Les jeux selon le champ de la didactique des mathématiques de

Brousseau (1986) s’intéresse à la notion de jeu qu’il apparente à la notion de « situation »5 _:

« [m]odéliser la notion vague de situation par celle de jeu exige une précision sur les sens accordés à ce mot [sous-entendu jeu] » (p. 328). Pour Brousseau, et dans la perspective de la TSD, le jeu doit permettre à l’élève d’accéder à la connaissance que l’on cherche à développer que ce soit en termes de solution ou en termes de moyens ou de stratégies pour y arriver. Le jeu, en tant que situation, a donc un rôle de « motivation » qui doit, non pas

5 _{« Les conditions d’une des utilisations particulières d’une connaissance mathématique sont considérées}

comme formant un système appelé « situation ». Une situation est, d’une part, un jeu hypothétique (qui peut être défini mathématiquement), qui explicite un système minimal de conditions nécessaires dans lesquelles une connaissance (mathématique) déterminée peut se manifester par les décisions aux effets observables (des actions) d’un actant sur un milieu. D’autre part, un modèle du type ci-dessus, destiné à interpréter la partie des décisions observables d’un sujet réel qui relèvent de son rapport à une connaissance mathématique déterminée » (Brousseau, 2010).

conduire uniquement à procurer du plaisir, mais conduire l’élève à produire la connaissance voulue. Brousseau propose quelques questions à poser en ce sens :

[E]st-ce que connaitre telle propriété est le seul moyen de passer de telle stratégie à telle autre ? Pourquoi l'élève chercherait-il à remplacer celle-ci par celle-là ? Quelle motivation cognitive conduit à produire telle formulation d'une propriété ou telle démonstration ? Telle raison de produire ce savoir est-elle meilleure, plus juste, plus accessible ou plus efficace que telle autre ? (Brousseau, 1986, pp.326- 327)

Il présente aussi cinq éléments de définition du terme « jeu » qui ne sont pas sans rappeler celles présentées en introduction de la section 2.1. La définition de Brousseau amène des éléments clés pour circonscrire le jeu : le plaisir, l’aspect motivationnel compétitif, les instruments, les règles et les stratégies et les options permises par le jeu. Voici donc les définitions du jeu proposées par Brousseau :

1. « Activité physique ou mentale, purement gratuite, généralement fondée sur la convention ou la fiction, qui n’a dans la conscience de celui qui s’y livre d’autre fin qu’elle-même, d’autre but que le plaisir qu’elle procure. » (Brousseau, 1986, p.328) 2. « L’organisation de cette activité sous un système de règles définissant un succès et

un échec, un gain et une perte » (Brousseau, 1986, p.328, définition reprise de

Lalande).

3. « Ce qui sert à jouer, les instruments de jeu » (Brousseau, 1986, p.329) (ce que Caissie nomme un support matériel).

4. « La manière dont on joue » (Brousseau, 1986, p.329) (ce qui peut inclure les tactiques et les stratégies).

5. « L’ensemble des positions entre lesquelles le joueur peut choisir dans un état donné du jeu » (Brousseau, 1986, p.328). Autrement dit, plusieurs options sont possibles et l’élève fait des choix (Caissie, 2007).

Brousseau (1986) va plus loin que ces cinq définitions en donnant cinq caractéristiques structurelles du jeu :

1. « Un ensemble […] de positions distinctes dans lesquelles peuvent se trouver les objets et les relations pertinentes » (Brousseau, 1986, p.330).

3. « Un état initial […] et un ou des états terminaux » (Brousseau, 1986, p.330). 4. Un ensemble de joueurs avec un ordre dans lequel ceux-ci devront jouer. 5. Une « fonction de gain », soit le moment ou la position où l’un joueur gagnera. Ces caractéristiques mènent alors à une clarification du jeu mathématique en ce sens qu’elles offrent cinq caractéristiques structurelles du jeu.

