Dans cette section, nous nous intéressons à un point permettant d’améliorer, pour certaines configurations, la qualité de la représentation obtenue.
Nous avons vu, notamment lors de l’utilisation d’éléments courbes, que le maillage par dimensions croissantes et le fait de ne plus pouvoir modifier le maillage du bord est une grosse contrainte. S’il y a peu d’éléments sur le maillage du bord, il est possible que des éléments
plats, c’est à dire dont plusieurs angles sont très faibles et dont l’aire de l’élément est quasiment
nulle, soient générés. Même si pour notre problématique de visualisation, la présence de tels éléments n’est pas aussi grave que lors de la génération d’un maillage de calcul, ceci peut avoir deux conséquences néfastes. Des artefacts de visualisation peuvent apparaitre ainsi que des problèmes de précision. Afin de soulager les algorithmes, il est intéressant d’éliminer ce genre d’éléments. En outre, lors de la génération de maillages en 3D où les problèmes de précision sont beaucoup plus prépondérants.
Sur la figure4.18, ces problèmes sont illustrés pour une fonction de base de Gauss-Lobatto dé-finie sur un quadrangle Q1. L’estimateur spécifique n’est pas utilisé dans ce cas puisque l’élément est droit. La fonction est nulle sur le bord et donc il n’y a pas d’erreur de visualisation lors du maillage des arêtes. Aussi, le maillage de représentation est généré sans ajouter le moindre point sur le bord. Ceci signifie que certains éléments du maillage de représentation s’appuient ainsi sur les coins du quadrangle et peuvent donc tendre vers des éléments plats. Il est clair sur les figures 4.18.a et4.18.c que les éléments près du bord sont quasiment plats. Ceci a une conséquence qui peut être préjudiciable lorsque l’on regarde la solution en relief comme le montre la figure4.18.b.
(a) Représentation (b) Représentation en relief
(c) Zoom sur le bord sud du maillage de représentation
Figure 4.18 – Représentation d’une fonction Gauss-Lobatto à 0.1 % avec prise en compte uniquement du bord lors du maillage des arêtes. Des éléments plats apparaissent près du bord.
Pour toutes ces raisons et en s’inspirant de ce qui a été fait pour traiter les éléments courbes, nous souhaitons être capable d’avoir un maillage du bord éventuellement plus raffiné. Pour cela, l’idée est de travailler non pas uniquement sur le bord mais dans un certain voisinage autour du bord lors de la génération du maillage 1D.
Lorsqu’une arête est traitée, nous souhaitons pouvoir investiguer le problème dans une sur-face. Nous généraliserons ensuite à la dimension supérieure. La première question est de savoir comment définir cette zone. En particulier, si une zone trop large est définie, le risque est de trop raffiner le maillage du bord. Néanmoins, si cette zone est trop petite, le maillage risque de ne pas être modifié et donc la qualité inchangée. Il y aurait une infinité de possibilités pour définir cette zone. Les choix que nous faisons sont donc tout à fait arbitraires mais intuitifs. Cette arête est définie par ces extrémités à savoir deux points. La taille de cette zone doit d’une certaine façon être proportionnelle à la longueur de l’arête considérée. Nous définissons la zone sur la cellule de référence car les indicateurs d’erreurs sont également définis dessus. Nous lui associons une normale entrante à l’élément. A partir de ces deux extrémités et de cette normale, on est capable de définir une troisième point afin que la zone soit un triangle équilatéral. Ce choix est
4.3. AMÉLIORATION DE LA QUALITÉ DES ÉLÉMENTS 113
motivé par plusieurs observations. Tout d’abord, la taille de cette zone est ainsi naturellement proportionnelle à la longueur de l’arête. De plus, la définition de ce troisième point, notéPb3, est triviale. En effet, si on notePb1 etPb2 les extrémités de l’arête,
Pb1Pb2 la longueur de l’arête etnb la normale entrante, on a b P3 = Pb1+Pb2 2 + Pb1Pb2 √ 3 2 n.b (4.5)
La figure 4.19 illustre deux exemples de telles zones. Naturellement, plus le segment [Pb1Pb2] est court, plus cette zone est petite. Cela permet la convergence de l’algorithme.
