3.2 Extension de la méthode aux éléments courbes
3.2.2 Construction d’un estimateur a posteriori spécifique
3.3.1 Modifications dans l’algorithme général . . . . 76
3.3.2 Théorème de convergence pour les éléments courbes . . . . 78
3.3.3 Problème d’optimisation pour calculer le paramètre d’avancement maximal 78
3.3.4 Utilisation de DIRECT pour estimer l’indicateur spécifique . . . . 80 3.4 Extension au traitement des surfaces courbes dans l’espace . . . . . 87
3.5 Conclusions du chapitre . . . . 90 Dans le chapitre 2, nous avons proposé une méthodologie et un algorithme pour traiter les éléments droits. Dans ce chapitre, nous nous intéressons au traitement spécifique des surfaces courbes. Dans un premier temps, nous montrons qu’une utilisation « telle quelle » de la méthode proposée au chapitre précédent n’est pas adaptée pour des éléments courbes. Après avoir identifié les problèmes liés à l’utilisation de ces éléments, nous modifions la méthodologie pour pouvoir traiter n’importe quel type d’éléments. Les principes de la méthode proposée, à savoir la décomposition des bords en dimensions inférieures, le maillage par dimensions croissantes et la construction d’un maillage de représentation à l’aide d’un estimateur a
posteriori sont inchangés. Néanmoins, des indicateurs d’erreurs a posteriori spécifiques sont
construits pour pouvoir traiter tout type d’éléments. Cela a pour conséquence des modifications sur l’algorithme qui a été mis en place au chapitre précédemment. Finalement, nous montrons que cette construction permet de répondre aux objectifs O1, O2 et O3.
Contrairement au chapitre 2 qui propose une méthodologie capable de traiter des éléments surfaciques ou volumiques, ce chapitre se limite au cas des surfaces courbes. Cependant, même si uniquement la gestion des surfaces courbes est explicitée, le cas volumique est également évoqué.
3.1 Problèmes liés à l’utilisation d’éléments courbes
En suivant la méthodologie proposée au chapitre 2 et en particulier l’algorithme 5, un élément courbe est traité sur la figure 3.1. L’élément considéré est un triangle P2 : ce triangle est donc construit à l’aide de 6 points et de fonctions de base d’ordre 2 (quelques exemples de fonctions de base se trouvent en annexe B). Sur ce triangle vit une fonction (figures 3.1.a et 3.1.b) que nous souhaitons représenter. Celle-ci n’est pas affine et a la particularité d’être nulle sur le bord. C’est typiquement le cas lorsque nous considérons une fonction de type Gauss-Lobatto d’ordre élevé dont les degrés de liberté associés au bord sont nuls. Un maillage de représentation de l’élément de référence est construit et une représentation sur l’élément de référence en découle (figure 3.1.c). A partir de cela, une représentation sur l’élément réel (figure 3.1.d) est déduite. Sur cette dernière représentation, nous observons des recouvrements, c’est-à-dire que l’intersection des intérieurs de certains triangles n’est pas vide. La conséquence est que la représentation générée n’est plus une fonction car plusieurs valeurs sont associées à certains points. Certaines zones de la représentation sont donc « cachées ».
(a) Fonction sur l’élément de référence (b) Fonction sur l’élé-ment réel (c) Représentation sur l’élément de référence (d) Représentation sur l’élément réel
Figure 3.1 – Représentation (c et d) d’une fonction (a et b) sur l’élément de référence (a et c) et l’élément réel (b et d).
Sur la figure 3.2, les notations de la figure 2.2 du chapitre 2 sont reprises mais cette-fois-ci l’élément courbe présenté sur la figure 3.1 est considéré. Contrairement à la transformation géométrique gK qui est bien bijective par définition, l’approximation P1 de la transformation ne l’est pas. Cette non-bijectivité se caractérise par l’apparition de recouvrements. Sur l’élé-ment réel, une partie d’une arête (trait clair sur la figure3.2) est recouverte par un des triangles. Sur la figure3.3, les étapes de construction qui ont permis d’obtenir les résultats de la figure 3.1 sont présentées. La solution à visualiser est affichée sur l’élément de référence (figure 3.3.a) et sur l’élément réel (figure 3.3.e).
