) b N₁¹ Nb₂¹ b N₃¹ −→ N₁^{1 N} 1 2 N₃¹ Λ(N1) Λ(N²)

Figure 2.7 – Construction du maillage de représentation de l’élément de référence T (K)c

(gauche) et du maillage de représentation T (K) (droite) pour un élément K ∈ T_h (en poin-tillé).

Malheureusement, le lemme 2.3 n’assure pas la bijectivité entre l’élément de référence et l’approximation de l’élément réel. En effet, la définition de T (K) n’interdit pas la création de simplexes dont l’intersection de leurs intérieurs n’est pas nulle. La conséquence de cette perte de bijectivité est que la représentation locale à l’élément n’est plus une fonction comme indiqué dans la proposition 2.4 ci-dessous. Or, il est important que la représentation locale fKe

vis soit bien une fonction, afin que la distance de Hausdorff (2.6) soit définie. Dans le cas contraire, l’estimation a posteriori est inutilisable même si l’indicateur d’erreurs est bien défini.

Proposition 2.4. Soit un élément K ∈ T_h et T (K) son maillage de représentation. Sous les hypothèses H₁ à H₆et en suivant les notations précédentes, pour une fonction f_num^K non triviale, fKe

vis est une fonction deK si et seulement si Pf ¹g_{T (K)} est une fonction injective deK versc K.f Preuve. Soit x ∈K et Pf ¹g_{T (K)}une fonction injective. Par le lemme 2.3, P¹g_{T (K)}est donc une fonction bijective et il existe au moins un simplexe contenant x. Il y a deux possibilités :

2.4. JUSTIFICATIONS MATHÉMATIQUES DE LA MÉTHODE PROPOSÉE 47

• Cas 1 : soit le point appartient à l’intérieur de ce simplexe, • Cas 2 : soit il se trouve sur sa frontière.

Dans le premier cas, si x appartient à l’intérieur d’un simplexe Λ(N ), alors grâce à la bijectivité de P¹gT (K)et l’hypothèse H₆, ce simplexe est unique et fKe

vis(x) = f_vis^{Λ(N )}(x).

Dans le second cas, x appartient à la frontière d’un ou de plusieurs simplexes. Plusieurs configurations sont possibles :

• Configuration 1 : x est un nœud d’un simplexe, • Configuration 2 : x appartient à une arête, • Configuration 3 : x appartient à une face. Si x est un nœud d’un simplexe, x = N , alors fKe

vis(x) = f_num^K (N ).

Si x appartient à une arête tel que x = x₁N₁+ x₂N₂ où (N_i)_i=1,2 et (x_i)_i=1,2 sont uniques par bijectivité de P¹g_{T (K)}, alors fKe

vis(x) =P2

i=1xif_num^K (N_i) et cela prouve que fKe

visest une fonction surKf

Le même résultat est vrai dans le cas où x appartient à une face sauf qu’il y a maintenant trois sommets au lieu de deux.

Réciproquement, si P¹g_{T (K)} n’est pas une fonction injective, un élément x de K peut êtref

l’image de différents points ˆxj ∈ K où j > 1, j ∈ N. Nous en déduisons que le point x peutc

appartenir à plusieurs simplexes Λ(N^j) tel que

{x} =    dK+1 X i=1 x^j_iN_i^j/ x ∈ Λ(N^j), N^j = (N_i^j)_i=1,...,dK+1, (x^j_i)_j ∈ [0, 1]dK+1    . Il vient que fKe vis({x}) =ⁿf_vis^{Λ(N )}(x) / ∀Λ(N ) ∈ T (K), x ∈ Λ(N )^o=    dK+1 X i=1 x^j_if_num^K (N_i^j)    ,

peut avoir plusieurs valeurs puisque f_num^K n’est pas triviale. Cela implique que fKe

vis n’est pas une fonction surK.f

2.4.2 Réalisation de l’objectif 2

Le lien entre la distance de Hausdorff (2.6) et l’application ∆_{T (K)}définie par (2.9) est donné par le lemme suivant.

Lemme 2.5. Soit K ∈ T_h, sous les hypothèses H₃ et H₆, la fonction ∆_{T (K)}, donné par (2.9),

vérifie

∀(f,f ) ∈ Ce ⁰(K, Y) × C⁰(K, Y), df X×Y

H



f,fe^≤ ∆_{T (K)}^f,fe^.

Preuve. Tout d’abord, soit un point arbitraire x ∈ K. Par l’hypothèse H₃, il existe ˆx = g⁻¹_K (x). Comme P¹g_{T (K)}(ˆx) ∈K, nous en déduisons quef

inf

e

x∈K_e

ce qui implique que sup x∈K inf e x∈K_e d^(x, f (x)), (x,_e f (ex))_e ^≤ sup ˆ x∈K_b d^(g_K(ˆx), f ◦ g_K(ˆx)) , (P¹g_{T (K)}(ˆx),f ◦ Pe ¹g_{T (K)}(ˆx))^.