Il convient également d’aborder le terme « stratégie », également défini par Brousseau et présent dans tout jeu mathématique. Brousseau (1986) éclaire davantage cette notion de stratégie en développant les notions de stratégie gagnante et de stratégie non gagnante à tout coup :

Une stratégie gagnante fournit contre toute défense une partie de gain positif,

mais on peut évaluer diverses caractéristiques (son coût, par exemple le nombre de coups amenant la fin de la partie; le gain qu'elle procure...) [.]

Une stratégie non gagnante à tout coup pourra être néanmoins meilleure qu’une

autre du point de vue des risques de pertes qu’elle entraine, des gains qu'elle permet d'espérer, etc. (Brousseau, 1986, p.332).

Le jeu doit également, selon Brousseau, permettre un certain contrôle à l’enfant; il s’agit d’une condition fondamentale du jeu. Il s’agit en quelque sorte d’un équilibre entre ce qui serait trop évident, où l’élève serait certain de gagner, et ce qui serait insolvable du point de vue de ce dernier. C’est en ce sens que Brousseau va parler d’« équilibrer les frustrations et les tensions » (1986, p. 334). Il s’agit d’un jeu qui n’est ni trop facile, ni trop difficile. En effet, un jeu trop facile ne proposerait pas assez de tensions pour vouloir y jouer, alors qu’un jeu trop difficile proposerait trop de frustrations pour vouloir y rejouer ou même pour vouloir y jouer une première fois.

Tableau 3 - Synthèse du jeu chez Brousseau

Structure Fonction

Jeu dans la perspective de Brousseau

Situation (au sens de la TSD).

Système de règles (incluant les positions permises à partir de toute position, un état initial et un ou des états terminaux, l’ordre des joueurs et la fonction de gain). Support matériel. Enjeu (gain/perte). Équilibre tensions/frustrations. Plaisir Développer une connaissance Développement de stratégies et de tactiques. Permettre d’exercer un contrôle.

Bref, le jeu au sens de Brousseau doit être un jeu basé sur des règles et qui permettra de gagner ou de perdre, ce qui pourra amener des tensions ou des frustrations chez les joueurs. De tels jeux viseront certainement le plaisir, mais également une connaissance mathématique précise, la construction de stratégies et de tactiques pour arriver à cette connaissance et permettront aux joueurs d’exercer un contrôle.

2.1.4. Synthèse

Des catégories de jeux ont été dégagées, ce qui a permis d’analyser certains éléments des jeux dans leur structure et dans leur fonction. Bien évidemment, ce ne sont pas les seules catégories. Par exemple, dans son recueil de jeux visant l’apprentissage des mathématiques au primaire, Bednarz et ses collaborateurs (2002) mentionnent trois types de jeu selon les concepts et les compétences liés au jeu (numération, géométrie et résolution de problèmes)6.

6 _{Il n’est pas surprenant d’obtenir une telle classification dans un ouvrage qui se veut un référent pour les}

enseignants. Avec une telle classification, il est plus facile de trouver un jeu qui correspond à une séquence d’apprentissage précise, à un concept que l’on souhaite couvrir.

Sur le plan de la structure, on retient du jeu qu’il :

• S’agit d’un système de règles (Piaget, Ascher et Brousseau); • Permet une suite logique d’actions basée sur les règles (Ascher); • Présente un support matériel (Brousseau);

• Présente un enjeu (gain/perte) (Brousseau);

• Présente un équilibre tensions/frustrations (Brousseau).

Sur le plan de la fonction, le jeu permet :

• Le plaisir (Piaget, Ascher, Brousseau);

• La construction de concepts sociaux telle que la coopération et la compétition (Piaget);

• Le développement de l’autonomie (Piaget);

• L’élaboration de stratégies et de tactiques (Piaget, Ascher, Brousseau);

• Le développement du raisonnement mathématique (exemplification, généralisation, validation) ou d’une connaissance (Ascher, Brousseau)

• Un contrôle du sujet réfléchissant à même le jeu (Brousseau).

