Dans la d´efinition des champs markoviens d’holonomies apparaissent deux no- tions de sym´etries. Ce sont en r´ealit´e ces deux sym´etries qui sont les deux piliers de la th`ese. La premi`ere est l’invariance par une classe d’hom´eomorphismes, tandis que la seconde est la sym´etrie par transformation de jauge. Dans cette section, nous traitons de l’invariance par certains hom´eomorphismes, et de la sym´etrie qu’elle induit en probabilit´e : l’invariance par tressage.
3.1. Les tresses. — Le groupe de tresses poss`ede de nombreuses facettes qui sont d’´egale importance dans ce travail. Ainsi on peut l’approcher du point de vue combinatoire, du point de vue g´eom´etrique et du point de vue alg´ebrique. 3.1.1. Facette g´eom´etrique. — Les tresses g´en´eralisent la notion de permutations. Prenons un certain nombre d’objets, num´erot´es par 1, 2, ..., n, et pos´es sur une table. Que signifie permuter ces objets ? Habituellement, une permutation en math´ematiques n’est que le r´esultat de l’action de permuter les objets 1, ..., n. Ainsi une permutation de 1, 2, 3, 4 est donn´ee par exemple par 4, 2, 3, 1 et nous oublions alors comment nous avons permut´e les ´el´ements. Les objets 2 et 3 sont-ils rest´es tout le temps `a leur place ? La notion de tresse permet de corriger cet oubli : une tresse g´eom´etrique `a n brins est la donn´ee de n fonctions ( j)nj=1 continues
de [0, 1] dansR2 qui ne s’intersectent pas et telles que pour tout j dans{1, ..., n}, j(0) = (j, 0) et l’ensemble des valeurs prises par j(1) est ´egal `a{(1, 0), ..., (n, 0)}.
En regardant l’image 6, nous voyons donc qu’une tresse g´eom´etrique `a n brins est l’action de permuter n objets pos´es en ligne. Deux tresses g´eom´etriques sont
´equivalentes par isotopie si on peut transformer l’une en l’autre de fa¸con continue sans faire passer un brin au travers d’un autre : une tresse est alors la donn´ee d’une classe d’isotopie d’une tresse g´eom´etrique.
Figure 6. Tresse g´eom´etrique
En voyant une tresse comme la permutation de n objets en ligne, on voit que l’on peut composer deux tresses : il suffit de permuter les objets en suivant la seconde tresse puis de continuer `a permuter en utilisant la premi`ere tresse. Un exemple est donn´e dans la figure 7. On obtient l’inverse d’une tresse en permutant dans l’autre sens les n objets. Ceci permet de munir l’ensemble des tresses `a n brins d’une structure de groupe : c’est le groupe des tresses Bn.
=
Figure 7. Multiplication de deux tresses
Nous avons vu que la notion de permutation en math´ematiques ne formalise pas la notion de permutation physique d’objets. C’est en partie dˆu au fait que l’on perd, en consid´erant une permutation math´ematique, la dynamique ayant ´echang´ee les particules. Les tresses permettent de conserver une trace de l’´evolution des particules, le temps s’´ecoulant le long de la tresse de haut en bas : la tresse est dans un sens un objet dynamique.
Nous allons expliquer comment nous pouvons coder, de fa¸con statique, une per- mutation physique de particules. Pour cela, consid´erons P1 etP2 deux ensembles
de particules sur la droite d’´equation y = 1, et supposons que l’on ait obtenu P2
en permutant l’ordre des particules dans l’ensemble P1. Remarquons que, quitte
`a bouger les particules sans changer leur ordre sur la droite, on peut supposer que P1 =P2 ={(i, 1), i 2 {1, ..., n}}. Consid´erons alors le disque D de centre 0 et de
rayon n + 1. Une permutation physique est cod´ee par un di↵´eomorphisme de
D \ P1 dans D \ P2 qui ne modifie que l’int´erieur deD.