Le processus utilisé ici, basé sur une construction par dimensions croissantes, commence par la création des maillages de représentation sur l’élément de référence des trois arêtes. Comme la fonction est nulle sur le bord de l’élément, la partie de l’erreur de visualisation due aux contri-butions des valeurs est nulle. La seconde partie de l’erreur de visualisation, l’erreur géométrique, est nulle sur deux des trois arêtes qui ne sont pas courbes (arêtes droites). L’erreur de visuali-sation pour ces deux arêtes est donc nulle et ainsi quelque soit la tolérance demandée, il n’y a pas besoin de raffiner leurs maillages 1D de représentation. La troisième arête, qui est courbe, peut avoir besoin d’être raffinée, suivant la tolérance demandée, à cause de l’approximation de la géométrie qui est introduite. Dans le cas de la figure 3.3, aucun point supplémentaire n’a été
3.1. PROBLÈMES LIÉS À L’UTILISATION D’ÉLÉMENTS COURBES 61 c K ⊂XbK gK % K ⊂ X ⊂ X fK num −→ K × fnumK (K) ⊂ X × Y P1gT (K) & f K ⊂X ⊂ Xe fKe vis −→ f K × fKe vis(K) ⊂ X × Yf
Figure 3.2 – Visualisation d’une fonction numérique fnumK sur un élément K et sa représentation
fKe
vis construite sur un élément K. L’approximation Pf 1 de la transformation géométrique n’est pas bijective deK versc K.f
ajouté sur le bord pour représenter la fonction. Le maillage 1D est représenté en figure3.3.b sur l’élément de référence et en figure3.3.f sur l’élément réel.
Puis, l’algorithme passe à la dimension suivante. A partir de ces maillages des éléments de bord, le maillage de l’élément de référence est généré en figure 3.3.c. Le triangle initial est formé par les sommets de la cellule de référence. Un quatrième point est ajouté au maillage de référence, celui-ci se trouve à l’intérieur du triangle initial et est le lieu où les variations de la fonction sont les plus fortes (figure 3.3.c). Les nœuds du maillage sont transportés par la transformation géométrique gK. Les triangles sont formés en suivant la connectivité de l’élément de référence. Le maillage de représentation sur l’élément réel en est déduit (figure 3.3.g). Cependant, sur l’élément réel, le quatrième point ne se trouve pas à l’intérieur du triangle initial. En effet, sur la figure 3.3.g, le point D se trouve en dehors du triangle ABC. A cause de ce sommet qui est à l’extérieur du triangle initial et de la connectique ainsi fixée, l’approximation de la transformation géométrique P1gT (K) n’est pas bijective. La conséquence est qu’un recouvrement apparait sur l’élément réel (figure 3.3.h). Sur l’élément de référence, il n’y a pas de recouvrement (figure3.3.d) car le maillage est bien conforme. Des zones (en orange) sont affichées sur la figure 3.3. Dans ces zones, si on ajoute un point, alors un recouvrement apparait. Il est important de noter que cette zone ne dépend que du maillage 1D et que sa frontière sur l’élément réel est constituée du bord réel de l’élément et de l’approximation de celui-ci. La quatrième point qui a été ajouté se trouve dans cette zone (figures 3.3.c et 3.3.g), ce qui implique l’apparition d’un recouvrement.
Les zones où peuvent apparaitre des recouvrements sont appelées zones de retournements et sont définies dans la suite du manuscrit. Nous les appelons ainsi puisque dans un cadre plus général, par exemple, pour des surfaces courbes dans l’espace (et non pas dans le plan), il peut ne
(a)K × fb Kb
num (b) Maillage 1D (c) Maillage 2D (d) K × fb Kb
vis
(e) K × fnumK (f) Maillage 1D (g) Maillage 2D (h) K × fe Ke
num
Figure 3.3 – Étapes de construction et mise en évidence des recouvrements lors du traitement d’un élément courbe.
pas avoir de recouvrements mais des zones faisant apparaitre des retournements que l’on illustre dans la section 4.2.2. Comme pour la figure 3.3, ces zones de retournements ne dépendent que de l’approximation du bord (maillage 1D). Aussi, pour un maillage du bord différent, ces zones changent. En particulier, en raffinant le maillage du bord, la taille de ces zones est réduite.
