Nous allons passer `a l’´etude plus sp´ecifique des champs markoviens d’holonomies planaires. Dans [Champs], nous d´efinissons ces objets, les construisons, les car- act´erisons puis les classifions avant d’appliquer les r´esultats `a l’´etude des champs markoviens d’holonomies non-planaires de T. L´evy.
Pour ce faire, nous avons besoin d’introduire certains r´esultats sur le groupe fondamental d’un graphe fini planaire.
5.1. Groupe fondamental d’un graphe fini planaire. — Dans l’´etude des syst`emes anyoniques, nous avions pu utiliser les tresses puisque nous devions ´etudier l’action d’hom´eomorphismes sur le groupe fondamental du plan priv´e d’un ensemble fini de points P.
Cependant, l’´etude des champs markoviens d’holonomies fait intervenir l’ensemble de tous les lacets sur le plan, et non des classes d’homotopies de chemins sur le plan priv´e d’un ensemble fini de points. On peut cependant se ramener `a un cadre similaire `a celui des syst`emes anyoniques en introduisant un graphe fini planaire et en ´etudiant les chemins trac´es sur ce graphe(30).
Donnons-nous G = (V, E, F) un graphe fini plong´e dans R2 dont les arˆetes sont
r´eguli`eres. Nous noteronsFb l’ensemble des faces born´ees dansF. De plus, on sup-
posera queG est connexe. Consid´erons v un sommet de G, le groupe fondamental deG bas´e en v est not´e RLv(G) : c’est le groupe des lacets r´eduits bas´es en v. La
donn´ee d’un morphisme de RLv(G) dans Goppermet de d´efinir canoniquement une
application multiplicative de Lv(G) dans G, Lv(G) ´etant l’ensemble des boucles
dans P(G) bas´ees en v. En e↵et, si l et l0 sont dans Lv(G) et sont homotopes,
alors on peut passer de l `a l0 en e↵a¸cant ou rajoutant des allers-retours le long d’arˆetes. Or si h est une fonction multiplicative de P(G) dans G, et si l = ab et l0 = aee 1b, alors
h(l) = h(ab) = h(b)h(a) = h(b)h(e) 1h(e)h(a) = h(l0).
Ainsi toute fonction multiplicative sur P(G) dans G est constante sur les classes d’homotopies des boucles dans Lv(G).
Prenons, dans l’int´erieur de chaque face born´ee F de G, un point xF et notons
PG l’ensemble {xF, F 2 Fb}. Le groupe fondamental ⇡v(G) est isomorphe au
groupe fondamental ⇡v(R \ PG).
Dans la transformation particules/champs d’holonomie, ´etant donn´e un sous- ensemble fini P du plan, nous avons utilis´e un choix de base de ⇡1(R2 \ P) as-
sez canonique afin de relever une application de GP en un hom´eomorphisme de
⇡1(R2\ P) dans Gop. On peut se douter de la d´emarche `a suivre : nous allons
d´efinir une mesure sur GPG ' GFb que nous allons relever en une mesure sur les
hom´eomorphismes de RLv(G) dans G. Pour ce faire, il nous faut une base de
⇡1(R2\ PG) et pour cela nous avons besoin de trois objets(31) :
1. un sommet v0 de V,
2. un arbre couvrant T ,
3. pour toute face born´ee F de G, une boucle cF dans P(G) qui borde F et qui
parcourt la fronti`ere deF dans le sens anti-horaire.
