Le but de cette partie est d’étudier le cas où une mesure ergodique a un point générique dont la trajectoire transverse a une approximation dont la classe d’homologie n’intersecte pas le vecteur de rotation de la mesure. En particulier, dans le cas où un relevé de cette trajectoire transverse traverse la bande définie par son approximation, on va montrer la proposition suivante :
Proposition 3.3.1. Soit µ une mesure ergodique f −invariante et ρ 6= 0 son vecteur de rotation, x ∈ M un point µ−générique dont on note x un relevé à ge dom(F ), et eγ une approximation de eIZ
F(ex) dont on note γ la projection sur M . Si eIZ
F(x) traverse la bandee B(eγ) et que ρ ∧ [γ] = 0, alors IZ
F(x) a une auto-intersection F −transverse. L’idée de la preuve est de montrer que eIZ
F(x) traverse la bande définie par un translaté dee e
γ dans l’autre sens que celui dans lequel elle traverse B(eγ), la proposition 2.1.16 permettant alors de conclure. Pour trouver un tel translaté, l’argument est le suivant : si eIZ
F(ex) traverse la bande B(eγ), alors elle doit pour des raisons d’ergodicité traverser dans le même sens les bandes définies par “beaucoup” de translatés deeγ. Mais en même temps, comme ρ∧[γ] = 0, alors ce phénomène doit être compensé par beaucoup d’intersections de eIZ
F(ex) (avec d’autres translatés de eγ) dans l’autre sens. On va donc pouvoir trouver une portion suffisamment grande eIZ
F ,x|[p,q]e qui intersecte un certain translaté Seγ dans le sens qui nous intéresse. Le problème, à ce stade, est que rien ne nous dit que la trajectoire totale eIZ
F(x) traversee globalement la bande B(Seγ). Il va donc falloir être un peu plus précis ; en choisissant un tel translaté Sγ qui intersecte cette portion ee IZ
F ,ex|[p,q]suffisamment loin de ses extrémités, on pourra s’assurer que si eIZ
F(x) ne traverse pas globalement la bande B(Se eγ), elle a alors un “grand” sous-arc équivalent à une partie de Seγ, qui doit alors intersecter la bande définie par un autre translaté deeγ dans le bon sens.
3.3.1 Notations
Dans toute cette partie, on considère une mesure µ ergodique f −invariante, de vecteur de rotation ρ 6= 0, et x ∈ M un point µ−générique, dont on note ex un relevé à gdom(F ). On considère une approximation eγ : R → gdom(F ) de eIZ
F(x) (au sens de 2.1.12), dont lae projection γ sur M ne rencontre pas les points de l’orbite de x ; ainsi, pour tous entiers p < q, le nombre d’intersection de IZ
F ,x|[p,q]avec γ est bien défini. En particulier, pour tout T ∈ G, pour tout p < q, le nombre d’intersection de eIZ
F ,ex|[p,q] avec Tγ est bien défini ete vaut −1, 0 ou 1 (puisqueγ est transverse, donc est une droite).e
On suppose dans toute la suite que eIZ
F(x) traverse B(e eγ) de gauche à droite. Le nombre d’intersection de eIZ
F(ex) aveceγ est donc bien défini et vaut +1. On suppose également que ρ ∧ [γ] = 0.
Notons eφ la feuille de ∂BL(eγ) et eφ0 la feuille de ∂BR(eγ) rencontrées par eIZ
F(ex). Quitte à remplacer x par un de ses itérés par ee f−1, on peut supposer sans perte de généralités que ex ∈ R eφ. Soit alors N ∈ N tel que efN(x) ∈ L ee φ0, et soit V un voisinage de efN(ex) entièrement inclus dans L eφ0 : par continuité, il existe un voisinage U dex inclus dans R ee φ tel que efN(U ) ⊂ V . Par le lemme 2.2.2, il existe une suite d’entiers strictement croissante (kn)n∈N, une suite (Sn)n∈N d’éléments de G, et une constante C > 0, telles que kn ∼ Cn
et pour tout n ∈ N, efkn(ex) ∈ Sn(U ) : quitte à extraire, on demande de plus que pour tout n ∈ N, kn+1≥ kn+ N . On peut choisir également, sans perte de généralités, de fixer S0 = Id et k0 = 0. On fixe dans toute la suite de telles suites (kn)n∈N et (Sn)n∈N, et la constante C associée.