En reprenant le même format, nous montrons sur la figure3.4 ce qui se passe en ajoutant un point supplémentaire sur le bord. La fonction à représenter est identique (figures 3.4.a et 3.4.e). Les maillages des arêtes sont construits de la même manière que précédemment (figures 3.4.b et 3.4.f). La seule différence par rapport à la figure 3.3 est qu’un point supplémentaire a été ajouté. La conséquence est que les zones de retournements potentielles (en orange toujours) sont réduites par rapport à précédemment.
Avant de s’intéresser au maillage de l’élément 2D, un premier maillage est construit à partir de l’approximation du bord de l’élément. Cette fois-ci, le point qui est ajouté à l’endroit où la fonction varie beaucoup se trouve à l’intérieur de cette première tesselation sur l’élément réel, et donc à l’extérieur des zones de retournements sur l’élément réel (figure 3.4.g). La conséquence est qu’il n’y a pas de recouvrement sur l’élément réel (figure 3.4.h).
3.2 Extension de la méthode aux éléments courbes
A travers les exemples montrés dans la section3.1, l’apparition de recouvrements et de zones de retournements ont été exhibés. Afin d’éviter d’avoir de tels problèmes, nous définissons un nouvel indicateur d’erreurs dont le principe est de raffiner les maillages de représentation des bords des éléments afin de réduire la taille de ces zones. De cette manière, aucun point n’est ajouté dans ces zones et aucun retournement n’apparait lors du maillage en dimensions supé-rieures. Tout d’abord, nous commençons donc par identifier et caractériser ces zones. Ensuite, un estimateur, basé sur une recherche non pas uniquement sur le bord mais dans un certain voisinage de celui-ci, permet d’avoir un maillage suffisamment raffiné du bord.
3.2. EXTENSION DE LA MÉTHODE AUX ÉLÉMENTS COURBES 63
(a)K × fb Kb
num (b) Maillage 1D (c) Maillage 2D (d)K × fb Kb
vis
(e) K × fnumK (f) Maillage 1D (g) Maillage 2D (h) K × fe Ke
num
Figure 3.4 – Étapes de construction et by-pass de recouvrements par l’ajout d’un point sur le bord de l’élément.
Remarque 3.1. Dans la suite, nous explicitons les caractérisations à partir du cas 2D plan
pour lequel les définitions sont bien définies. Nous étendons les caractérisations afin de pouvoir également traiter des surfaces courbes dans l’espace.
3.2.1 Identification et caractérisation des zones de retournements
Lorsque nous considérons des surfaces dans le plan, l’ajout d’un point ˆx ∈ K peut amenerc
des recouvrements. Les pertes de bijectivité sont décomposées en deux catégories :
1. Intérieur : le point est ajouté à l’intérieur du précédent K (la dernière tesselation avantf
ajout de ce point).
2. Extérieur : le point est ajouté à l’extérieur du précédentK.f
Dans le premier cas, le point ajouté se trouve dans la tesselation mais pas dans le bon triangle. Ce premier cas peut souvent être résolu en utilisant des retournements d’arêtes (swaps). Sinon, l’ajout de points dans la tesselation à l’intérieur de l’élément suffit pour résoudre le problème. En effet, comme la transformation géométrique est bijective, son approximation tend nécessairement vers cette même fonction bijective. Ainsi, à partir du moment où le maillage de représentation est suffisamment raffiné, les pertes de bijectivité intérieures se règlent facilement. La gestion du second cas est beaucoup plus délicate. Lorsque ce cas arrive, la véritable frontière de K n’est plus Pf 1gT (K)(∂K) (voir figurec 3.5). Tant que le point x choisi se trouve à l’extérieur de la tesselation, c’est-à-dire, en dehors du domaine délimité par P1gT (K)(∂K), peuc
importe les swaps qui pourraient être effectués, ∂K sera différent de Pf 1gT (K)(∂K) et le problèmec
reste. Ainsi, la seule solution est d’ajouter des points sur ∂K pour assurer ∂c K = Pf 1gT (K)(∂K).c
gK(∂K), alors des maillages non-coïncidents peuvent être construits et ainsi l’objectif O3c n’est plus vérifié. Pour contourner ce problème, il faudrait mettre à jour les maillages de frontière de tous les éléments adjacents au risque d’un coût très élevé et d’un algorithme potentiellement non convergent.