Pour tout sommet v de G, notons [v0, v]T l’unique chemin injectif dans T
qui va de v0 dans v. Pour toute face born´ee F de G, on note lF la boucle
[v0, cF]TcF[v0, cF]T1 (Figure 10). v c_F cF v c_F F l 0
Figure 10. Un ´el´ement d’une base de lassos
On nommera toute famille (lF)F2Fb obtenue de cette fa¸con une base de lassos pourG : toute base de lassos pour G est une famille libre et g´en´eratrice du groupe RLv(G) qui est un groupe libre de dimension #Fb (32). Ainsi l’application :
T,(cF)F2F :Mult(Lv0(G), G) ! GF b
h7! (h (lF))F2Fb, est une bijection et pour tout l2 Lv0(G), il existe un mot w
⇣ (lF)F2Fb, lF1 F2Fb ⌘ en les lettres (lF)F2Fb et lF1 F2Fb tel que hl = w ⇣ (hlF)F2Fb, ⇣ hl 1 F ⌘ F2Fb ⌘ .
Ceci permet donc d’appliquer une transformation similaire `a la transformation particules/champs et permet de relever une mesure de GFb en une mesure sur Mult(Lv0(G), G). En restreignant cette mesure `a la tribu invariante et en utilisant les remarques expliqu´ees `a la fin de la section 4, ceci suffit `a construire une mesure surMult(P(G), G) invariante par transformation de jauge. Cette mesure d´epend en g´en´eral de la base de lassos consid´er´ee sauf si, par exemple, la mesure µ de d´epart sur GFb est tressable, c’est `a dire si le processus des projections canoniques sur (GFb, µ) est invariant en loi par l’action des tresses. Cette propri´et´e sera v´erifi´ee dans le cadre de la construction des champs de Yang-Mills planaires esquiss´ee dans la section 5.2.
(31)Voir la section 6.3 de [Champs]. (32)Proposition 6.1 de [Champs].
5.2. Construction. — Afin d’expliquer comment modifier l’´etape 1 dans la construction de T. L´evy expos´ee dans la section 2.5.2 afin de la g´en´eraliser(33), il
nous faut d´efinir une sym´etrie pour les processus de L´evy.
D´efinition 5.1. — Pour tout processus de L´evy X = (Xt)t 0 `a valeurs dans G,
le support de X est le plus petit sous-groupe ferm´e HX de G tel que pour tout
r´eel positif, Xt est presque sˆurement dans H. Un processus de L´evy est dit auto-
invariant par conjugaison s’il est invariant par conjugaison par tout ´el´ement de HX.
Donnons-nous X = (Xt)t 0 un processus de L´evy auto-invariant par conjugai-
son, nous pouvons alors construire un champ markovien d’holonomies planaire associ´e. Pour cela, on change l’´etape 1 dans la construction de T. L´evy de la fa¸con suivante. Rappelons que vol2 D(R2). La mesure YMX
vol,G est la mesure sur
Mult(P(G), G) d´ecoulant du choix de mesure sur GFb donn´e par : Z GFb f ((hlF)F2Fb)YM X vol,G(dh) = Z G⇥GFb f (g 1hlFg)F2Fb dg⌦ O F2Fb LXvol(F )(dhlF), (7)
o`u pour tout t 0,LXt est la loi de Xt, et pour tout F 2 F
b, h
lF est la projection canonique associ´ee `a F d´efinie sur GFb.
Supposons que X est invariant par conjugaison par G, alors sous YMXvol,G, les variables al´eatoires (hlF)F2Fsont ind´ependantes, et pour toute face born´ee F , hlF a la mˆeme loi que Xvol(F ). D`es que X n’est plus invariant par conjugaison par G,
les variables al´eatoires (hlF)F2F ne sont plus ind´ependantes.
Il s’av`ere que pour toute base de lassos, il existe une fa¸con de l’ordonner de telle sorte que le produit des ´el´ements de la base repr´esente la fronti`ere de la face non- born´ee deG. On voit donc qu’une application envoyant une base de lassos en une autre base de lassos, `a permutation pr`es des deux bases, conserve le produit des deux bases. Cette transformation provient alors d’une tresse d’apr`es le th´eor`eme d’Artin expos´e `a la fin de la section 3.1.
Th´eor`eme 5.1 (Proposition 7.1 de [Champs]). — ´Etant donn´e deux bases
de lassos pour G bas´ees au mˆeme point v0, on peut trouver une tresse qui trans-
forme la premi`ere en la seconde.