• • • • • • • b P1 Pb2 b P3 b K • b x •b z
(a) Une première zone
• • • • • • • b P1 Pb2 b P3 b K
(b) Une seconde zone plus petite Figure 4.19 – Exemples de zones de voisinage en dimension 2.
Finalement, comme la zone considérée est un triangle, l’algorithme DIRECT peut être appliqué et l’indicateur d’erreurs classique 2D est estimé dans cette zone. Naturellement, et comme dans le cas d’éléments courbes, les points qui sont ajoutés au maillage de représentation le sont sur le bord, c’est à dire sur l’arête considérée. Pour cela, le point ajouté est choisi comme le projeté orthogonal sur l’arête. Par exemple, sur la figure4.19, si l’algorithme a trouvé le maximum au point ˆz, le point ˆx, qui est son projeté orthogonal sur l’arête est ajouté au
maillage 1D.
Si maintenant nous nous intéressons à une face, nous souhaitons définir un voisinage qui sera un tétraèdre délimité par les 3 sommets de cette face (qui en fait est un triangle) et un quatrième point à définir. De la même manière que précédemment, on notePb1,Pb2 etPb3 les trois sommets de la face considérée,
Pb1Pb2Pb3
l’aire de la face et n la normale entrante. Les coordonnées dub
quatrième point sont données par
b P4 = Pb1+Pb2+Pb3 3 + Pb1Pb2Pb3 √ 6 3 n.b (4.6)
La figure 4.20 montre la représentation obtenue à 0.1 % lorsque l’on ne prend en compte que le bord lors du maillage de l’arête, celle-ci représente la même fonction que la figure4.18. Sur la figure4.21, la même fonction est représentée mais en prenant en compte le voisinage. Le maillage des arêtes est raffiné (voir tableau 4.6). Ceci permet d’éliminer les éléments presque plats comme on peut le voir sur la figure 4.21.b et d’éviter les artefacts lorsque l’on représente la solution en relief comme sur la figure 4.21.c. Nous tirons les mêmes conclusions lorsque la
(a) Représentation (b) Maillage de représentation (c) Représentation en relief Figure 4.20 – Représentation d’une fonction Gauss-Lobatto à 0.1 % avec prise en compte uniquement du bord lors du maillage des arêtes.
(a) Représentation (b) Maillage de représentation (c) Représentation en relief Figure 4.21 – Représentation d’une fonction Gauss-Lobatto à 0.1 % avec prise en compte du voisinage lors du maillage des arêtes.
(a) Représentation (b) Maillage de représentation (c) Représentation en relief Figure 4.22 – Représentation d’une fonction Gauss-Lobatto à 1 % avec prise en compte uni-quement du bord lors du maillage des arêtes.
4.4. CONCLUSIONS DU CHAPITRE 115
(a) Représentation (b) Maillage de représentation (c) Représentation en relief Figure 4.23 – Représentation d’une fonction Gauss-Lobatto à 1 % avec prise en compte du voisinage lors du maillage des arêtes.
tolérance est fixée à 1 % sur les figures 4.22et4.23.