Réciproquement, soit x ∈_e K un point arbitraire. Par le lemmef 2.3 et la surjectivité de

P¹g_{T (K)}, il existe ˆx ∈K tel quec x = P_e ¹g_{T (K)}(ˆx). Comme gK(ˆx) ∈ K, il vient que

inf x∈Kd^(x, f (x)), (x,_e f (ex))_e ^≤ d^(g_K(ˆx), f ◦ gK(ˆx)) , (x,_e f (ex))_e ^, et donc sup ex∈K_e inf x∈K d^(x, f (x)), (x,_e f (ex))_e ^≤ sup ˆ x∈K_b d^(g_K(ˆx), f ◦ gK(ˆx)) , (P¹gT (K)(ˆx),f ◦ Pe ¹gT (K)(ˆx))^.

Finalement, les deux parties de la distance d_H sont bornées par ∆_{T (K)}(f,f ) et nous obtenonse

le résultat.

Dans la proposition suivante, nous montrons que ∆_{T (K)} est bien un indicateur d’erreurs a

posteriori.

Proposition 2.6 (Estimation a posteriori). Sous les hypothèses H₁ à H₆, si P¹g_{T (K)} est une fonction injective pour tout élément K ∈ T_h, alors

dX×Y

H (f_num, fvis) = max

K∈T_hdX×Y H  f_num^K , fKe vis  ≤ max K∈T_h∆_{T (K)}  f_num^K , fKe vis  .

Preuve. Soit K ∈ T_h un élément arbitraire vérifiant les hypothèses H₁ à H₃. Il suffit de vérifier que f_num^K et fKe

vis sont continues et alors le résultat vient en appliquant le lemme 2.5 sur K (l’hypothèse H₆ est satisfaite). Or, fK

num est continue sur K car les hypothèses H₄ et H₅ sont vérifiées. Par hypothèse, P¹gT (K) est une fonction injective, donc d’après la proposition 2.4, la fonction fKe

vis est continue sur K.f

Dans la proposition 2.6, une hypothèse sur l’injectivité de la fonction qui approxime la transformation géométrique apparait. Garantir que celle-ci reste vraie est primordiale car sinon la représentation locale qui est créée n’est pas bien définie comme le montre la proposition 2.4. Sous cette hypothèse, la proposition 2.6 établit une estimation a posteriori et montre que l’indicateur d’erreurs peut guider la construction de la représentation. Notons que ∆_{T (K)} peut toujours être utilisé pour construire la représentation car cet indicateur est dans tous les cas bien défini. Nous détaillons dans la section2.5.3 cette discussion sur l’éventuelle perte de bijectivité qui aurait pu entraver la convergence de l’algorithme.

2.4.3 Réalisation de l’objectif 3

Pour garantir l’objectif O₃, notre approche est basée sur la décomposition de toutes les frontières des éléments en dimensions inférieures. Pour cela, les éléments du maillage de calcul sont regroupés dans des ensembles T_iD ⊂ T_h, pour i = 1, 2 ou 3, suivants leur dimension

2.4. JUSTIFICATIONS MATHÉMATIQUES DE LA MÉTHODE PROPOSÉE 49

Nous définissons maintenant les ensembles Te_iD où i = 1, 2 ou 3. L’ensemble Te_3D est le plus simple car il ne fait intervenir que T_3D

e

T_3D= T_3D. (2.15)

En effet, comme ce sont les éléments de dimension maximale, cet ensemble n’est pas enrichi. Nous définissons maintenant l’ensemble des faces F (X) par

F (X) =ⁿF ⊂ ∂X^\∂K, K ∈ T_3D^o [ n

Σ, ∃!(K, K⁰) ∈ T_3D² , K 6= K⁰, Σ = ∂K^\∂K⁰, Int2D(Σ) 6= ∅^o,

où ∂X (resp. ∂K) désigne la frontière de l’ensemble X (resp. de K) et Int_2D désigne l’intérieur d’un élément 2D. A l’aide de cet ensemble, nous pouvons maintenant définir Te_2D comme

e

T_2D = T_2D^[F (X). (2.16)

De la même manière, nous définissons l’ensemble des arêtes E (X) par E(X) =ⁿE ⊂ ∂X^\∂K, K ∈Te_2D^o

[ n

Σ, ∃!(K, K⁰) ∈Te_2D² , K 6= K⁰, Σ = ∂K^\∂K⁰, Int_1D(Σ) 6= ∅^o,

où Int_1D désigne l’intérieur d’un élément 1D. Ces arêtes contiennent des frontières d’éléments 2D ou proviennent de faces qui elles-mêmes sont des frontières d’éléments 3D. Nous en déduisons l’ensembleTe_1D par

e

T_1D= T_1D^[E(X). (2.17)

Nous allons maintenant montrer que le maillage par dimensions croissantes permet de remplir l’objectif 3. Pour cela, il est important qu’une fois le maillage du bord construit, on n’y touche plus. Sinon, il est possible de générer des sauts artificiels. Dans le lemme suivant, nous montrons que si le maillage a bien été traité, lors du passage à la dimension supérieure, tous les points ajoutés au maillage de représentation se trouvent à l’intérieur de l’élément et donc pas sur le bord.