(a) ∂K (b) P1gT (K)(∂K)b (c) ∂Ke
Figure 3.5 – Comparaison de ∂K (frontière de l’élément réel), de P1gT (K)(∂K) (image parc
l’approximation de la transformation géométrique de la frontière de la cellule de référence) et
∂K (frontière de l’approximation de l’élément réel) de la figuref 3.2.
Notre stratégie est de construire un maillage du bord suffisamment raffiné pour que les pertes de bijectivité extérieures n’apparaissent jamais. Pour cela, nous allons identifier a priori les zones de retournements pour assurer la préservation du maillage du bord de l’élément (i.e.
∂K = Pf 1gT (K)(∂K)) durant tout le processus. Ensuite, nous prouverons que l’objectif Oc 3 reste vérifié. Finalement, les problèmes liés à ces insertions de points peuvent être évités et ainsi
P1gT (K) reste injective.
Nous avons vu dans la section 3.1 que les zones de retournements se caractérisent comme l’ensemble des points à l’extérieur de la tesselation courante. cela se traduit de la façon suivante. Soit K ∈ Th et T (K) un maillage associé à cet élément défini tel que P1gT (K) est une fonction injective de K versc K =f S
S∈T (K)S. Nous définissons les zones de retournements comme
RKT (∂K)= K\Int(K).f (3.1)
L’indice T (∂K) indique que ces zones ne dépendent que du maillage du bord. Ces zones peuvent également être définies sur l’élément de référence comme
b
RK
T (∂K) = g−1K K\Int(K)f.
La proposition 3.2 fait le lien entre les zones de retournements et la non injectivité de l’approximation P1 de la transformation géométrique.
Proposition 3.2. Sous les hypothèses H1 à H6, on considère un élément K ∈ T (X). Soit
T (K) un maillage de K défini tel que P1gT (K) soit injective deK versc K. Soit ˆf x ∈K un pointc arbitraire et on note Txˆ(K) le maillage raffiné par l’ajout du nouveau sommet ˆc x dans T (K).c
Si x = gK(ˆx) est un sommet extérieur (i.e. x ∈ RKT (∂K)), alors P1gTxˆ(K), la fonction associée à Txˆ(K), n’est pas injective.
Preuve. Soit ˆx ∈ S un sommet extérieur (sommet en rouge sur la figureb 3.6), qui vérifie donc ˆ
x ∈ RbK
T (∂K) où S ∈ T (b K). En suivant la définition dec RbK
T (∂K) donnée par (3.1), x = gK(ˆx) 6∈ Int(K), donc il y a deux cas :f
3.2. EXTENSION DE LA MÉTHODE AUX ÉLÉMENTS COURBES 65
• Cas 1 : x ∈ ∂K (figuref 3.6.e).
• Cas 2 : x 6∈ P1gT (K)(S) (figureb 3.6.f).
Dans le premier cas, comme x ∈ ∂K, deux éléments sont plats sur l’élément réel (voir figuref
3.6.e) et donc P1gTˆx(K) n’est pas injective, même si ces éléments ne sont pas plats sur la cellule de référence (voir figure3.6.b).
(a) Élément de réfé-rence : configuration initiale
(b) Élément de référence : cas 1 (c) Élément de référence : cas 2
(d) Élément réel : configu-ration initiale
(e) Élément réel : cas 1 (f) Élément réel : cas 2
Figure 3.6 – Ajout d’un sommet extérieur (en rouge) dans une configuration initiale (a et d) pour un élément courbe (frontière réelle en bleu).