Le premier lemme indique qu’on va pouvoir trouver une portion suffisamment grande de eIZ
F(x), intersectant un translaté dee eγ avec nombre d’intersection −1, et le rencontrant suffisamment “loin” de ses propres extrémités :
Lemme 3.3.2. Pour tout p ∈ N, il existe n ≥ 2p et S ∈ G tels que : - le nombre d’intersection (bien défini) de eIZ
F ,ex|[0,kn+N ] avec Sγ vaut −1, ete - Seγ ∩ eIZ
F ,ex|[kp+N,kn−p]6= ∅.
Démonstration. Pour tout n ∈ N, soit in le nombre d’intersection de IZ
F ,x|[0,kn+N ] avec γ. Pour calculer in, il suffit par la proposition 1.1.8 de compter algébriquement le nombre de translatés deγ intersectés par ee IZ
F ,ex|[0,kn+N ], ou de manière équivalente, intersectés par e
IZ e
x|[0,kn+N ] (ces deux trajectoires étant homotopes à extrémités fixées). Pour tout n ∈ N, soit Pn le nombre de translatés deeγ avec lesquels eIZ
e
x|[0,kn+N ] a une intersection égale à +1, et Nn le nombre de translatés deeγ avec lesquels eIZ
e
x|[0,kn+N ] a une intersection égale à −1. Par définition, on a donc in= Pn− Nn.
Pour tout n ∈ N, soit également cn un chemin de longueur uniformément bornée en n reliant fkn+N(x) à x : le nombre d’intersection de cnavec γ est uniformément borné donc en particulier, c’est un o(kn). Soit également γnle lacet obtenu en concaténant IZ
F ,x|[0,kn+N ]
et cn. On a donc [γn] ∧ [γ] = in+ o(kn) = Pn− Nn+ o(kn). Par le lemme 2.2.1, et comme par hypothèse ρ ∧ [γ] = 0, on a 0 = ρ∧[γ] = lim n→+∞ [γn] ∧ [γ] kn =n→+∞lim Pn− Nn+ o(kn)
kn , c’est-à-dire que Pn−Nn= o(kn). Pour tout i ∈ {1, ..., n}, on a efki(x) ∈ Se i(U ) donc efki+N(ex) ∈ Si(V ) : il découle, par définition de U et V , que eIZ
F ,ex|[ki,ki+N ] traverse B(Si(eγ)) de gauche à droite. Le nombre d’intersection de eIZ
F ,ex|[0,kn+N ] avec Si(eγ) est donc égal à +1. De plus, pour tout i < j, on a kj ≥ ki + N : il s’ensuit que la bande B(Si(eγ)) traversée par eIZ
F ,ex|[ki,ki+N ] et la bande B(Sj(eγ)) traversée par eIZ
F ,ex|[kj,kj+N ] sont disjointes, et donc a fortiori que Sieγ 6= Sjγ.e Autrement dit, il existe au moins n translatés distincts de eγ que eIZ
F ,x|[0,ke n+N ] intersecte positivement : on obtient donc que pour tout n ∈ N, Pn ≥ n, ce qui implique comme kn∼ Cn que Pn n’est pas un o(kn). Il s’ensuit que Nn n’est pas non plus un o(kn).