Cela regroupe donc les éléments de structure et les fonctions qui doivent être présents dans un jeu afin de le qualifier de mathématique au sens de ce mémoire. En ce sens, un jeu qui reprendrait certaines caractéristiques (comme un jeu de Bingo avec des nombres négatifs, où le joueur doit simplement écouter les instructions sans se créer de stratégie) serait un jeu, mais pas un jeu mathématique en ce sens qu’il ne correspond pas à la structure et aux fonctions d’un jeu mathématique. Il n’est pas exclu qu’un tel jeu soit utilisé dans une classe de mathématique, mais les jeux qui seront retenus ici seront des jeux mathématiques, donc des jeux qui répondent aux critères de structures et de fonctions relevés ci-dessus découlant des définitions de Piaget (1978/1945), Ascher (1998) et Brousseau (1986). On peut alors se donner un exemple d’un jeu mathématique en prenant le jeu d’échec comme un jeu mathématique puisqu’il respecte les critères combinés de ces trois auteurs.

2.2. Raisonnement mathématique

Après avoir défini ce qui est ici entendu par « jeu mathématique », il convient maintenant de discuter du raisonnement mathématique puisque ce sera l’objet d’intérêt dans les analyses des situations de jeu vécues par les élèves. D’abord, dans son sens commun, le raisonnement renvoie à des arguments ou à des jugements issus d'une réflexion. L’intention de la réflexion est de se convaincre soi-même ou de convaincre quelqu'un de quelque chose. En mathématique, le raisonnement est central. Plusieurs ont tenté de circonscrire ce qu’était le raisonnement mathématique et en 2015, Jeannotte a mené une anasynthèse7 _{sur ce concept}

qui lui a permis de constituer un modèle de raisonnement mathématique.

Jeannotte (2015) se positionnait dans une perspective commognitive pour l’élaboration de son modèle. Cette perspective fait référence à la présence de la communication et de la cognition comme manifestation d’une même activité mathématique (Sfard, 2008). Cela a comme incidence de décrire le raisonnement mathématique comme une forme de discours mathématique qu’elle soit verbale, gestuelle, iconique, etc.

Jeannotte (2015) décrit le raisonnement mathématique selon deux aspects : l’aspect structurel (déduction, induction, abduction et analogie) et l’aspect processuel (généraliser, conjecturer, identifier une régularité, comparer, classifier, justifier, prouver, démontrer et exemplifier). Elle présente les éléments selon ces deux aspects illustrés dans la figure ci-contre (Figure 1).

Figure 1 - Modèle du raisonnement mathématique de Jeannotte (Jeannotte, 2015, p. 2778₎

Ces deux aspects sont développés dans ce qui suit.

2.2.1. Aspect structurel

Pour Jeannotte, l’aspect structurel correspond à « la manière dont les éléments discursifs s’agencent entre eux en un système ordonné qui décrit à la fois les éléments et les relations qu’ils entretiennent entre eux » (Jeannotte, 2015, p.277). En ce sens, l’aspect structurel correspond à l’organisation des éléments et permet ainsi d’inférer des règles à partir de données, ou des données à partir de règles. Ces inférences se caractérisent par les divers pas

de raisonnement utilisé, un pas de raisonnement étant « composé de données, d’une

affirmation et d’une règle qui permet le passage des données à l’affirmation » (Jeannotte, 2015, p.277). Jeannotte (2015) lie donc à l’aspect structurel le pas déductif, le pas inductif et le pas abductif.

Le pas déductif correspond à « infére[r] une affirmation à partir de données et d’une règle » (Jeannotte, 2015, p.278). Il s’agit donc de partir d’une ou de plusieurs règles déjà établies pour créer une affirmation. Le pas inductif correspond à « infére[r] une règle à partir de données et d’affirmation à propos de ces données » (Jeannotte, 2015, p.278). Le pas inductif

