Afin de reconstruire les champs rayonnés efficacement, et en particulier pour profiter de l’interpolation multi-directionnelle, une subdivision du domaine V (en plus de celle de Γ) peut être effectuée. Cela permet de respecter l’hypothèse (5.25) et faire fonctionner l’interpolation directionnelle.
5.4.1 Subdivision du domaine à visualiser
Un maillage de V, noté T (V), est construit et est composé d’éléments notés EV recouvrant le domaine
[
EV∈T (V)
EV = V, (5.29)
tel qu’il n’y ait pas de recouvrements entre les éléments. Sur chaque élément EV, un champ local est reconstruit avec des directions et des fonctions de base locales. Outre la possibilité de pouvoir utiliser l’approche multi-directionnelle, d’autres raisons justifient la construction d’un découpage de V. En effet, le domaine à visualiser est potentiellement très large et sans ce découpage, des ordres excessivement élevés seraient nécessaires. Or, ceci peut entrainer des problèmes lors de l’interpolation avec le phénomène de Runge (oscillations de l’approximation). De plus, créer un maillage permet de faire varier les ordres d’interpolation en fonction de la richesse de la solution (ou du noyau) à approcher.
Nous supposons que V est une boite, c’est à dire un rectangle en dimension deux ou un parallélépipède en dimension trois, où chaque arête est ainsi parallèle à un des axes. Dans le cas où le domaine est plus complexe, celui-ci peut être englobé par une telle boite ou par une union de boites. Dans le cas où le domaine est composé de plusieurs boites, la méthodologie est appliquée à chacune d’entre elle indépendamment des autres. Dans la suite, nous considérons donc que V est une seule boite et nous cherchons à visualiser le champ rayonné dans cette zone où le champ est diffracté par un objet dont la frontière est notée Γ.
5.4.2 Subdivision de la frontière de l’objet diffractant
En plus de la subdivision du domaine V, une subdivision de Γ peut être établie afin de respecter les hypothèses sur les directions (5.25). La frontière Γ est décomposée en Γ =S
ΓnΓn, comme dans (5.28), tel qu’il n’y ait pas de recouvrements entre les éléments Γn. Ce découpage de la frontière est associé à chaque élément EV. Cela signifie que le domaine V est composé d’éléments EV et pour chaque élément EV, des éléments Γn qui viennent d’un découpage de Γ
5.4. CONSTRUCTION DE CHAMPS RAYONNÉS 129
lui sont associés. Cela permet d’avoir une décomposition de la frontière adaptée à la zone du domaine V considérée.
Afin de décomposer la frontière Γ, l’idée est de définir un maillage d’une boite englobant celle-ci. Nous supposons donc qu’il existe une boite G qui contient Γ, ce qui est le cas car Γ est la frontière d’un domaine borné. Dans le cas où la géométrie est plus complexe, une union de boites pourrait être considérée et dans cette configuration, des directions pourraient alors être associées à chacune des boites, qui seraient également découpées. Pour le moment et afin de rester dans un cadre didactique, nous considérons qu’une seule boite G peut contenir tout Γ. La figure5.7 illustre la problématique.
V
G
Γ Onde incidente
Figure 5.7 – Notations et problématique
Pour chaque élément EV ∈ T (V), une subdivision de G est construite telle que ces éléments notés BE, vérifient
[
BE⊂G
BE = G.
L’indice E de BE montre la dépendance avec l’élément EV considéré. La frontière Γ peut être décomposée, en suivant la subdivision de G, telle que
Γ = [
Γn⊂BE Γn,
et
Γn= Γ\BE.
Nous illustrons sur la figure 5.8 les décompositions de V et de Γ. En particulier, nous nous intéressons à deux éléments E1 et E2 de V et montrons que les décompositions changent suivant l’élément considéré. Notons d’ailleurs que le nombre de portions peut également varier puisqu’il y a NΓ= 4 portions dans le premier cas et NΓ= 3 dans le second.