En e↵et, ´etant donn´e un tel di↵´eomorphisme, un lemme appel´e “truc
d’Alexander” permet de montrer qu’il existe une dynamique continue t de
di↵´eomorphismes, deD dans lui-mˆeme, telle que 0 soit l’identit´e, et 1 soit ´egale
`a . On obtient donc une permutation physique des points de P1. En consid´erant
alors l’´evolution des points dans P1 par ( t)t 0, on voit apparaitre la figure 6,
c’est `a dire une tresse g´eom´etrique. Il s’av`ere que le choix de la dynamique ( t)t 0
n’influence pas la classe d’isotopie de la tresse g´eom´etrique obtenue, c’est `a dire que l’on obtient la mˆeme tresse. A tout di↵´eomorphisme de D \ P1 dans D \ P2
qui ne modifie que l’int´erieur de D, on peut alors associer une tresse.
3.1.2. Facette alg´ebrique. — Il est aussi intuitif de voir queBnest engendr´e par les
classes d’´equivalence des tresses qui ne font que permuter deux objets adjacents, comme dessin´e dans la figure 8. La tresse permutant i et i + 1 en faisant passer i derri`ere i + 1 sera not´ee i. De plus, en oubliant comment nous avons permut´e,
et en ne conservant que le r´esultat final, nous obtenons pour toute tresse une
permutation : cela d´efinit un morphisme p : Bn ! Sn qui envoie i sur la
transposition (i, i + 1).
i i+1
Figure 8. La tresse i
Il sera important par la suite de consid´erer une action du groupe de tresses Bn
sur les n-uplets d’´el´ements de G. En e↵et, nous consid`ererons des syst`emes de particules poss´edant des caract´eristiques associ´ees `a chacune d’entre elles, et pour lesquelles passer derri`ere une autre particule a↵ecte la caract´eristique de cette derni`ere. Il s’agit de d´eterminer comment sont a↵ect´ees les caract´eristiques lors d’un r´earrangement des particules.
D´efinition 3.1. — L’action naturelle deBn sur Gn est l’unique action telle que
pour tout i2 {1, ..., n 1}, et tout n-tuple (xi)ni=1 dans Gn,
i• (x1, ..., xi 1, xi, xi+1, ..., xn) = x1, ..., xi 1, xixi+1xi 1, xi, ..., xn .
Consid´erons µ une mesure sur Gn ainsi que (X
1, ..., Xn) de loi µ. Consid´erons
une tresse dans Bn. La loi de • (X1, ..., Xn) est d´enot´ee par • µ.
De fa¸con informelle, lorsque la particule i passe derri`ere la particule i + 1, la particule i + 1 voit sa caract´eristique conjugu´ee par celle port´ee par la particule i, cette derni`ere ne subissant aucune modification. Remarquons que, quand la particule i + 1 passe derri`ere la particule i, c’est-`a-dire quand on applique la tresse
1
i , la caract´eristique de la particule i + 1 reste inchang´ee et celle port´ee par
la particule i est conjug´ee, elle devient xi+11 xixi+1. On peut remarquer que le
produit dans l’ordre croissant des caract´eristiques des particules reste inchang´e par l’action d’une tresse, par exemple lorsque l’on applique i :
x1...xi 1(xixi+1xi 1)xi...xn= x1...xn.
La transformation induite par les tresses poss`ede donc une quantit´e conserv´ee : le produit des caract´eristiques. En r´ealit´e cette remarque est importante puisqu’elle permet d’introduire la facette alg´ebrique du groupe des tresses. En e↵et, par un th´eor`eme d’Artin, on peut aussi voir le groupe des tresses Bn comme l’ensemble
des automorphismes a du groupe libreFn, engendr´e par {e
1, ..., en}, tels que pour
tout i2 {1, ..., n} :
a(ei) est conjugu´e `a un ´el´ement de la famille{e1, ..., en},
le produit dans l’ordre d´ecroissant est conserv´e : a (en...e1) = a(en)...a(e1).