est en quelques sortes l’inverse du pas déductif. Ici, il s’agit de partir de données et d’affirmation pour construire une règle valable. Le pas abductif correspond à « infére[r] des données à partir d’une affirmation et d’une règle » (Jeannotte, 2015, p.278) puis « infére[r] des données et une règle à partir d’une affirmation » (Jeannotte, 2015, p.277 ). En ce sens, le pas inductif correspond à générer une règle à partir de données et le pas abductif correspond à la génération de données à partir d’une règle, puis à ajuster la règle en fonction des données. Par exemple, lorsqu’on fait une induction, il arrive que la règle contredise certaines données. Dans ce cas précis, on aura alors une partie abductive (générer des données à partir de la règle envisagée, puis inférer une nouvelle règle qui prend en compte les données qui ne respectaient pas la première règle). Le résultat final (la règle produite) peut alors être considéré comme inductif (elle part de données et d’affirmation pour être générer), mais il vient d’un ou de plusieurs pas abductifs.

Afin de clarifier ce qu’est une abduction, le cycle déductif de De Souza (2005) repris par Rivera (2008) sera utilisé. Dans son cycle d’abduction, De Souza mentionne quatre étapes dont certaines se répètent : 1- des résultats observés, 2- faire l’hypothèse d’une règle, 3- la règle supporte ou contredit un cas, et 4- révision de la règle. La Figure 2 reprend ces étapes.

Figure 2 – Processus itératif d’abduction inspiré de De Souza (2005, dans Rivera, 2008)

Observations des données hypothèse d'une règle règle supporte ou contredit les données Révision de la régle ABDUCTION

Tout d’abord, un résultat est observé, ici on part de données et d’affirmations qui sont observées. Ensuite, une hypothèse de règles est formulée. Ici le terme hypothèse prend le sens d’« une idée plausible » qui doit se confronter à d’autres données, d’autres cas. Il convient de mentionner que, lors d’une abduction, l’hypothèse correspond à quelque chose de non connu, contrairement à l’hypothèse mathématique (utilisée lors de preuves) qui fait référence à un fait établi comme véridique. À la suite de l’hypothèse par rapport aux règles, on observe les données qui confirment la règle et on vérifie si certaines données contredisent la règle. Si des données qui contredisent la règle existent, le cycle repart jusqu’à ce que la règle satisfasse toutes les données, donnant naissance à la règle révisée. Cette définition cyclique met l’accent sur le processus itératif de révision de la règle, processus qui est certainement présent en cours de jeu. On trouve à la section 4.3.3 un exemple de ce processus cyclique en cours de jeu.

2.2.2. Aspect processuel

Si l’aspect structurel s’appuie sur l’organisation des éléments permettant ainsi d’inférer des règles ou des données, l’aspect processuel s’appuie sur les processus, c’est donc dire sur la démarche de résolution. L’aspect processuel se divise en deux catégories : les processus de recherche de similitudes et de différences (généraliser, conjecturer, identifier une régularité, comparer et classifier) et les processus de recherche de validation (justifier, prouver, démontrer). Le processus « exemplifier » est quant à lui présent à la fois dans l’ensemble de l’aspect processuel du raisonnement. Certains éléments apparaissent plus parlants en situation de jeu.

Les éléments faisant appel au processus de recherche de similitudes et de différences qui font partie intégrante de la création de stratégie seront d’abord notés. En effet, c’est en généralisant, en conjecturant, en identifiant des régularités, en comparant, en classifiant et en exemplifiant que les joueurs créeront une stratégie. L’idée de généraliser, c’est-à-dire « infère[r] un énoncé à propos d’un ensemble d’objets mathématiques, ou d’une relation entre différents objets de cet ensemble, à partir d’un ensemble plus restreint d’objets contenus dans ce premier » (Jeannotte, 2015, p.270), correspond à mettre ensemble plusieurs éléments du jeu afin de générer un énoncé ou un élément de stratégie.

L’idée de conjecturer, c’est-à-dire « par la recherche de similitudes et de différences, […] inférer un énoncé à propos d’une régularité, ou d’une relation, pour lequel la valeur épistémique qui lui est rattachée est vraisemblable, et qui a un potentiel de théorisation mathématique » (Jeannotte, 2015, p.270), permet de créer une stratégie qui sera plus adéquate en ce sens qu’elle sera basée sur un énoncé jugé vrai par l’observation des régularités du jeu.