Ceci permet de montrer que la mesure obtenue YMXvol,G ne d´epend pas du choix de l’arbre couvrant et des boucles faciales consid´er´ees. Grˆace `a l’invariance par transformation de jauge, on montre qu’elle ne d´epend pas non plus du choix du sommet v0.
On continue alors avec l’´etape 2 (la preuve du fait que YMXG0 ⇢P(1G),P(G0)= YM X G
est di↵´erente mais utilise aussi de fa¸con fondamentale le fait que X est un processus de L´evy) et avec l’´etape 3 de la construction de T. L´evy. On montre alors, par des preuves distinctes de celles de T. L´evy, puisqu’utilisant l’invariance par tresses, que le champ d’holonomies est un champ markovien d’holonomies planaire. On aboutit donc au th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 5.2 (Th´eor`eme 8.1 de [Champs]). — Pour tout processus de
L´evy auto-invariant par conjugaison X = (Xt)t 0, il existe un unique champ
markovien d’holonomies planaire stochastiquement continu YMXvol vol2D(R2) tel que pour tout graphe G, pour tout choix de base de lassos (lF)F2Fb pour G, pour toute fonction continue sur GF, l’´egalit´e (7) est v´erifi´ee.
Cette construction g´en´eralise la construction pr´esent´ee par T. L´evy dans [23]. En appliquant ce th´eor`eme au cas o`u X est un processus de L´evy invariant par conjugaison qui poss`ede une densit´e, on retrouve sur le champ markovien d’holonomies planaire construit par T. L´evy.
Remarque 5.1. — Une remarque importante est que si l’on consid`ere une mesure de densit´e vol 2 D(R2), deux disques ferm´es D
1 et D2 disjoints sauf
en 0, et si on consid`ere deux boucles l1 ⇢ D1 et l2 ⇢ D2 bas´ees en 0, alors en
g´en´eral, sous YMXvol, les variables h(l1) et h(l2) ne sont pas ind´ependantes. Ceci
explique pourquoi dans l’axiome P2 de la d´efinition 2.1, les disques D1et D2 sont
compl`etement disjoints. Ainsi, en utilisant l’image de l’exp´erience permettant de mesurer un champ grˆace `a des particules-test, deux particules-test partant d’un mˆeme ´emetteur ins´er´e dans un mur et parcourant chacune un trajet dans deux pi`eces distinctes voient leurs caract´eristiques ˆetre modifi´ees et ce, de fa¸con non ind´ependante.
D´efinition 5.2. — Un champ markovien d’holonomies planaire de la forme
YMX est appel´e un champ de Yang-Mills planaire.
5.3. Caract´erisation des champs markoviens d’holonomies planaires
r´eguliers. — Maintenant que l’on a construit des exemples de champs
markoviens d’holonomies planaires stochastiquement continus, nous aimeri-
ons montrer(34) que nous les avons tous construits. Dans cette section, on
supposera toujours que les champs markoviens d’holonomies planaires consid´er´es sont stochastiquement continus. On a alors le th´eor`eme de caract´erisation suivant(35).
Th´eor`eme 5.3. — Tout champ markovien d’holonomies planaire est un champ
de Yang-Mills planaire.
(34)Ce que l’on fait dans la section 10 de [Champs]. (35)Qui correspond au th´eor`eme 10.1 de [Champs].