En particulier, il existe une action du groupe des tresses Bn sur le groupe libre
Fn : celle-ci est donn´ee par le fait que pour tout i2 {1, ..., n 1} : i(ej) = ej si j /2 {i, i + 1},
i(ei) = ei+1, i(ei+1) = ei+1eiei+11 .
3.2. Syst`eme bosonique/ Syst`eme anyonique. — Afin de donner des in-
tuitions sur les champs markoviens d’holonomies planaires, il est apparu que les notions de syst`emes bosoniques et anyoniques ´etaient d’une grande aide. Ces deux notions, d´evelopp´ees pour les besoins d’un expos´e, ne doivent pas ˆetre compar´ees aux notions provenant de la litt´erature, mais doivent ˆetre utilis´ees comme des “mod`eles-jouets”.
3.2.1. Syst`eme bosonique : th´eor`eme de de Finetti. — Dans cette section, on consid`ere un syst`eme naturel qui permet d’introduire la notion d’invariance par le groupe sym´etrique. Consid´erons un nombre d´enombrable de particules indis- tinguables qui poss`edent une caract´eristique al´eatoire mod´elis´ee par un ´el´ement d’un groupe compact topologique G, par exemple des boussoles dont les fl`eches indiquent un ´el´ement de U (1). Peut-on comprendre la loi des caract´eristiques al´eatoires associ´ees aux particules observ´ees ? Le th´eor`eme de de Finetti r´epond exactement `a cette question : les caract´eristiques sont conditionnellement ind´ependantes. La mod´elisation d’un tel syst`eme de particules est donn´ee dans la d´efinition suivante.
D´efinition 3.2. — Un syst`eme bosonique est la donn´ee pour tout sous-ensemble fini P de points dans le plan d’une mesure EP sur GP telle que :
1. Compatibilit´e : Si P1 ⇢ P2 sont deux sous-ensembles finis de points dans
le plan, consid´erons l’application de restriction : rP1,P2 : GP2 ! GP1. On a : EP1 =EP2 r
1 P1,P2.
2. Indistinguabilit´e : Pour tous sous-ensembles finis P1 et P2 de points dans
le plan et tout hom´eomorphisme :R2 ! R2 tel que (P
1) =P2,
EP1 =EP2
1,
o`u est ici l’application de GP2 dans GP1 induite par l’hom´eomorphisme . Le th´eor`eme de de Finetti dans sa version math´ematique s’exprime de la fa¸con suivante.
Th´eor`eme 3.1 (Th´eor`eme de de Finetti). — Soit (Xn)n2N⇤ une suite de variables al´eatoires `a valeurs dans G. Supposons que (Xn)n2N⇤ est ´echangeable, c’est-`a-dire pour tout entier n2 N⇤, pour toute permutation 2 S
n, (Xk)k2{1,...,n}
a la mˆeme loi que (X (k))k2{1,...,n}. Alors conditionnellement `a la tribu queue
de (Xn)n2N⇤, T , d´efinie par T = Tn2N (Xk, k n) , la suite (Xn)n2N est
ind´ependante. En particulier, il existe une mesure al´eatoire µ qui estT mesurable telle que la loi de (Xn)n2N est ´egale `a E [µ⌦1]. La r´eciproque est aussi v´erifi´ee.
Nous pouvons reformuler le th´eor`eme de de Finetti dans le cadre des syst`emes bosoniques.
Th´eor`eme 3.2. — Pour tout syst`eme bosonique (EP)P⇢R2, il existe une mesure al´eatoire µ sur G telle que pour tout sous-ensemble fini P du plan, EP =E
⇥ µ⌦P⇤.
Inversement `a toute mesure al´eatoire µ sur G on peut associer de la sorte un syst`eme bosonique.
On voit qu’il existe un type sp´ecial de syst`emes bosoniques, les syst`emes bosoniques purs, pour lesquels la mesure al´eatoire µ associ´ee est en r´ealit´e non-al´eatoire : les caract´eristiques des particules sont ind´ependantes de loi µ.