Dans le second cas, trois configurations données dans [Walfisch, 2007] sont possibles (voir figure3.7) :
• Configuration 1 : ˆx appartient à l’intérieur d’un simplexeS qui est unique par Hb 6, • Configuration 2 : ˆx appartient à l’arête commune de deux simplexes,
• Configuration 3 : ˆx appartient à la frontière de K.c
Suivant la configuration, le nombre de simplexes créés varie. Nous considérons la première configuration, la preuve étant similaire pour les deux autres. Nous notons Sb1, Sb2 et Sb3 les simplexes créés à partir de ˆx et des trois sommets ˆa, ˆb et ˆc deS et Sb 1, S2 et S3 leurs images par
P1gTxˆ(K). Ces notations sont illustrées sur la figure3.8. Prouvons qu’il existe i et k, avec i 6= k, tel que Int(Si) ∩ Int(Sk) 6= ∅, ce qui signifie qu’il y a un recouvrement.
(a) Configuration 1 (b) Configuration 2 (c) Configuration 3
Figure 3.7 – Configurations possibles lors de l’ajout d’un nouveau sommet au maillage.
(a)Sb1,Sb2 etSb3 (b) SimplexeSb1 (c) SimplexeSb2 (d) SimplexeSb3
(e) S1, S2 et S3 (f) Simplexe S1 (g) Simplexe S2 (h) Simplexe S3 Figure 3.8 – Notations utilisées lors du découpage d’un simplexe en 3 simplexes.
3.2. EXTENSION DE LA MÉTHODE AUX ÉLÉMENTS COURBES 67
Nous le montrons par contradiction. Nous supposons que Int(Si) ∩ Int(Sk) = ∅ pour chaque
i 6= k. Dans ce cas, S3
i=1Si = S et x = gK(ˆx) ∈ S, ce qui est absurde. Ainsi, il existe y ∈ Int(Si) ∩ Int(Sk), i 6= k, tel que y = P1gTxˆ(K)(ybi) = P1gTxˆ(K)(ybk) avec ybi∈Sbi et ybk∈Sbk.
Finalement, P1gTxˆ(K) n’est pas injective car il y a un recouvrement.
Le problème de la définition des zones de retournements donnée par (3.1) est qu’elle est implicite et est donc inutilisable en pratique. Au lieu d’utiliser (3.1), nous souhaitons définir une zone qui englobe RKT (∂K) mais qui soit définie à partir de la frontière de la cellule. Ainsi, à chaque arêteS ⊂b K, nous associonsc
b
VSK=nx + tˆˆ nx, ˆx ∈S, 0 ≤ t ≤ tb ˆxo, (3.2) où ˆnx est un vecteur unitaire défini à partir d’un point ˆx de l’arête pointant vers l’intérieur de
l’élément K et tc xˆ est un paramètre d’avancement maximal d’investigation en partant du point ˆ
x. L’idée est de suivre le vecteur ˆnx jusqu’à la dernière rencontre avec
b
S0= gK−1(P1gT (K)(S) ∩ K),b
qui est une partie du bord de RbK
T (∂K). Les notations sont reportées sur la figure 3.9. L’image de Sb0 par gK est S0 et correspond à l’approximation de S qui est un segment. Le but de cette caractérisation est de parcourir la zone de retournements d’un bord S à un autre bordb Sb0 sur l’élément de référence (figure 3.9.a). Sur l’élément réel, cela se traduit par le passage du bord réel S à son approximation S0 (figure 3.9.b).
(a) Sur l’élément de réfé-rence
(b) Sur l’élément réel
Figure 3.9 – Identification des zones de retournements sur l’élément de référence (gauche) et l’élément réel (droite).
Les définitions dans le cas général sont données dans la suite. Le principal avantage de ces zones est qu’elles sont constructibles. Il faut noter que sur la cellule de référence, la paramétrisation dans l’équation (3.2) est effectuée à l’aide d’un segment (en magenta sur la figure 3.9) entre un point de la frontière ˆx ∈ S et un point ˆb x0 = ˆx + tˆxˆnx ∈ Sb0 afin de caractériser la zone. Remarquons cependant que comme la transformation géométrique gK peut être non-linéaire, l’image de ce segment peut être différente d’un segment (en magenta sur la figure3.9).