Donnons une id´ee de la preuve : consid´erons (Evol)vol2D(R2) un champ markovien d’holonomies planaire. La preuve repose sur les intuitions et r´esultats d´evelopp´es pour les syst`emes anyoniques, ainsi que sur l’id´ee de se ramener `a l’´etude de mesures sur GFb grˆace `a l’introduction d’un graphe fini G et d’une base de las- sos pour G. Ce faisant, on arrive `a montrer qu’´etant donn´e vol 2 D(R2) et une
base de lassos (lF)F2Fb d’un grapheG dont les faces sont de volume 1, les projec- tions (hlF)F2F sont conditionnellement ind´ependantes, ainsi il existe une mesure al´eatoire µ telle que la loi de (hlF)F2Fb sous Evol est ´egale `a E
⇥
µ⌦F⇤. En utilisant
les axiomes P1 et P2, on montre(36) qu’il existe une mesure de probabilit´e µ0
invariante par conjugaison par tout ´el´ement de son support telle que pour toute fonction f continue sur G, on a :
Evol[f ((hlF)F2Fb)] = Z G⇥G⌦Fb f (g 1hlFg)F2Fb dg⌦ µ ⌦Fb 0 (dh1, ..., dh#Fb).
On retrouve alors l’´equation (7) dans le cas de faces de mˆeme volume. On
montre alors en utilisant la propri´et´e de multiplicativit´e des champs markoviens d’holonomies que µ est la loi au temps 1 d’un processus de L´evy auto-invariant par conjugaison.
Bien sˆur, beaucoup de d´etails techniques ne sont pas pr´esent´es dans cette in- troduction mais sont donn´es dans le chapitre de th`ese [Champs]. Ceux-ci sont inh´erents au fait que les champs markoviens d’holonomies planaires sont invari- ants par une classe d’hom´eomorphismes pr´eservant l’aire et non pas, `a l’instar des syst`emes anyoniques, par tous les hom´eomorphismes du plan.
5.4. Classification. — Le probl`eme initial qui m’a conduit `a l’´ecriture du chapitre de th`ese “Champs markoviens d’holonomies planaires” ´etait de car- act´eriser les champs markoviens d’holonomies (non-planaires) d´efinis par T. L´evy. Ce sont des familles de mesures index´ees par les surfaces bidimensionnelles compactes M munies d’une densit´e lisse positive, chaque mesure ´etant d´efinie sur l’ensemble des fonctions multiplicatives des chemins r´eguliers dessin´es sur M , dans G. La partie sph´erique d’un champ markovien d’holonomie est alors la restriction de cette famille de mesures `a l’ensemble des surfaces compactes de genre z´ero. La donn´ee d’un champ markovien d’holonomies (non-planaire) permet alors, en ne conservant que sa partie sph´erique, de construire un champ markovien d’holonomies planaire associ´e(37).
T. L´evy a construit dans [23] une certaine classe de champs markoviens d’holonomies, et conjectur´e que l’on obtient de la sorte tous les champs markoviens d’holonomies r´eguliers. En supposant cette conjecture vraie, alors, pour tous disques ferm´es D1 et D2 disjoints sauf en 0, et toutes boucles l1 ⇢ D1 et
l2 ⇢ D2 bas´ees en 0, sous le champ markovien d’holonomies planaire associ´e `a
(36)Grˆace au th´eor`eme 9.2 de [Champs].
n’importe quel champ markovien d’holonomies, les variables h(l1) et h(l2) sont
ind´ependantes.
Comme nous l’avons vu pr´ec´edemment, ce n’est g´en´eralement pas le cas pour tout champ markovien d’holonomies planaire sauf si, par exemple, le processus de L´evy sous-jacent est invariant par conjugaison par G. Afin de r´epondre par- tiellement `a la conjecture de T. L´evy, il est alors naturel de classifier les champs de Yang-Mills planaires selon le degr´e de sym´etrie du processus de L´evy sous- jacent(38).
D´efinition 5.3. — Soit X un processus de L´evy auto-invariant par conjugaison
`a valeurs dans G. Le processus X et le champ de Yang-Mills planaire YMX =
YMXvol vol2D(R2) sont dit purs si X est invariant par conjugaison par G et mixte sinon. Ils sont non-d´eg´en´er´es si le support de X est ´egal `a G et d´eg´en´er´es sinon. Par d´efinition, un processus de L´evy auto-invariant par conjugaison et le champ de Yang-Mills planaire associ´e sont purs s’ils sont non-d´eg´en´er´es.
