4 Approche fonctionnelle
4.1.1 Introduction des modèles à coefficients variables
Dans cette section, nous commençons par motiver l’étude des VCM, avant de définir le modèle retenu et de réaliser une étude sur la faisabilité et la pertinence de ces approches. Les différents outils ont été introduits dans la section 2.2, nous nous attardons en particulier sur une étude de la dépendance entre les variables explicatives choisies et les sorties considérées.
4.1.1.1 Motivations
Lors du développement des méthodes afin de résoudre le problème de modélisation du phénomène étudié, le piège à NOx, nous nous sommes rendu compte que son caractère fonctionnel rendait caduque les approches non fonctionnelles testées dans le chapitre précédent.
L’idée de l’utilisation d’un modèle fonctionnel linéaire est issue du phénomène observé dans la section 3.3.4 où nous avons montré qu’il est possible de prédire efficacement la température de "light-off" (TLO) en fonction de la richesse du mélange considéré par l’intermédiaire d’un modèle linéaire. Pour rappel, la température de light-off est la température à laquelle 50% des polluants considérés sont convertis, soit la température correspondante à un avancement de 0.5. Cette constatation innovante d’un point de vue cinétique, nous permet d’entrevoir une première approche, basée sur le principe que, s’il est possible de prédire précisément la TLO c’est-à-dire la température pour un avancement de 0.5, il est également envisageable de procéder de même pour toutes les températures.
Le modèle postulé dans ce cas est le suivant, T(y) =
Xp
i=1
ai(y)Xi+ǫ, avec E[ǫ] = 0 etVar[ǫ] =σ2, (4.2)
oùT est la température, yla concentration normalisée des polluantsCO ouHC en sortie du système et lesXi
sont les variables explicatives du modèle. Lesai sont les fonctions coefficients, qu’il nous faut estimer.
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
180 185 190 195 200 205 210 215 220 225
Richesse
TLO du CO
Figure 4.1 – Nuage de points de la température de light-off pourCO en fonction de la richesse
La figure 4.1 illustre la relation linéaire que l’on observe entre la TLO du CO et la richesse du mélange. Ce constat nous a permis de corriger l’écart apparu lors de l’intégration de la modélisation directe de la dérivée dans la section 3.3.4.
Cependant, la prise en compte de la richesse comme seule variable pour prédire la température correspondante à la sortie, n’est pas suffisante, pour tous les avancements. Il semble naturel, d’utiliser, en plus de la richesse, d’autres variables explicatives, à savoir les espèces présentes dans le mélange à l’entrée du catalyseur, que nous avons définies comme étant les espèces prédominantes dans le fonctionnement du piège à NOx, soit la composition deHC,CO etO2.
Néanmoins, cette approche contredit l’intuition, car dans le modèle 4.2 on prédit la température en fonction de la concentration. Or, un cinéticien raisonne de manière inverse. Par conséquent, le modèle 4.1 est choisi pour tester les méthodes d’estimation des fonctions coefficients introduites par la suite.
4.1.1.2 Choix des variables et étude de la dépendance linéaire
Dans cette section nous présentons le choix des variables explicatives et nous étudions la dépendance entre ces variables et les sorties étudiées.
À l’aide des vingt expériences à disposition, dans un premier temps, nous donnons une représentation des nuages de points des sorties, fonction des variables explicatives, en certaines valeurs de température représentatives, que nous examinons graphiquement. Comme les points étudiées figurent dans un espace à quatre dimensions, dans un deuxième temps, nous appliquons les modèles additifs sur notre problème, afin de mieux pouvoir interpréter la dépendance existante et essayer de dégager la structure la plus adaptée.
Choix des variables
Nous avons quatre variables explicatives possibles pour notre cas : la richesse, [HC]0, [CO]0 et [O2]0 correspon-dant respectivement à la concentration initiale deHC, deCO et deO2.
On rappelle tout d’abord que l’écriture classique des modèles à coefficients variables, suppose la forme suivante : Y(T) =
Xp
j=1
aj(T)Xj+ǫ, avec E[ǫ] = 0 etVar[ǫ] =σ2, (4.3) oùT est la variable longitudinale,Xj lajeme` variable explicative etY la sortie considérée.