Dans le cas général, la définition 3.3 introduit les quantités qui caractérisent les zones de retournements. En particulier, nous donnons une définition rigoureuse du paramètre d’avancée maximale.
Définition 3.3. Soit K ∈ T2D, T (K) un maillage et S = [ˆb aˆb] ∈ T (∂K) un segment de lac frontière. Nous notons Sb0 = g−1K (P1gT (K)(S) ∩ K) et ˆb n la normale unitaire de S pointant versb l’intérieur de K. Nous définissons les quantités suivantes dont la signification est expliquée ci-c après.
1. Nous notons ˆna et ˆnb, les vecteurs associés aux sommets ˆa et ˆb,
ˆ
na= arg min ˆ
u∈ˆn,kˆa ˆˆa ˆyky où ˆy∈Sb0\{ˆa}
ˆ u · ˆaˆb ˆaˆb et nˆb = arg min ˆ u∈ n ˆ n,kˆb ˆˆy b ˆykoù ˆy∈Sb0\{ˆb} o ˆ u · ˆbˆa ˆbˆa . (3.3)
2. Soit ˆx = (1 − ω)ˆa + ωˆb ∈S et ˆb nx= (1 − ω)ˆna+ ωˆnb, où ω ∈ [0, 1]. Soit ˆy∗∈S\gb −1K (K) unf point arbitraire, nous introduisons
txˆ = maxnt, ˆx + tˆnx∈ ∂Kco, si (ab ∧ agK(ˆy∗)) · (ab ∧ agK(ˆx + txˆnˆx)) > 0,
txˆ = maxnnt, ˆx + tˆnx∈K, ab ∧ agc K(ˆx + t ˆnx) = 0oS{0}o, sinon.
(3.4)
3. Finalement, avec ces notations, nous posons b
VSK =nx + tˆˆ nx, ˆx = (1 − ω)ˆa + ωˆb ∈S, ˆb nx = (1 − ω)ˆna+ ωˆnb, ω ∈ [0, 1], 0 ≤ t ≤ txˆo.
(3.5) Les vecteurs ˆna et ˆnb sont définis comme des vecteurs réalisant le minimum de l’équation (3.3). Dans ces notations, ˆu, ˆn, ˆaˆy, ˆaˆb, ˆbˆa désignent des vecteurs et · le produit scalaire usuel.
Le vecteur ˆna est construit en cherchant le minimum du produit scalaire entre les vecteurs ˆu et
ˆ
aˆb où ˆu est l’ensemble des éléments ˆn et kˆaˆˆaˆyky avec ˆy ∈ Sb0\{ˆa}. Dans cette recherche, ˆy 6= ˆa,
sinon le vecteur ˆna pourrait être le vecteur nul. Géométriquement, le vecteur ˆna est choisi pour maximiser l’angle entre ˆu et ˆaˆb car
ˆ aˆy kˆaˆyk· ˆ aˆb ˆaˆb = cos d ˆ yˆaˆb .
Le vecteur ˆnb est défini de façon similaire. Les vecteurs ˆnaet ˆnb peuvent être égaux à la normale ˆ
n mais ce n’est pas toujours le cas puisque qu’ils peuvent être construits également à partir d’un
point de Sb0, qui est illustré en pointillé vert sur la figure 3.10. En se restreignant uniquement à la normale, il pourrait y avoir des cas où une partie de la zone n’est pas prise en compte (cas 1 de la figure 3.10par exemple).
De manière classique ∧ désigne le produit vectoriel. Remarquons que dans le cas où l’espace est de dimension 3, le produit vectoriel entre deux vecteurs est en vecteur. Le produit vectoriel entre deux vecteurs de dimension 2 donne un scalaire qui est obtenu en considérant les vecteurs comme s’ils étaient de dimension 3 et en prenant la troisième composante du résultat (les autres étant nulles).
Le point ˆx est repéré à l’aide d’une coordonnée barycentrique ω entre ˆa et ˆb. Le vecteur
ˆ
nx est construit comme une combinaison linéaire en ω afin de balayer tout l’élément comme le montre la figure 3.11.