Mais par définition, Nn est le nombre de translatés de eγ dont l’intersection avec e
IZ e
x|[0,kn+N ] vaut −1. Or, comme les trajectoires IZ
x|[n,n+1] = I(fn(x)) sont uniformément bornées en n, il existe K tel que pour tout a < b, le nombre de translatés deeγ rencontrés par eIZ
e
x|[a,b] est inférieur à K(b − a). Le nombre de translatés deγ rencontrés par ee IZ e
x|[0,kp+N ]
ou par eIZ e
x|[kn−p,kn+N ] est donc inférieur à K(kn− kn−p+ K0), où K0 = 2N + kp est une constante. Comme kn∼ Cn, on a donc K(kn− kn−p+ K0) = o(kn). Pour n suffisamment grand, il s’ensuit que parmi les Nntranslatés deeγ considérés, l’un au moins intersecte eIZ(ex) uniquement sur sa portion eIZ
e
x|[kp+N,kn−p], donc sépare les points efkp+N(x) et ee fkn−p(ex), et donc intersecte eIZ
On note enfin (H
e
γ) l’hypothèse suivante :
Il existe S ∈ G tel que Seγ rencontre eφ et eφ0.
3.3.2 Si (Heγ) n’est pas vérifiée
Dans le cas où (H
e
γ) n’est pas vérifiée, l’auto-intersection F −transverse de IZ F(x) va être assez évidente :
Lemme 3.3.3. Si (H
e
γ) n’est pas vérifiée, alors IZ
F(x) a une auto-intersection F −transverse. Démonstration. On applique le lemme 3.3.2, simplement avec p = 0 : il existe donc n ∈ N et S ∈ G tels que le nombre d’intersection de eIZ
F ,ex|[0,kn+N ] avec Seγ vaut −1, et il existe s ∈ [N, kn] tel que eIZ
F ,ex(s) ∈ Seγ.
Or, Seγ ne peut pas rencontrer la feuille passant parx : en effet, supposons que ce soite le cas ; alors eIZ
F ,ex|[0,s] est équivalent à une sous-portion de Seγ. Mais par définition, eIZ F ,ex|[0,N ]
rencontre eφ et eφ0, et s ≥ N , donc Seγ rencontre eφ et eφ0, ce qui contredit l’hypothèse selon laquelle (H
e
γ) n’est pas vérifiée. Pour les mêmes raisons, Seγ ne peut pas rencontrer la feuille passant par efkn+N(ex). Il s’ensuit quex et ee fkn+N(x) sont hors de la bande B(Se eγ). Comme le nombre d’intersection de eIZ
F ,ex|[0,kn+N ] avec Seγ vaut −1, cela implique que eIZ F(ex) traverse la bande B(Seγ) de droite à gauche, et donc que S−1IeZ
F(x) traverse B(e eγ) de droite à gauche. La proposition 2.1.16 permet de conclure que IZ
F(x) a une auto-intersection F −transverse.
Figure 3.2 – Le lemme 3.3.3 : puisque (Heγ) n’est pas vérifiée, alors Seγ ne peut rencontrer les feuilles eφ et Snφe0, ce qui montre que eIZ
F(x) traverse B(Se eγ) de droite à gauche.
3.3.3 Si (H
e
γ) est vérifiée
Dans le cas où (H
e
γ) est vérifiée, IZ
F(x) va encore avoir une auto-intersection F −transverse, mais la preuve va demander un peu plus d’efforts :
Lemme 3.3.4. Si (H
e
γ) est vérifiée, alors IZ
F(x) a une auto-intersection F −transverse. Démonstration. Comme (H
e
γ) est supposée vraie, il existe S ∈ G tel que Seγ rencontre eφ et e
φ0, donc traverse la bande B(eγ) de gauche à droite. Par le lemme 2.1.11,eγ traverse la bande B(Seγ) de droite à gauche. Notons t1 < t2 tels que eφ
e
γ(t1)∈ ∂BR(Seγ) et eφ
e
γ(t2)∈ ∂BL(Seγ). Autrement dit, t1 et t2 sont tels que eγ|[t1,t2] a une intersection eF −transverse avec tout
chemin transverse rencontrant eφ et eφ0, donc en particulier avec eIZ
F(x). Il suffit donc, afine d’obtenir le lemme, de montrer queeγ|[t1,t2] est équivalent à un sous-arc d’un translaté de e
IZ
F(x). Notons également Ke 0 = t2− t1+ 2 : ainsi, pour tout t ∈ R, il existe N0 ∈ Z tel que [N0+ t1, N0+ t2] ⊂ [t, t + K0]. Il existe de plus une constante p ∈ N telle que pour tout t ∈ R, la portioneγ|[t,t+K0] rencontre au maximum p translatés de eγ. Appliquons le lemme 3.3.2 avec cette constante p : il existe n ∈ N et S0 ∈ G tels que l’intersection de eIZ
F ,x|[0,ke n+N ]
avec S0γ vaut −1, et il existe s ∈ [ke p+ N, kn−p] tel que eIZ
F ,ex(s) ∈ S0eγ.
