Choix du noyau

Dans cette section, nous présentons les familles de covariances paramétrées classiques que nous avons été amenés à utiliser. Pour plus de détails, le lecteur pourra se reporter aux nombreux ouvrages traitant de ce sujet dans le domaine des statistiques notamment Yaglom [167], Matern [108], Ginsbourger [72] et Vazquez [156] et en géostatistique Cressie [35], Chilès et Delfiner [29] et Stein [147].

Nous considérons tout d’abord les covariances stationnaires usuelles, avant d’offrir une brève vision de l’utilisation des noyaux non stationnaires.

2.1.2.1 Familles classiques de covariances Fonctions sphériques

Les expressions des fonctions de corrélation pourd= 1,2,3 et 5 sont respectivement, pourh≤a, r(θ, h) = 1−h

Le modèle cubique possède un terme principal irrégulier en|h|³. Une covariance cubique peut donc être utilisée pour modéliser un processus aléatoire différentiable en moyenne quadratique, mais n’est admissible qu’en dimen-sion au plus égale à trois. Comme pour les covariances sphériques, la covariance cubique est nulle pourh > θ.

Pourh≤θ, la fonction de corrélation cubique est r(θ, h) = 1−7

On peut construire sur ces modèles des covariances dérivables aux ordres supérieurs avec des termes principaux irréguliers en |h|^2p+1,p ∈ N. Nous n’utilisons pas cette covariance en pratique car elle n’est utilisable qu’en dimension trois au plus.

Fonctions exponentielles

Les covariances exponentielles s’écrivent

r(θ, h) =σ²exp (−(θ h)^α), pour 0< α≤2. (2.40) Un processus gaussien avec un noyau de covariance exponentiel, avec α = 1, est également appelé processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Pourα= 2, on retrouve la covariance la plus utilisée en pratique, la covariance gaussienne, dont nous avons eu principalement recours lors de l’application des méthodes.

Fonctions de Matèrn

Le modèle de Matèrn (Matèrn [108]) est défini par r(θ, h) = 2^1−υ

Γ(υ) |h|

θ υ

Kυ

|h|

θ , (2.41)

oùυ ∈]−1,+∞] et Kυ est la fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce de paramètre υ (Abramowitz et Stegun [2]). Ce modèle est apprécié pour la flexibilité apportée par le paramètreυ, qui permet de régler finement la régularité deren 0, et donc la dérivabilité en moyenne quadratique des processus associés (Gaetan et Guyon [69]).

Citons enfin l’existence d’autres fonctions de covariance, telles que les noyaux circulaire ou puissance. Tous ces modèles sont détaillés et étudiés en détail dans le cadre de la géostatistique, notamment dans l’ouvrage de Cressie [35].

2.1.2.2 Noyaux de covariance non stationnaires

L’utilisation de noyaux stationnaires est relativement courante. Pourtant cette hypothèse forte, n’est pas force-ment vérifiée en pratique. Dans ce cas, afin de respecter la structure des processus l’utilisation de noyaux non stationnaires semble plus indiquée.

Cependant, même si l’utilisation de noyaux de covariance non stationnaires ne pose pas de problème théorique majeur, il est rare d’en trouver dans les applications du krigeage. Les raisons de ce désintérêt sont principalement d’ordre numérique et d’optimisation. On citera tout de même les travaux de thèse de Ginsbourger [72] qui s’intéressent aux limites liées à l’hypothèse de stationnarité et l’article de Xiong et al. [166] qui propose un exemple d’application dans le domaine des plans d’expériences.

Nous nous bornons dans cette section à présenter deux types de noyaux de covariances, en dimension 1 et 2.

Ces deux exemples permettent d’apprécier l’intérêt de ce type de noyau et les difficultés liées à son utilisation.

L’objectif est ici de fournir un bref aperçu de ces noyaux, puisque nous avons été amenés à définir un tel type de noyau pour notre cas d’étude (section 3.2.4).

Dans les deux exemples, on se place dans le cas simple où l’on observe des résidus qui ne sont pas de variance constante en fonction de la, ou d’une des, variable(s). Le principe du noyau repose sur la volonté de modéliser les résidus localisés sur une zone bien précise.

Simulation en 1D

On se place dans le cas très simple, en une dimension, dans lequel on observe des résidus fortement localisés selon la température. Pour prendre en compte les observations, il est possible de définir un grand nombre de noyaux. Nous en présentons un en particulier pour illustrer la forme du noyau.

L’exemple proposé se rapproche de la forme des résidus que l’on a observée pour notre cas d’application. Ce choix se justifie puisque c’est ce type de noyau dont nous sommes partis lors de nos travaux, quand nous nous sommes penchés sur le choix d’un noyau non stationnaire.

Par conséquent, on se place dans cet exemple en 1D, dans le cas où l’on observe deux intervalles de température où les résidus sont peu variables, et un sur lequel les résidus sont fortement variables.

Quelques essais ont été réalisés en dimension sur [−1,1] avec le noyau suivant :

r(θ, T, T^′) =σ²exp{−θkT−T^′k²}f(T)f(T^′) (2.42) oùf(T) = exp{−^kT−mk_δ ²}traduit la non stationnarité de la variance. Ce noyau relativement simpliste implique cependant l’ajout de deux paramètresδ et m, dont l’estimation est un problème difficile à traiter, et d’autant plus problématique, que la dimension du problème est grande.

La simulation d’un tel processus conduit aux réalisations exposées sur la figure 2.2, avec m = 0 et les autres paramètres fixés arbitrairement. On note que les simulations obtenues ont la même forme que les résidus observés dans le chapitre 1.

−1 −0.5 0 0.5 1

−3

−2

−1 0 1 2 3

T

Figure 2.2 – Simulations d’un noyau de covariance non stationnaire en 1D Évolution du noyau en 2D

En reprenant la même démarche, nous avons étendu le noyau au cas de dimension 2. On a donc deux variables, notéesT et C, et la non-stationnarité n’est vérifiée que selon T.

L’extension directe en 2D du noyau précédent est

r(θ,(T, C),(T^′, C^′)) =σ²exp{−θTkT−T^′k²−θCkC−C^′k²}f(T, C)f(T^′, C^′) (2.43) où

f(T, C) = exp{−kT−m(T)k²

δ(T) } (2.44)

avecm(T) =α1T+α2etδ(T) =γ1T+γ2. On se rend compte que pour ce noyau, on rajoute quatre paramètres qui sont à ajuster, les paramètresαetγ, qui caractérisent la non stationnarité.

La figure 2.3 illustre une simulation d’un noyau non stationnaire enT. Il est important de noter dans ce cas, que l’augmentation d’une dimension, entraîne l’ajout de deux paramètres supplémentaires.

−4 −2 0 2 4

−4