GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L’ESPACE
V.1. Isométries et déplacements de l’espace
Les isométries vectorielles Le théorème II.2.1 affirme qu’elles sont composées d’une, de deux ou de trois réflexions et la proposition II.3.14 nous en donne une forme matricielle : il existe une base orthonormée de l’espace vectoriel E de dimension 3 dans laquelle la matrice Ade l’isométrie f a une des formes suivantes(1).
– Soit A =
1
1
−1
, cas où f est une réflexion de plan engendré par les deux premiers vecteurs de la base,
– soit A =
1
cosθ −sinθ sinθ cosθ
, on dit alors que l’isométrie est une rotation d’axe la droite engendrée par le premier vecteur de la base ; c’est la forme de toutes les isométries positives (des éléments de O+(E)),
(1)Les coefficients qui n’apparaissent pas sont nuls.
– soitA=
−1
cosθ −sinθ sinθ cosθ
, on dit que l’isométrie est uneanti-rotation.
Rotations
Attardons-nous un instant sur les rotations. Ce sont les isométries vectorielles composées de deux réflexions. Si P1 et P2 sont deux plans vectoriels se coupant le long d’une droite D, l’isométrie sP2 ◦sP1 stabilise D (point par point) et le planQ=D⊥ (globalement). Dans ce plan, elle opère comme une rotation plane, c’est la composéesD2 ◦sD1, où Di désigne la droitePi∩Q(voir la figure 1). On remarquera que, comme dans le cas des rotations planes, on peut choisir de façon arbitraire l’un des deux plans intervenant dans la décomposition (il doit quand même contenir la droite fixeD).
P1
P2
D1
D2
D
Q
Figure 1
Dans une base orthonormée dont le premier vecteur,u, dirige D, la matrice de la rotation a la forme donnée ci-dessus :
1
cosθ −sinθ sinθ cosθ
.
On a envie de dire que le (qu’un) nombre θécrit dans cette matrice estl’angle de la rotation. Il faut être un peu prudent ici : ce nombre dépend de la base choisie.
Dans le plan, on a vu (au § II.3) qu’il fallait choisir une orientation pour bien définir θ (modulo 2π). Ici c’est un peu plus subtil : il faudrait avoir choisi des
orientations de tous les plans de l’espace, ce qui est impossible(2). La solution est la suivante. On fixe d’abord une orientation de l’espace. Une rotation étant donnée, on choisit une orientation (ou un vecteur unitaireu) sur sa droite fixeD.
Celle-ci devient ainsi unaxe. On complèteuen une base orthonormée de l’espace et on écrit la matrice de la rotation dans cette base. On obtient ainsi un nombreθ (au moins modulo2π). La rotation peut alors être notée ρu,θ et le nombre θpeut être appelé son angle... étant bien entendu que l’on a
ρ−u,θ=ρu,−θ.
En bref, pour mesurer l’angle d’une rotation, il est nécessaire d’orienter (l’espace et) la droite des points fixes de cette rotation. C’est sans doute pourquoi on appelle cette droite l’axede la rotation. Changer l’orientation de la droite transforme la mesure de l’angle en son opposée, changer l’orientation de l’espace aussi.
On trouvera confirmation de cette difficulté dans le fait que l’angle n’apparaît de façon intrinsèque (c’est-à-dire sans choix de base ou d’orientation) que par son cosinus, dans la trace de la rotationf,via la formule
tr(f) = 1 + 2 cosθ.
Un cas particulier important est celui des demi-tours, qui sont à la fois les symétries orthogonales par rapport aux droites et les rotations d’angleπ, obtenues comme composées de deux réflexions de plans orthogonaux.
Remarquons aussi, comme dans le cas du plan, que les translations sont les composées de deux réflexions de plans parallèles. Le vecteur de la translation s’obtient exactement comme en dimension 2 (voir le § III.2).
Les isométries affines Comme dans le cas du plan (toujours le § III.2), on déduit la forme des iso-métries affines de l’espace affine euclidien de l’étude des isoiso-métries vectorielles (c’est-à-dire de la forme matricielle donnée par la proposition II.3.14) et des ré-sultats généraux sur les points fixes des transformations affines (donnés par la proposition II.2.8).
On remarquera tout d’abord, en examinant les matrices données ci-dessus, que toutes les isométries vectorielles sauf les anti-rotations ont la valeur propre1. Soit donc ϕune isométrie affine de l’espace et soit −→ϕ l’isométrie vectorielle qui lui est associée.
– Si−→ϕ est l’identité,ϕest une translation.
(2)On trouvera un énoncé précisant le sens du mot « impossible » dans l’exercice VI.48.
– Si−→ϕ est une réflexion de planP, alors
– soitϕa un point fixeA: on vectorialise le plan affine enAet on applique le résultat vectoriel correspondant pour obtenir que ϕ est la réflexion par rapport au plan passant parA et dirigé parP;
– soitϕ n’a pas de point fixe : alors, en vertu de la proposition II.2.8, il existe un unique vecteurv deP et une unique réflexionψ de plan dirigé par P telle que
ϕ=tv◦ψ=ψ◦tv. L’isométrieϕest dite symétrie glissée orthogonale.
– Si−→ϕ est une rotation d’axeD,
– soit ϕ a un point fixe A : on vectorialise l’espace affine en A de sorte queϕ s’identifie à−→ϕ; on dit que ϕest une rotationd’axe la droite passant par A et dirigée parD;
– soitϕn’a pas de point fixe : toujours en utilisant la proposition II.2.8, un trouve un unique vecteurvde Det une unique rotationψ d’axeDdirigé par Dtels que
ϕ=tv◦ψ=ψ◦tv.
L’isométrieϕest ditevissage d’axe D: on fait tourner l’espace autour deD et on pousse le long d’un vecteur de la direction deD(c’est bien ce qu’on fait quand on visse). Un nom plus savant, mais aussi imagé, est « déplacement hélicoïdal » .
Figure 2. Vissage
H x
σH(x) ϕ(x) Figure 3. Anti-rotation
– Si −→ϕ est une anti-rotation, alors, d’après la proposition I.3.20), elle n’a pas de vecteur fixe non nul etϕa un unique point fixeA. Elle travaille donc en affine
comme le fait −→ϕ en vectoriel. On dit que c’est une anti-rotation. Elle est, par exemple, composée d’une rotation et d’une symétrie centrale.