Concernant, les variables explicatives, afin d’avoir un maximum d’information, il semble logique de prendre les quatre variables à disposition. Néanmoins, l’information apportée par [O2]0est très faible, puisque déjà en partie contenue dans la richesse, pour des raisons cinétiques. En effet, la richesse caractérise, de par son expression, le taux d’oxygène du mélange. De plus, la richesse est défini par,
richesse = 2[CO2]0Kb+ [H2O]0+ (2 + 1/3)[CO]0Kb+ 9[HC]0
2[CO2]0Kb+ [H2O]0+ 2[O2]0Kb+ [CO]0Kb+ [N O]0, (4.4) oùKbcorrespond à une constante donnée. Étant donné également, que dans notre plan d’expériences les concen-trations initiales des espèces CO2, H2O et N O sont fixes, la richesse dépend seulement des trois espèces HC, CO et O2. On constate donc que l’une des deux variables, la richesse ou [O2]0 doit être retirée du modèle à postuler.
Compte tenu du fait que l’observation de la relation linéaire observée lie la richesse et la TLO, nous avons fait le choix de garder la richesse comme variable explicative. De plus, le fait de n’avoir que vingt expériences pour calibrer nos fonctions coefficients, nous incite à limiter le nombre de variables. Pour ces raisons, les variables explicatives retenues pour l’approche fonctionnelle sont la richesse, et les concentrations initiales deCO etHC.
La question désormais est de savoir si l’hypothèse d’un modèle de type VCM est envisageable, c’est à dire est-ce que la sortie dépend linéairement des variables d’entrée pour une température fixée. Nous avons voulu regarder si une telle relation est vérifiée sur les données disponibles. Ainsi, nous donnons dans un premier temps une représentation des nuages de points température après température puis dans un second temps une modélisation par modèles additifs température par température.
Représentation des nuages de points
Afin de représenter le nuage de points, nous récupérons sur les courbes expérimentales la valeur de sortie pour six températures normalisées représentatives (0, 0.25, 0.4, 0.5, 0.6, et 1). Les températures sont normalisées entre 0 et 1 (0 plus grande valeur minimale commune de degré d’avancement nul et 1 plus petite valeur maximale commune). Ainsi, selon chaque expérience, les températures choisies sont les mêmes.
Les ensembles de figures 4.2, 4.3 et 4.4 présentent les nuages de points obtenus pour la sortieCOaux différentes températures en fonction respectivement de la richesse, de [CO]0 et de [HC]0. Ces variables sont normalisées selon les bornes fournies par les expérimentateurs.
Si l’on s’intéresse aux figures 4.2 relatives à la variable richesse, on retrouve une relation entre la sortie CO et la richesse. Le nuage de points se déplace avec les températures étudiées et sa dispersion reste assez limitée. En revanche, sur les figures 4.3 et 4.4, relatives à [CO]0 et [HC]0, cette dispersion est d’autant plus importante que l’on est proche de la température de 0.4, qui se situe dans l’échelle normalisée sur la partie décroissante des courbes.
Pour ce qui est de la sortieHC, les figures 4.5, 4.6 et 4.7 exposent les nuages de points obtenus respectivement pour les variables richesse, [CO]0 et [HC]0. Ces nuages de points ne nous permettent pas de pouvoir envisager une structure de dépendance linéaire entre les variables et la sortie. En effet, même dans le cas favorable où l’on étudie la sortieHC en fonction de la richesse, nous n’observons pas de relation visible.
