Jeux dynamiques avec information incomplète

(1) GRAHAM ROMP ―Game Theory Introduction and Applications” Oxford University Press Inc., New York 1997. Pg 42-49

2.6. JEUX DYNAMIQUES AVEC INFORMATION INCOMPLÈTE :

Une autre façon d'éviter le paradoxe de l'induction vers l'arrière est d'introduire l'incertitude sur le moment où le jeu peut finir. Une façon d'y parvenir consiste à supposer qu'il y a une probabilité constante que le jeu prend fin après une période donnée. Dans cette situation, bien que le jeu soit fini, le moment exact de savoir quand le jeu se termine est inconnu. La conséquence de ceci est que, comme dans un jeu infiniment répété, la structure de la partie restante ne change pas plus de périodes sont jouées. Comme l'unique période ne peut être classifiée comme dernière période du jeu, nous n'avons aucun certain point dont pour commencer le processus de l'induction en arrière et ainsi le paradoxe est évité. L‘induction en arrière est donc applicable uniquement aux jeux qui ont un terme définitif connu. Si la dernière période est indéterminée, les menaces et les promesses crédibles qui peuvent être faites, donnent lieu à une collusion non coopérative dans chaque période. Cette analyse est la même que pour le jeu infini, sauf que le taux d'escompte, doit être redéfini. Au lieu de cela, ne dépendant que des taux d'intérêt, r, il dépendra aussi de la probabilité que le jeu se termine après une période de temps. En effet les joueurs escomptent le futur plus fortement, car il y a

CHAPITRE 2 THEORIE DES JEUX

- 103 -

maintenant une probabilité positive que les rendements futurs ne seront pas reçus que le jeu sera terminé d'ici là. Le taux d'escompte est maintenant égal à

Où Prob est la probabilité que le jeu se termine à la fin d'une période donnée.

En reprenons l‘exemple cité dans la section précédente de jeu de publicité avec information incomplète, mais cette fois ci le jeu est joué a un nombre fini de fois.

Si le jeu est répété un nombre fini de fois, les restrictions pour les jeux à un seul coup avec information incomplète n'ont pas besoin toujours de s'appliquer pour que les résultats soient Pareto efficace. Malheureusement, la résolution de ces jeux répétés est loin d'être simple. Ceci est dû à deux complications ajoutées. La première complication est que dans les jeux dynamiques à informations incomplètes, les joueurs peuvent être en mesure d'apprendre comment ils sont les autres joueurs, en observant leurs actions passées. Ceci donne à des joueurs l'occasion d'essayer et influencer les espérances des autres joueurs de leur type en modifiant leurs actions. Par exemple, considérez ce qui pourrait se produire si le jeu de la publicité avec information incomplète est répété un nombre fini de fois. Si l'entreprise1 peut convaincre l'entreprise 2 qu'elle est du type B, alors l'entreprise 2 engagera de bas coûts de la publicité et ainsi augmentez les profits de la firme1. La seule façon que l'entreprise1 peut convaincre l'autre entreprise qu'elle est de type B, est de jouer comme une entreprise de type B jouerait. Cela est vrai même si la firme1 est réellement de type A. Il est donc possible que les joueurs pourraient chercher à cacher leur véritable identité, afin de gagner la réputation d'être quelque chose qu'ils ne sont pas. Le gain d'une telle réputation peut être considéré comme un investissement. Bien que l'obtention d'une réputation pour quelque chose que vous n'êtes pas, sera coûteuse à court terme, il apporte avec elle l'espoir de rendements futurs plus élevés. La deuxième complication est que les joueurs savent que d'autres joueurs pourraient avoir cette incitation pour cacher leur véritable identité. Cela va influencer la façon dont ils mettent à jour leur évaluation de probabilité conditionnelle du type de l'autre joueur sur l'observation de ses actes. L'autre joueur prendra à leur tour ceci en considération pour déterminer leur comportement, et ainsi de suite. Ce n'est que récemment que tels jeux ont été explicitement résolus par des théoriciens de jeu et appliqués aux situations économiques. Le concept d'équilibre employé souvent dans de tels jeux est l‘équilibre de Nash parfait bayésien en sous jeux, Ce type d'équilibre remplit deux conditions :

CHAPITRE 2 THEORIE DES JEUX

1- Il est sous-jeu parfait du fait qu‘aucune menace ou promesse incrèdible n'est faite ou est crue.

2- Les joueurs mettent à jour leurs croyances rationnellement selon le théorème de Bayes. (Un concept alternatif d'équilibre utilisé est c'est l'équilibre séquentiel. Il a été développé par Kreps et Wilson (b) 1982 et c‘est une condition légèrement plus forte que l'équilibre parfait bayésien en ce qui concerne l'uniformité de la solution. Dans de nombreux cas, cependant, les deux concepts rapportent la même solution.)

La pertinence de l'équilibre parfait bayésien est que même un très peu d'incertitude au sujet du type de joueur que vous jouez contre lui, peuvent être considérablement amplifiées dans les jeux répétés. Ceci change les incitations faites face par des joueurs dans le jeu, et mène souvent à la prévision que la solution optimale de Pareto est jouée dans les premiers stades de la partie. De cette façon le paradoxe de l'induction en arrière est surmonté. Pour illustrer cette possibilité nous discutons le jeu des mille-pattes développé par Rosenthal (1981). Considérons le jeu en forme extensive de la figure 2.46. Dans ce jeu il y a deux joueurs chacun avec deux coups possibles. Ils peuvent soit se déplacer à travers (A) ou vers le bas (D). Les gains qui en résultent sont comme le montre le diagramme. Résoudre ce jeu par induction vers l'arrière donne le résultat que cette personne 1 sera immédiatement jouée bas, ainsi que les deux joueurs reçoivent le même paiement de 1. C'est clairement des résultats Pareto inefficaces parce que si les deux joueurs les jouent à travers tous les deux, reçoivent des profits potentiellement beaucoup plus grands. En ce sens, le jeu est très bien comme le jeu de dilemme du prisonnier répété, où la coopération initiale peut arranger tout le monde.