L’idée d’identifier une régularité, c’est-à-dire « infère[r] un énoncé à propos d’une relation récursive entre différents objets ou entre relations mathématiques, par la recherche de similitudes et de différences entre ces objets ou entre relations mathématiques » (Jeannotte, 2015, p.270), l’idée de comparer, c’est-à-dire « inférer, par la recherche de similitudes et de différences, un énoncé à propos d’objets et de relations mathématiques » (Jeannotte, 2015, p.270) et l’idée de classifier, c’est-à-dire « par la recherche de similitude et de différences entre des objets mathématiques, […] inférer des énoncés à propos de classes en s’appuyant sur des propriétés ou des définitions mathématiques » (Jeannotte, 2015, p.270), font également partie de l’aspect processuel du raisonnement. Ces idées permettent d’observer, de comparer et de classifier des éléments qui permettront la conjecture ou la généralisation, ce qui pourra mener à la création de stratégies.

L’exemplification permettra quant à elle à la fois de rechercher des similitudes et des différences entre certains éléments du jeu et de valider certaines propositions en s’appuyant sur un exemple donné ou générique.

Le processus de validation fait partie de tout jeu lorsqu’un joueur cherche à valider que ce qu’il a fait est adéquat. Souvent, il s’agira cependant simplement de justifier, puisque la preuve et la démonstration9 sont plus formelles et s’appuient sur un raisonnement déductif.

9 _{Pour Jeannotte, prouver et démontrer sont deux « processus de [raisonnement mathématique] qui, par la}

recherche de données, de permis d'inférer et de fondement mathématique, permet de modifier la valeur épistémique de vraisemblable à vraie d'un énoncé » (Jeannotte, 2015, p.271). Prouver « est contingenté par : 1. des énoncés acceptés par la communauté de la classe (ensembled'énoncés acceptés) qui sont vrais (du point de

vue du discoursmathématique de 1' expert) et disponibles sans autre justification;2. une restructuration finale

déductive;3. des réalisations appropriées et connues ou accessibles à la classe » (Jeannotte, 2015, p.271) alors que démontrer « est contingenté par : des énoncés acceptés par la communauté de la classe (ensembled'énoncés acceptés) qui sont vrais (du point de vue du discoursmathématique de l'expert) et systématisés dans une théorie mathématique; 2. une restructuration finale déductive; 3. des réalisations formalisées et acceptées par la communauté de laclasse et mathématique » (Jeannotte, 2015, p.271). En ce sens, la démonstration est plus formelle que la preuve.

Or, en situation de jeu, les joueurs ont plutôt tendance à avoir un raisonnement inductif. Par exemple, aux échecs, un joueur pourrait valider son coup en vérifiant que sa reine est encore protégée et que le pion déplacé ne se fera pas manger. Il peut alors justifier que son coup est adéquat en énonçant ces propriétés qui rendent le coup adéquat. En termes de raisonnement mathématique, on parle plutôt de « changer la valeur épistémique d’un énoncé » (Jeannotte, 2015, p.271). En termes de jeu, il s’agira souvent de déterminer si le coup est adéquat ou si la stratégie est adéquate.

2.3. Objectifs de recherche

Au regard du cadre théorique, il découle des caractéristiques quant à la structure et à la fonction des jeux mathématiques ainsi que des éléments de raisonnement mathématique pouvant être mobilisés par les élèves en cours de jeu. Il convient de reprendre les objectifs de recherche au regard de ces nouveaux éléments.

L’objectif général, celui de mieux comprendre le potentiel des jeux mathématiques exploitant des concepts du début du secondaire, s’appuiera donc sur le potentiel en termes de raisonnement mathématique et sur l’analyse du jeu lui-même. Les deux objectifs spécifiques sont : 1- documenter la création en termes de structure du jeu et de raisonnements mathématiques convoqués par les jeux impliquant des concepts mathématiques du secondaire et 2- décrire les raisonnements mathématiques des élèves du secondaire en contexte de jeu.