3.2.2. Syst`eme anyonique. — Quelle est la motivation derri`ere l’axiome d’indistinguabilit´e dans la d´efinition d’un syst`eme bosonique ? Deux hypoth`eses sont n´ecessaires :
1. d’une part lorsqu’on permute deux particules, les particules n’interagissent pas et ´echangent simplement leur place,
2. d’autre part, une fois que l’on a permut´e les particules, ´etant donn´e qu’elles sont indistinguables, les syst`emes avant et apr`es permutation doivent avoir la mˆeme loi.
On va consid´erer maintenant un nouveau syst`eme naturel qui permet de faire apparaˆıtre l’invariance par le groupe de tresses. Pour ceci, on remet en cause la premi`ere hypoth`ese. En e↵et, nous avons vu que l’action de permuter dans le sens commun est en r´ealit´e une tresse, et nous avons d´efini une action de tresse en supposant que les particules interagissent entre elles via leurs caract´eristiques. En rempla¸cant l’axiome de non-interaction par l’interaction via l’action des tresses, on aboutit `a un syst`eme que l’on appellera un syst`eme anyonique de particules(23).
Au lieu d’´etudier un tel syst`eme anyonique de particules, nous allons axio- matiser le syst`eme de champ associ´e via la transformation particules/champs. Ces syst`emes seront aussi appel´es syst`emes anyoniques et sont d´efinis de la fa¸con suivante.
D´efinition 3.3. — Un syst`eme anyonique est la donn´ee pour tout sous-
ensemble fini P de points dans le plan ne contenant pas 0 d’une mesure EP sur
Hom (⇡1(R2\ P), Gop), o`u ⇡1(R2 \ P) est le groupe fondamental bas´e en 0, telle
que :
1. Compatibilit´e : Soient P1 ⇢ P2 deux sous-ensembles finis de points dans
le plan ne contenant pas 0. Consid´erons l’application de restriction : rP1,P2 : Hom ⇡1(R2\ P2), Gop ! Hom ⇡1(R2\ P1), Gop .
On a :
EP1 =EP2 r
1 P1,P2.
(23)Un syst`eme anyonique de particules est la donn´ee pour tout sous-ensemble fini
P de points sur la droite d’´equation y = 1 d’une mesureEP sur GP telle que :
1. Compatibilit´e : la condition de compatibilit´e ´enonc´ee dans la d´efinition 3.2 est v´erifi´ee, 2. Indistinguabilit´e : soientP1 etP2deux sous-ensembles finis de points sur la droite y = 1.
Soit une permutation physique de P1 dans P2, vue comme di↵´eomorphisme, et con-
sid´erons sa tresse associ´ee comme expliqu´e dans la fin de la section 3.1.1. Alors : EP2= • EP1
o`u nous avons utilis´e l’isomorphisme canonique GP ⇠ G#P d´efini en utilisant l’ordre
2. Indistinguabilit´e : Pour tous sous-ensembles d´enombrables P1 et P2 de
points dans le plan ne contenant pas 0 et tout hom´eomorphisme :R2 ! R2
tel que (P1) = P2,
EP1 =EP2
1,
o`u est l’application naturelle induite par allant de Hom (⇡1(R2\ P2), Gop)
dans Hom (⇡1(R2\ P1), Gop).
Montrons, sur un exemple, que l’inverse de la transformation particules/champs permet d’associer un syst`eme anyonique de particules `a un syst`eme anyonique.
Consid´erons un syst`eme anyonique (EP)P et posons P = {( 1, 1), (1, 1)}. L’ensemble P repr´esente la position de deux particules num´erot´ees 1 et 2, respectivement en position ( 1, 1) et (1, 1). Nous voulons d´efinir des car- act´eristiques al´eatoires associ´ees `a ces particules. Soit h un hom´eomorphisme al´eatoire dans Hom(⇡1(R2 \ P), Gop) ayant pour loi EP. Consid´erons les deux
lacets l1 et l2 dessin´es dans la figure 9. On d´efinit alors les variables al´eatoires
(Y1, Y2) = (h(l1), h(l2)). Par l’inverse de la transformation particules/champs, la
caract´eristique al´eatoire de 1, respectivement de 2, est Y1, respectivement Y2.