3.2. EXTENSION DE LA MÉTHODE AUX ÉLÉMENTS COURBES 69 b S′ b na b x1+tbx1nbx1 b nx2 b VK S b K b y∗ b x1 b a =ba0 b S b a1 bx2=bx2+tbx2bnx2 b nb bb =ba2 b RK S b nx1
(a) Cas 1 : cellule de référenceKb
a1 x1 y∗ S K a = a0 x2 gK(xb1+tbx1bnx1) S′ VSK b = a2 RKS (b) Cas 1 : élément K bb = ba1 b x b nx bnb b na b S′ 2 b S b c b K b VK S b S′ 1 b y∗ b x + tbxbnx b A ba = ba0 b d bb1 bb0 b RK S
(c) Cas 2 : cellule de référenceKb
b = a1 y∗ x S′ 1 S′ 2 S VK S K a = a0 b0 d c e K gK(bx + tbxbnx) A b1 RK S (d) Cas 2 : élément K
Figure 3.10 – Illustration des zones de retournements et des notations utilisées sur deux cas.
• •
ˆ
a xˆ•1 xˆ•2 ˆb
ˆ
na nˆ1 nˆ2 nˆb
Notons que le premier cas de txˆ est bien défini carK est un ensemble convexe et donc il y ac
au plus deux points sur sa frontière ∂K qui intersectent la ligne partant de ˆc x avec la direction
ˆ
nx (ces deux points peuvent être égaux, ce qui correspond à t = 0, ce qui arrive par exemple lorsque ˆx est un sommet d’un triangleK). Ce premier cas est illustré sur les figuresc 3.10.c et 3.10.d. L’ensemble S\gb −1K (K) utilisé pour choisir ˆf y∗ peut être vide. Néanmoins, cela signifie que dans ce cas VbK
S =S, et donc naturellement tb xˆ = 0 puisqu’il n’y a pas d’avancée à l’intérieur de l’élément.
Le second cas de txˆ cherche le vecteur agK(ˆx + txˆnˆx) colinéaire à ab en regardant quand le produit vectoriel est nul et est illustré sur les figures3.10.a et 3.10.b. Ceci permet de trouver un point appartenant à l’approximation de l’arête.
Remarque 3.4. Tous les vecteurs faisant apparaitre n dans leur nom (ˆn, ˆnx, n0, etc...) sont unitaires. En particulier, les normales sont choisies unitaires.
La définition des zones données par l’équation (3.5) est utile car cela permet d’inclure les zones de retournements comme le montre le lemme suivant.
Lemme 3.5. Soit K ∈ T2D, T (K) un maillage de K, RKT (∂K) et VSK = gK(VbK
S ) donnés
respec-tivement par (3.1) et (3.5), alors RK
T (∂K)⊂ [
S∈T (∂K)
VK S .
Preuve. Pour prouver le résultat de ce lemme, la preuve est décomposée en 3 étapes.
• Tout d’abord, nous introduisons pour chaque arête S, un ensemble RK
S, qui est utilisé pour identifier les composantes connexes de RKT (∂K)et suit une décomposition à partir des arêtes.
• Ensuite, nous prouvons que ces ensembles RK
S vérifient RKT (∂K)⊂S
S∈T (∂K)RK S. • Enfin, pour démontrer le résultat, nous montrons que pour chaque arête S, RK
S ⊂ VK S . Étape 1. Soit S = [ˆb aˆb] ∈ T (∂K) un segment appartenant à la frontière de l’élément etc S = gK(S). Nous définissons les points {ab i}i=0,Ncomme les extrémités des composantes connexes de gK(S) ∩ Pb 1gT (K)(S). Le nombre de ces points est donc limité et ceux-ci vérifientb
a0= a, aN = b, ∃ ωi∈ [0, 1], ai = (1 − ωi)a + ωib = gK(ˆai)
où les réels ωi sont classés par ordre croissant (voir figure 3.10). Sur l’élément réel, ces points {ai}i=0,N ont la particularité d’appartenir à la fois au bord S mais aussi à son approximation S0.