Consid´erons un champ markovien d’holonomies planaire r´egulier. Par le
th´eor`eme 5.3 de caract´erisation, c’est un champ de Yang-Mills planaire not´e YMX. En utilisant la th´eorie des repr´esentations des groupes topologiques compacts, on montre l’existence des trois crit`eres suivants(39) :
1. dans le cas o`u le champ est `a valeur dans un groupe fini G, si pour toute densit´e vol2 D(R2), et toute boucle simple l, le support de h(l) sous YMX
vol
est le groupe G, alors YMX est non-d´eg´en´er´ee et pure. Ainsi, dans le cas ou le champ est `a valeurs dans un groupe fini, si pour toute trajectoire simple, la caract´eristique de la particule-test peut ˆetre modifi´ee par n’importe quel ´el´ement de G, on a a↵aire `a un champ de Yang-Mills non-d´eg´en´er´e et pur. 2. si pour toute densit´e vol2 D(R2), la loi de h
l sous YMXvol tend vers la mesure
de Haar sur G quand l est une boucle bas´ee en 0, simple et bordant un domaine de plus en plus grand, alors YMX est non-d´eg´en´er´ee et pure. Ainsi, si l’action du champ sur une particule test d´ecrivant un cercle est de plus en plus al´eatoire quand le cercle est de plus en plus grand, alors on a a↵aire `a un champ de Yang-Mills planaire non-d´eg´en´er´e et pur.
3. s’il existe un processus de L´evy Z tel que pour toute densit´e vol 2 D(R2),
pour toute boucle l simple bordant un domaine D, h(l) sous YMXvol a la mˆeme
loi que Zvol(D), alors YMX est pure et X = Z.
Ces r´esultats proviennent en r´ealit´e de r´esultats similaires sur les processus de L´evy. Avant de pr´esenter ces r´esultats, revenons `a notre discussion sur les champs markoviens d’holonomies (non-planaires). Nous avons vu qu’ils induisent
(38)Cette classification donn´ee dans la section 11 de [Champs] s’appuie sur des r´esultats de
classification donn´ee dans les sections 9.3 et 9.4 du mˆeme chapitre.
un champ markovien d’holonomies planaire, qui se trouve ˆetre un champ de Yang- Mills planaire. D’apr`es un th´eor`eme de T. L´evy, on montre alors que le crit`ere n 3 est v´erifi´e : le champ markovien d’holonomies planaire associ´e est donc un champ de Yang-Mills planaire pur. Ceci permet alors de caract´eriser totalement la partie sph´erique des champs markoviens d’holonomies(40).
5.5. Processus de L´evy auto-invariants par conjugaison. — Le probl`eme
de classification des champs de Yang-Mills planaires est ´equivalent `a un probl`eme de classification des processus de L´evy auto-invariants par conjugaison. Soit X = (Xt)t 0 un tel processus de L´evy et soit U une variable al´eatoire de Haar
ind´ependante de X, on d´efinit le processus Y = (U XtU 1)t 0.
En prenant une suite de boucles (lt)t 0 bas´ees en 0 qui grossissent, et dont
l’int´erieur au temps t est de volume t, en utilisant l’´equation (7), on voit que la loi de (hlt)t 0 sous YMXvol est ´egale `a la loi du processus Y d´efini ci-dessus. Ainsi
lorsque l’on consid`ere le champ de Yang-Mills planaire YMXvol, nous n’avons pas acc`es directement au processus de L´evy X mais `a Y. Il s’av`ere qu’en utilisant les travaux de T. L´evy, on peut connaitre la loi des marginales du processus Y lorsque le champ de Yang-Mills planaire provient d’un champs markovien d’holonomie, mais pas la loi de Y en temps que processus.
Le probl`eme de classification des champs de Yang-Mills planaires est alors ´equivalent au probl`eme suivant. ´Etant donn´e que l’on a connaissance seulement des loi des marginales du processus Y :
1. Comment pouvons-nous savoir que le support de X, c’est `a dire le plus petit sous-groupe ferm´e qui contient presque sˆurement toute la trajectoire (Xt)t 0,
est ´egal ou non `a G ?