Si S0eγ ne rencontre ni la feuille passant parex, ni la feuille passant par efkn+N(x), alorse on retrouve la situation de la démonstration du lemme 3.3.3 : eIZ
F(x) se sépare positivemente et négativement de S0eγ, et son nombre d’intersection avec S0eγ est égal à −1, donc eIZ
F(ex) traverse la bande B(S0eγ) de droite à gauche ; donc par la proposition 2.1.16, IZ
F(x) a une auto-intersection F −transverse.
On suppose donc que S0eγ rencontre la feuille passant par ex (le cas où S0eγ rencontre la feuille passant par efkn+N(x) étant similaire) : la portion ee IZ
F ,x|[0,s]e est donc équivalente à une sous-portion de S0eγ, donc, puisque s ≥ kp + N , il existe a < b tels que S0eγ|[a,b] est équivalent à eIZ
F ,ex|[0,kp+N ]. Mais pour tout i = 0, ..., p, il existe Si ∈ G tel que eIZ
F ,x|[ke i,ki+N ]
traverse la bande B(Sieγ). Il s’ensuit que S0eγ|[a,b]traverse aussi B(Sieγ) pour tout i = 0, ..., p, donc rencontre plus de p translatés deeγ : par définition de p, on a donc b − a ≥ K0. Par définition de K0, il existe donc N0 ∈ Z tel que [N0+ t1, N0+ t2] est inclus dans [a, a + K0], donc est inclus dans [a, b]. On déduit donc que S0eγ|[N0+t1,N0+t2] est un sous-arc de S0eγ|[a,b], donc est équivalent à un sous-arc de eIZ
F ,x|[0,ke p+N ], donc que eγ|[t1,t2] est équivalent à un sous-arc de T−N0S0−1IeZ
F(ex).
Rappelons finalement que par définition de t1 et t2, eγ|[t1,t2] et eIZ
F(ex) ont une inter-section eF −transverse : on déduit donc que eIZ
F(ex) et T−N0S0−1IeZ
F(ex) ont une intersection e
F −transverse, donc que IZ
F(x) a une auto-intersection F −transverse.
Figure 3.3 – Le lemme 3.3.4, cas où S0eγ rencontre la feuille passant parx : la portion dee S0eγ équivalente à une portion de IZ
F(x) rencontre “beaucoup” de translatés de eγ, donc est assez grande pour contenir un translaté deeγ|[t1,t2], qui par construction, a une intersection
e
F −transverse avec eIZ F(x).e
3.3.4 Réunion des deux cas
Il reste à réunir les deux cas précédents pour conclure :
Proposition 3.3.5. Soit µ une mesure ergodique f −invariante et ρ 6= 0 son vecteur de rotation, x ∈ M un point µ−générique dont on note x un relevé à ge dom(F ), et eγ une approximation de eIZ
F(ex) dont on note γ la projection sur M . Si eIZ
F(x) traverse la bandee B(eγ) et que ρ ∧ [γ] = 0, alors IZ
F(x) a une auto-intersection F −transverse.
Démonstration. Quitte à modifier légèrement le lacet γ par homotopie, on peut supposer sans perte de généralité qu’il ne rencontre pas les points de l’orbite de x. L’étude précédente s’applique donc dans le cas où eIZ
F(ex) traverse la bande de gauche à droite, et le résultat découle alors de 3.3.3 et 3.3.4. Le cas où eIZ
F(x) la traverse de droite à gauche se traite dee manière similaire.