Figure 2.44 : le jeu de mille pate de Rosenthal

Il y a deux points spécifiques à noter à propos de cette prédiction de ce sous jeux parfaits. D'abord, la prévision que le premier joueur jouera bas immédiatement est basée sur 200 séries de dominance strictement réitérée. En réalité il est souvent difficile de croire que les joueurs sont si sûrs de la rationalité de leurs adversaires, et que leurs adversaires sont sûrs de la rationalité de leurs adversaires etc.

En second lieu, quel effet le joueur1 a-t-il sur le joueur2 si au lieu de bas, il joue le long ? Le joueur2 a maintenant une preuve directe que le joueur 1 n'est pas rationnel. Sur la base de

CHAPITRE 2 THEORIE DES JEUX

- 105 -

cette preuve, le joueur2 peut décider qu'il est préférable de jouer également le long, et prend le joueur1 pour un tour. Dans cette situation nous déplaçons le long de l'arbre et les deux joueurs sont rendus plus aisés. Ce raisonnement suggère qu'il puisse être raisonnable de faire semblant d'abord d'être irrationnel ! Chacun de ces points suggère que pour ce jeu l'hypothèse d'une connaissance commune de la rationalité puisse être inadéquate. Une prétention alternative est de présenter l'information inachevée. Une hypothèse alternative est d'introduire des informations incomplètes. Avec cette hypothèse les joueurs sont pas certains si leur adversaire sont rationnelle. Cela a un effet dramatique sur le comportement d'équilibre d'un joueur rationnel. Même si il n'y a qu'une très faible probabilité que votre adversaire est coopérative, dans la mesure où il ou elle joue toujours a travers, alors il est rationnel pour les joueurs de jouer a travers dans les périodes initiales de la partie.

De cette façon, chaque joueur construit une réputation d'être coopérative. Il peut être démontré que l'équilibre séquentiel de ce jeu d'informations incomplètes implique que les deux joueurs jouent dans un premier temps a travers, puis randomiser au hasard sur leurs actions à l'approche de la fin du match.

En conséquence à mesure que le nombre de périodes augmente la proportion du jeu caractérisé à mesure que la coopérative augmente également. Cette stratégie d'équilibre est dépeinte dans fig. 2.45.

En fait, le nombre de périodes pour lesquelles les joueurs vont adopter des stratégies mixtes ne dépend pas du nombre de périodes ou le jeu est joué. En conséquence comme le nombre de périodes augmente la proportion du jeu caractérisé en tant que coopérative augmente également. Cette stratégie d'équilibre est représentée dans la Fig 2.45

Figure 2.45 : l’equilibre bayesien de Nash parfait du jeu de mille pate de Rosenthal avec information incomplete

Cette version modifiée du jeu de Rosenthal a été développée par McKelvey et Palfrey (1992), qui avaient l'habitude leur jeu simplifié pour examiner si les sujets d'expérience ont joué réellement selon l'hypothèse séquentielle d'équilibre. (1)

CHAPITRE 2 THEORIE DES JEUX

---

(1) GRAHAM ROMP ―Game Theory Introduction and Applications” Oxford University Press Inc., New York 1997. Pg 42-49

CONCLUSION :

La théorie des jeux est la théorie mathématique qui nous permet d‘analyser des situations dans lesquels les joueurs sont en interaction et en interdépendance stratégique.

Les jeux statiques avec information complète ou incomplète sont les jeux où les joueurs prennent leurs décisions simultanément et d‘un seul coup. Chaque décision est prise sans savoir ce que les autres joueurs ont fait. Les jeux avec information incomplète surviennent, quand Les joueurs ne partagent pas les informations complètes sur les détails de l'interaction, et il y a une distribution asymétrique de l'information entre les joueurs concernant les paiements sous-jacents. Ces jeux sont représentés sous forme normale. Différentes techniques ont été proposées pour prédire les solutions des jeux statiques, tel que le concept de stratégie dominante ou d'équilibre de nash. Le concept central dans la solution de la théorie des jeux est l'équilibre de Nash.

Dans les jeux dynamiques (représenter sous forme extensive), les joueurs observent les mouvements des autres joueurs avant de faire leurs propres réponses optimales. Cette possibilité enrichit considérablement les stratégies que les joueurs pourraient adopter. Un

CHAPITRE 2 THEORIE DES JEUX

- 107 -

concept clé dans tous les jeux dynamiques, c'est la crédibilité. Pour une menace ou une promesse d'être crédible, il faut être dans cet intérêt aux joueurs de le réaliser au moment opportun. Dans les jeux à information parfaite et complète, où les joueurs ne sont pas indifférents entre les différentes actions, l‘induction en arrière génère une prédiction unique. Cette prédiction est appelé équilibre de Nash parfait en sous-jeu.

Les jeux répétés sont des situations stratégiques dans lesquelles les joueurs interagissent à plusieurs reprises. Si les joueurs ne prévoient aucune fin prédéterminée de leur interaction, le jeu est infiniment répété. Si l‘interaction est connue par les joueurs pour une duré déterminée le jeu est finiment répété. Quand le jeu est répété à l'infini, les joueurs maintiennent un résultat collusoire non coopératif. Alors que pour les jeux finiment répété le paradoxe de l‘induction en arrière survient pour nous procurer une seule solution du jeu qui est l‘équilibre de nash.

Dans les chapitres qui vont suivre, on analysera, de manière plus approfondie, les applications économiques de la théorie des jeux.