La structure de dépendance entre variables et sorties que nous voulons tester, est une structure linéaire. Cepen-dant, bien que pour la sortieCO cette hypothèse puisse être envisagée, il n’en est pas de même pourHC, au vu des nuages de points présentés.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 4.2 – Nuages de points de la sortieCOnormalisée selon la richesse pour différentes températures
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 4.3 – Nuages de points de la sortieCO normalisée selon [CO]0 pour différentes températures
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 4.4 – Nuages de points de la sortieCOnormalisée selon [HC]0 pour différentes températures
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 4.5 – Nuages de points de la sortieHC normalisée selon la richesse pour différentes températures
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 4.6 – Nuages de points de la sortieHC normalisée selon [CO]0 pour différentes températures
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 4.7 – Nuages de points de la sortieHC normalisée selon [HC]0 pour différentes températures
Modèles additifs
Pour examiner de façon plus large la structure de dépendance entre la température à un avancement fixé et les variables choisies pour notre problème, nous avons recours aux modèles additifs. Les figures précédentes sont des projections du nuage sur des plans et l’on souhaite ici une meilleure représentation afin de vérifier s’il est possible de postuler une relation linéaire entre les variables explicatives et les sorties, notamment pourHC. La méthode a été introduite dans le chapitre 2. On rappelle brièvement, que cette méthode se propose de décomposer la sortie étudiée en somme de fonctions, chacune étant dépendante d’une des variables explicatives soit
yT =sT0 +sT1(x1) +sT2(x2) +sT3(x3), (4.5) oùsT0 est une constante. On cherche à vérifier si pourT fixé, les fonctionssTi (xi) sont linéaires. Pour cela, nous avons eu recours au package ’GAM’ (pour modèles additifs généralisés) disponible sous R (Hastie, [78]). Les figures 4.8 (resp. 4.9) exposent lessi, i= 1,2,3 pour la sortieCO (resp.HC), relativement à la richesse, [CO]0
et [HC]0. Dans cette représentation, les six courbes obtenues pour les six températures d’échantillonnage sont présentées sur un même graphique. Les étoiles représentent les observations après retrait de la partie dépendant des autres variables.
Figure 4.8 – Représentation des fonctionssi du modèle GAM 4.5 pourCO à différentes températures Intéressons nous tout d’abord, aux résultats obtenus pour la sortieCO (figures 4.8). On peut voir sur la figure 4.8a, comme sur les figures 4.2, que la procédure estime une relation quasi-linéaire entre la variable richesse et la sortieCO. En revanche, les estimations des fonctions si selon [CO]0 et [HC]0sont beaucoup plus difficiles à interpréter. La figure 4.8b laisse tout de même la possibilité d’appliquer une structure linéaire, mais l’on note toutefois, qu’à la température de 0.5, s2 a un comportement atypique. En effet, il s’agit d’une fonction affine par morceaux, avec un changement aux alentours de [CO]0 = 0.7. Pour ce qui est de la relation liant [HC]0 à la sortie CO mis à part l’estimation obtenue pour une température de 0.4 une relation linéaire ne semble pas totalement inappropriée.
En ce qui concerne la sortie HC, les figures 4.9 nous présentent les résultats d’estimation des si. On voit sur la figure 4.9a, que la relation linéaire envisagée n’est pas vérifiée pour deux températures, T = 0.4 et T = 0.6, ceci s’expliquant par la forte non linéarité de la sortieHC. Pour la fonctions2, fonction selon [CO]0, la relation linéaire semble cohérente, sauf pourT = 0.5 où l’on observe sur la figure 4.9b une estimation affine par morceaux, avec une cassure pour [CO]0= 0.7, comme pour la sortie CO. Enfin, la figure 4.9c vient conforter la structure envisagée, puisque si l’on omet le début de l’estimation de s3 à une température de 0.4, la forme des courbes obtenues montre une relation quasi-linéaire.
Figure 4.9 – Représentation des fonctionssi du modèle GAM 4.5 pourHC à différentes températures
On en conclut que bien que la structure de dépendance linéaire envisagée pour le modèle à coefficients variables ne soit pas la structure la plus adaptée, celle-ci ne semble pas trop inadéquate et les estimations que nous exhibons pour les différentes températures, laissent néanmoins présager de bons résultats de prédiction avec cette structure. De plus, devant le faible nombre de données expérimentales à notre disposition (20 essais) dans un espace à trois dimensions, la valeur à accorder à ces résultats est restreinte. En effet, si nous avions observé une structure claire apparaître avec si peu de points, il nous aurait été possible de conclure précisément, ce qui n’est pas le cas. Pour autant, cela ne nous permet pas d’infirmer ou confirmer la structure envisagée.
La structure utilisée par la suite est donc définie par :
y(T) =a0(T) +a1(T)richesse+a2(T)[CO]0+a3(T)[HC]0+ǫ (4.6) avecǫde moyenne nulle et de varianceσ2.