Pour chaque portion Γn inclue dans une boite BE, une direction cn est définie à partir des centres xc et yc respectivement de EV et BE, c’est-à-dire :
cn= xc− yc
kxc− yck. (5.30)
5.4.3 Critères de construction des champs rayonnés
Le but est donc de construire des subdivisions de V et de G afin que l’interpolation direc-tionnelle soit efficace. Or, pour un couple (EV, BE), d’après (5.25), la direction cn donnée par
V E1
E2 Γ
(a) Une subdivision du domaine V à l’aide d’éléments EV
E1
Γ1 Γ2 Γ3
Γ4
(b) Une subdivision de la frontière associée à un élément E1
E2 Γ1
Γ2 Γ3
(c) Une subdivision de la frontière associée à un élément E2
5.4. CONSTRUCTION DE CHAMPS RAYONNÉS 131
(5.30) est judicieuse si
c ≈ x − y
kx − yk, ∀x ∈ EV, ∀y ∈ BE. (5.31)
Notre approche est donc basée sur ces subdivisions et sur l’introduction d’ondes planes. Afin d’interpoler correctement les résidus, des polynômes de Lagrange d’ordre élevé sont également utilisés. Les valeurs aux points d’interpolation sont toujours calculées via les formules de représentation et ensuite une solution locale sur chaque élément du maillage de V est construite. La génération du maillage et le choix des points à faire rayonner sont faits a priori, c’est à dire indépendamment du calcul des degrés de liberté via les formules de représentation. La figure 5.9récapitule la méthodologie mise en place.
Solution sur la fronti`ere Γ DomaineV `a visualiser
Calcul de la solution aux degr´es de libert´e
Construction d’un mail-lage adapt´e deV et de fonctions de base
Reconstruction des champs
Cartographie des champs surV Transfert des
informations
M´ethodologie de visualisation
Figure 5.9 – Schéma général du rayonnement
Il y a plusieurs paramètres à prendre en compte lors de la création de ces maillages. Le nombre le plus important à contrôler est le nombre de points à faire rayonner, c’est à dire le nombre de points où les formules de représentation sont utilisées afin de calculer ponctuellement la solution. Ce nombre dépend du nombre d’éléments dans le maillage de V et du nombre de points à faire rayonner dans chaque élément. En effet, une fois la subdivision de V générée, les directions sont définies, et il reste à approcher le résidu à l’aide de polynômes éventuellement d’ordre élevé. Des points d’interpolation et des fonctions de base sont définis afin d’approcher ce résidu. Ceci se traduit par l’assignation d’un ordre suivant chaque direction afin de savoir le nombre de points nécessaires. Pour cela, on raisonne en dimension un puis on tensorise. La maitrise du nombre de points d’interpolation est un point capital. Le nombre de points d’interpolation, qui correspond au nombre de degrés de liberté, à contrôler est égal à
Nddl= X EV∈T (V) NEV 1 NEV 2 , si d = 2, Nddl= X EV∈T (V) NEV 1 NEV 2 NEV 3 , si d = 3, (5.32) où NEV
Dans une moindre mesure, il est nécessaire de contrôler le nombre de découpages de G. Au lieu d’avoir un découpage unique de G, qui ferait augmenter le nombre de découpages et de directions afin de respecter les critères d’admissibilité de chaque couple, nous décidons d’associer un découpage de G à chaque élément EV ∈ T (V).
5.4.4 Visualisation des champs reconstruits
Le travail mis en place dans ce chapitre est possible car nous avons à notre disposition un outil permettant de visualiser les champs rayonnés reconstruits. En effet, un maillage T (V) du domaine à visualiser est construit et sur chaque élément EV du maillage, d’après (5.28), un champ reconstruit local noté uEV
rad est défini et s’écrit
uEV rad(x) = NE·NE Γ X i=1 uEV i φEV i (x), ∀x ∈ EV ⊂ V, (5.33) où uEV
i sont les degrés de liberté et les fonctions de base φEV
i sont composées de polynômes d’ordre élevé et d’ondes planes comme dans (5.28). Le champ est donc de la même forme que le cadre prescrit dans la section2.2avec l’équation (2.1). La méthode de visualisation explicitée dans les chapitres précédents peut donc être utilisée. Les fonctions de base ϕKi dans (2.1) sont définies sur la cellule de référence de l’élément tandis que les fonctions de base φEV
i de (5.33) sont définies directement sur l’élément. La relation entre ces fonctions est la suivante
φEV
i (x) = (ϕKi ◦ gK−1)(x), ∀x ∈ EV, (5.34) où gK est la transformation géométrique entre la cellule de référence et l’élément noté EV ou K.