2. Comment pouvons-nous savoir que le processus X est invariant en loi par conjugaison par le groupe G ?
5.5.1. Processus auto-invariants non-d´eg´en´er´es. — Lorsque le groupe G est fini, afin de r´epondre `a la premi`ere question il suffit de regarder le comportement de Yt lorsque t tend vers l’infini. On supposera que l’´el´ement neutre e est dans le
support de Yt pour tout t 0. Il est alors facile de voir qu’il existe un temps t0
`a partir duquel le support de Xt0 est ´egal au support H du procesuss X. Ainsi, `a partir de ce temps t0, le support de Yt est ´egal `a [g2GgHg 1. Or un th´eor`eme de
Jordan affirme que pour tout sous-groupe H de G, [g2GgHg 1 = G
si et seulement si H = G. Pour savoir si le support de X est ´egal `a G il suffit donc de regarder si le support de Yt est ´egal `a G pour t assez grand.
Lorsque le groupe G est infini, la r´eponse est l´eg`erement di↵´erente. On suppose toujours que e2 Supp(Yt) pour tout r´eel positif t.
Proposition 5.1 (Proposition 9.8 de [Champs]). — Le support du proces- sus de L´evy X est ´egal `a G si et seulement si la loi de Yt converge vers la mesure
de Haar de G quand t tend vers l’infini.
La preuve de ce th´eor`eme repose sur deux g´en´eralisations des arguments expos´es dans le cas o`u G est fini.
Premi`erement, un th´eor`eme d’Itˆo-Kawada permet de comprendre la limite de la loi de Xt quand t tend vers l’infini : c’est la mesure de Haar H sur le support
H de X. Ainsi la limite de la loi de Yt quand t tend vers l’infini est donn´ee par :
Z
g2G
g 1Hg G(dg),
o`u g 1Hg est la mesure de Haar sur g 1Hg et G la mesure de Haar sur G. Deuxi`emement, le th´eor`eme de Jordan admet une g´en´eralisation qui permet de conclure la preuve de la proposition 5.1.
Proposition 5.2 (Proposition 9.3 de [Champs]). — Soit G un groupe de Lie compact, soit H un sous-groupe ferm´e. Si :
Z
g2G
g 1Hg G(dg) = G, alors H = G.
5.5.2. Processus auto-invariants purs. — Nous aimerions aussi avoir un crit`ere afin de pouvoir r´epondre `a la seconde question : comment pouvons-nous savoir que le processus X est invariant en loi par conjugaison par le groupe G ? La r´eponse est tr`es simple.
Th´eor`eme 5.4 (Th´eor`eme 9.8 de [Champs]). — Le processus X est invari- ant en loi par conjugaison par le groupe G si et seulement si il existe un procesus de L´evy Z = (Zt)t 0 invariant par conjugaison par le groupe G tel que pour tout
r´eel positif t, Zt a la mˆeme loi que Yt. Dans ce cas X a la mˆeme loi que Z.
Ce th´eor`eme peut l´eg`erement d´estabiliser : mal compris il peut donner l’impres- sion de n’ˆetre qu’une tautologie. La condition d’auto-invariance par conjugaison suppos´ee par le processus de L´evy X est cruciale : sans cette supposition, la conclusion du th´eor`eme pr´ec´edent est fausse. En e↵et, on peut construire(41) un
processus de L´evy X qui n’est pas auto-invariant par conjugaison, et pour lequel il existe un processus de L´evy Z invariant par conjugaison par le groupe G tel que U XtU 1 a la mˆeme loi que Zt pour tout r´eel positif t. On ne peut donc
pas distinguer X de Z en consid´erant les observables centrales des marginales uni- dimensionnelles.
6. Invariance par transformation de jauge et transform´ee de Wilson