Méthode Arête 1 Arête 2 Arête 3 Arête 4 Élément 2D
Bord (1%) 1 1 1 1 556
Voisinage (1%) 32 20 32 20 634
Bord (0.1%) 1 1 1 1 5406
Voisinage (0.1%) 67 64 67 64 5648
Table 4.6 – Nombre de segments sur les maillages des arêtes et de triangles sur le maillage de l’élément pour représenter la fonction Gauss-Lobatto
Nous pouvons néanmoins imaginer d’autres définitions de zones (voisinages). En particulier, la définition proposée a la particularité d’être purement géométrique (i.e. elle ne prend pas en compte les valeurs de la solution à visualiser) mais a l’avantage d’être très facile à mettre en place et efficace. A l’instar de ce qui a été fait pour le traitement des éléments courbes, une autre idée est, pour chaque point ˆx de l’arêteS d’associer un paramètre tb ˆx qui correspond à un avancement maximal en suivant la normale ˆn. La zone ainsi définie est plus complexe mais en
définissant une transformation comme on l’a fait pour les éléments courbes, on peut se ramener à un triangle isocèle et appliquer DIRECT dessus. Il reste à choisir comment définir tˆx. On pourrait par exemple faire intervenir dans ce choix plusieurs paramètres tels que la longueur de l’arête, la valeur de la dérivée normale au point considéré sur l’arête... De nombreux choix seraient donc envisageables mais nous utilisons uniquement le critère géométrique.
4.4 Conclusions du chapitre
Dans ce chapitre, nous avons montré le potentiel de la méthode de visualisation sur des exemples numériques de complexité croissante. Tout d’abord, nous avons montré l’intérêt
d’uti-liser un raffinement adaptatif par rapport à un redécoupage uniforme. Les gains sont non négli-geables et sont d’autant plus importants pour l’interactivité dans le logiciel de visualisation. Des données trop lourdes peuvent ralentir ou empêcher le fonctionnement d’un logiciel de visualisa-tion. Nous illustrons la nécessité de demander un contrôle ponctuel sur l’erreur de visualisavisualisa-tion. Pour cela, nous comparons notre approche, qui assure un contrôle en norme L∞, à une approche guidée par la norme L2. Dans ce dernier cas, une partie de la richesse de l’information peut être perdue, ce qui est préjudiciable pour l’analyse et l’interprétation des résultats.
Dans un second temps, nous nous sommes intéressés au traitement avec notre méthode de surfaces courbes. En particulier, nous avons montrer l’importance de l’indicateur d’erreurs a
posteriori spécifique que l’on met en place. Nous avons également traité une surface courbe
dans l’espace et exhiber l’apparition de retournements que nous avons pu éliminer en utilisant l’indicateur d’erreurs a posteriori spécifique.
Ensuite, nous avons proposé une stratégie pour améliorer la qualité des éléments en consi-dérant le voisinage du bord des éléments. Cette idée s’inspire de la gestion des éléments courbes où le traitement des arêtes et des faces est faite en considérant non pas uniquement le bord mais en investiguant l’intérieur de l’élément afin de soulager la contrainte du maillage par dimensions croissantes.
Nous nous sommes également intéressé à des exemples volumiques. La méthode de visualisa-tion est utilisée pour traiter une foncvisualisa-tion analytique, un mode, défini sur des hexaèdres et nous avons montré sa capacité à traiter ce type d’éléments.
Un point limitant de notre méthode concerne les temps CPU qui peuvent être longs, notamment à cause du contrôle ponctuel demandé. Pour donner un ordre d’idée, pour traiter des milliers d’éléments volumiques, le temps écoulé peut dépasser plusieurs minutes voire des dizaines de minutes, même si évidemment, cela dépend de la complexité de la solution ainsi que du nombre de processeurs utilisé. La structure de notre méthodologie permet naturellement de se placer dans un cadre parallèle puisque chaque arête, face ou volume peut être traité après décomposition indépendamment des autres.
Maintenant que nous avons validé numériquement notre méthode de visualisation, nous allons l’utiliser dans le chapitre suivant où nous reconstruisons et visualisons des champs rayonnés en équations intégrales. La souplesse de notre méthode de visualisation permet de proposer une solution performante à cette problématique. En particulier, d’autres visualisations de cas volumiques, issus de codes de calcul, sont traités dans le chapitre 5.
Chapitre 5
Reconstruction et visualisation de
champs rayonnés pour des ondes
harmoniques
Contents
5.1 Positionnement du problème . . . 118