Lemme 2.7. Soit K ∈ T_iD où i = 2 ou 3, f_num^K une solution numérique et T (K) un maillage de représentation. Nous supposons que les constructions des représentations des éléments de

e

T_(i−1)D T

K ont convergé. Si ∆_{T (K)}(f_num^K , fKe

vis) > ε, alors arg max ∆_{T (K)}∈ Int(K).c

Preuve. L’indicateur a posteriori peut être décomposé en deux parties

∆_{T (K)}(f_num^K , fKe vis) = max  sup ˆ x∈∂K_b δ_{T (K)}(f_num^K , fKe vis; ˆx), sup ˆ x∈Int(K)_b δ_{T (K)}(f_num^K , fKe vis; ˆx)  ,

où la première partie concerne le bord de l’élément tandis que la seconde se concentre sur l’intérieur. Nous notons ˆy ∈ ∂K le point réalisant le maximum sur la frontière (première partiec

sous le max). Alors, il existe un élément Σ ∈ Te_(i−1)D tel que ˆy ∈ Σ. Or, par hypothèse, lesb

constructions des bords ont convergé et il vient que

δ_{T (K)}(f_num^K , fKe

Donc, sup ˆ x∈∂K_b δT (K)(f_num^K , fKe vis; ˆx) ≤ ε < sup ˆ x∈Int(K)_b δT (K)(f_num^K , fKe vis; ˆx). Finalement,

arg max ∆_{T (K)}∈ Int(K).c (2.18)

Le point se trouve nécessairement à l’intérieur de l’élément.

Le lemme 2.7 assure que les points sont ajoutés à l’intérieur de l’élément et non pas sur le bord si le maillage du bord a déjà convergé. La proposition suivante montre maintenant que la méthodologie permet de vérifier l’objectif 3.

Proposition 2.8 (Réalisation de l’objectif O₃). Sous les hypothèses H₁ à H₅, soit

(T (Σ))

Σ∈T_ei D,i=1,3 un ensemble de maillages en simplexes satisfaisant

∀K ∈ T_2D, T (K)_|∂ e K = T (K)^\∂K =f ^[ Σ∈E(K) T (Σ), (2.19) ∀K ∈ T_3D, T (K)_|∂ e K = T (K)^\∂K =f ^[ F ∈F (K) T (F ), (2.20) ∀K ∈ T_3D, T (K)|1D = ^[ Σ∈E(K) T (Σ), (2.21) où K =f S S∈T (K)S, F (K) = Te_2DT K, E (K) = Te_1DT

K et T (K)|1D pour les éléments de dimension 3 désigne leurs arêtes (bord de dimension un). Alors, la représentation f_vis de f_num construite pour chaque élément K ∈ T_h satisfait l’objectif O₃.

Preuve. Le lemme 2.7 prouve que les propriétés données par les équations (2.19), (2.20) et (2.21) restent vraies durant le processus de maillage de chaque élément. Nous voulons regarder si des discontinuités artificielles apparaissent aux interfaces entre les éléments. Ces interfaces peuvent être de deux types : des faces ou des arêtes.

Soit F ∈ Te_2D\∂X. Nous considérons une face qui n’appartient pas au bord du domaine. En effet, sinon, si F ∈ ∂X, elle appartient nécessairement à un seul élément et donc il n’est pas possible d’avoir de saut. Comme F ∈ Te_2D, il existe deux éléments, K et K⁰ de T_h, tels que K 6= K⁰ et F = ∂KT

∂K⁰. Supposons que f_num|F^K = f_num|F^K0 sur F où f_num|F^K désigne la restriction de f_num^K à F . Par hypothèse, il existe un maillage T (F ) de F . Soit S un triangle arbitraire de T (F ). Par construction, fKe

vis|S et fKe0

vis|S sont fonctions affines définies à partir des valeurs de f_num^K et de f_num^K0 aux sommets de ce triangle. Or, par continuité de f_num sur F , en chaque sommet les valeurs de f_num^K et f_num^K0 sont identiques. Ceci implique que fKe

vis|S = fKe0

vis|S. De plus, cette propriété est vraie pour n’importe quel triangle de la face. Finalement, fKe

vis|F = fKe⁰

vis|F

et aucune discontinuité artificielle n’est ajoutée.

Soit E ∈Te_1Dtel que E 6∈ ∂X, sinon cette arête n’appartient qu’à un seul élément et donc il ne peut pas y avoir de problème. Ainsi, cette arête appartient à au moins deux éléments. Notons K et K⁰, deux éléments tels que E = ∂KT

∂K⁰. De la même manière que pour les faces, supposons que f_num|E^K = f_num|E^K0 sur Σ. Soit S une arête de T (E) dont les extrémités sont notées a et b. Par construction, fKe

vis|S et fKe⁰

2.4. ALGORITHME 51

continuité de f_num sur E. Donc, fKe

vis|S = fKe⁰

vis|S. Nous en déduisons que cette propriété est vraie pour chaque arête S de T (E). Finalement, fKe

vis|E = fKe⁰

vis|E et aucune discontinuité artificielle n’est ajoutée.

2.5 Algorithme pour générer une représentation satisfaisant les

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