Consid´erons la permutation physique des particules 1 et 2 telle que repr´esent´ee dans la figure 9. La tresse associ´ee fait passer la particule 1 devant la particule 2 : c’est donc la tresse 11 telle que d´efinie dans le d´ebut de la section 3.1.2. Il nous faut donc montrer que (Y1, Y2) a la mˆeme loi que 11• (Y1, Y2) = (Y2, Y2 1Y1Y2).
1 (0,0) 2 1 (0,0) 2 l1 l2 1 (0,0) 2 l'1 l'2
Figure 9. Permutation d’un syst`eme de particules anyoniques
En utilisant la propri´et´e d’indistinguabilit´e du syst`eme anyonique, nous savons que :
EP =EP 1,
o`u 1 est l’application naturelle induite par la permutation physique vue
comme un hom´eomorphisme. Ainsi, sous EP, la loi de (h(l1), h(l2)) est la mˆeme
que la loi de (h(l0
1), h(l02)), o`u l10 et l02 sont dessin´ees dans la figure 9.
Il est bon de remarquer que dans ⇡1(R2 \ {1, 2}) :
ainsi :
h(l01) = h(l2) = Y2, et h(l02) = h(l2) 1h(l1)h(l2) = Y2 1Y1Y2,
d’o`u le fait que (Y1, Y2) a la mˆeme loi que (Y2, Y2 1Y1Y2). En g´en´eralisant ce
r´esultat, on peut donc voir que l’inverse de la transformation particules/champs permet de d´efinir un syst`eme anyonique de particules `a partir d’un syst`eme any- onique.
Le th´eor`eme de de Finetti pour l’invariance par le groupe des tresses s’exprime de la fa¸con suivante.
Th´eor`eme 3.3 (Th´eor`eme de de Finetti-version tresses(25))
Soit (Xn)n2N⇤ une suite de variables al´eatoires `a valeurs dans G. Supposons que (Xn)n2N⇤ est tressable, c’est-`a-dire pour tout entier n2 N⇤, pour toute tresse 2 Bn, •(Xk)k2{1,...,n}a la mˆeme loi que (Xk)k2{1,...,n}. Alors conditionnellement
`a la tribu queue de (Xn)n2N⇤, T , d´efinie par T = Tn2N (Xk, k n) , la suite
(Xn)n2N est ind´ependante. De plus conditionnellement `a T , presque sˆurement la
loi de X1 est invariante par conjugaison par tout ´el´ement de son support.
En particulier, il existe une mesure al´eatoire µ, presque sˆurement invariante par conjugaison par tout ´el´ement de son support, qui est T mesurable telle que la loi de (Xn)n2N est ´egale `a E [µ⌦1]. La r´eciproque est aussi v´erifi´ee.
Nous pouvons de nouveau formuler le th´eor`eme de de Finetti dans le cadre des syst`emes anyoniques.
Th´eor`eme 3.4. — Pour tout syst`eme anyonique (EP)P⇢R2, il existe une mesure al´eatoire µ sur G, presque sˆurement invariante par conjugaison par tout ´el´ement de son support, telle que pour tout ensemble fini P ⇢ R2, E
P est la loi du champ
associ´e `a E⇥µ⌦P⇤ via la transformation particules/champs. Inversement `a toute mesure al´eatoire µ sur G, invariante par conjugaison par tout ´el´ement de son support, on peut associer de la sorte un syst`eme anyonique.
En utilisant la discussion que l’on a eue dans la fin de la section 2.4.2, on voit que lorsque l’on consid`ere un syst`eme anyonique et que l’on rend al´eatoire l’ensemble P, de sorte qu’il ait la loi d’un processus de Poisson d’intensit´e vol, on obtient un champ markovien d’holonomies planaire. On peut donc s’attendre `a un r´esultat similaire au th´eor`eme 3.4 pour les champs markoviens d’holonomies planaires : c’est ce que l’on expliquera dans la section 5.3.