Deux corollaires

lim n→+∞ qn l_n  [T ], ce qui conclut la preuve.

Remarque : tout ce qui précède peut bien entendu s’adapter au cas où, au lieu d’avoir la trajectoire transverse d’un point générique pour une mesure ergodique, on aurait simplement un lacet transverse (la seule hypothèse étant que les trajectoires considérées aient des “directions homologiques” bien définies). On obtient donc l’analogue suivant de la proposition 2.2.12 :

Proposition 2.2.15. Soit γ : R → M et γ⁰ : R → M deux lacets transverses de classes d’homologie [γ] et [γ⁰]. Si γ et γ⁰ sont équivalents (en +∞ ou en −∞), alors [γ] et [γ⁰] sont colinéaires.

2.3 Deux corollaires

Donnons simplement dans cette section deux énoncés qui s’obtiennent facilement en combinant les résultats des sections 2.1 et 2.2. On garde toutes les notations introduites précédemment (en particulier, l’isotopie I est suppposée maximale, et F désigne un feuille-tage transverse à I). Le premier résultat est alors le suivant :

Proposition 2.3.1. Soit µ une mesure ergodique f −invariante de vecteur de rotation ρ, non portée par un point fixe de I, etx ∈ g_e dom(F ) un relevé d’un point µ−générique de M .

S’il existe T ∈ G \ {Id} tel que T eIZ

F(x)_e ^+∞∼ eIZ

F(x), alors il existe un T −lacet transverse_e e

γ tel que eIZ

F(_ex)^+∞∼ _eγ, et un réel λ ≥ 0 tel que ρ = λ[_eγ]. S’il existe T ∈ G \ {Id} tel que T eIZ

F(x)_e ^−∞∼ eIZ

F(x), alors il existe un T −lacet transverse_e e

γ tel que eIZ

F(_ex)^−∞∼ _eγ, et un réel λ ≥ 0 tel que ρ = λ[_eγ].

Démonstration. C’est la réunion des deux résultats précédents 2.1.17 et 2.2.12. Le second corollaire des études précédentes est le suivant :

Proposition 2.3.2. Soit µ une mesure ergodique f −invariante dont on note ρ le vecteur de rotation, x un point µ−générique, γ un lacet de M transverse à F , et_eγ un relevé de γ à gdom(F ). On suppose que IZ

F(x) ne s’accumule pas dans γ.

Si ρ ∧ [γ] > 0, alors il existe un relevé _ex de x à gdom(F ) tel que eIZ

F(_ex) traverse B(_eγ) de gauche à droite. Si ρ ∧ [γ] < 0, alors il existe un relevé _ex de x à gdom(F ) tel que eIZ

F(_ex) traverse B(_eγ) de droite à gauche.

Démonstration. On traite le cas où ρ∧[γ] > 0, l’autre cas étant similaire. Par la proposition 2.2.4, il existe un relevéx de x dont le nombre d’intersection de la vraie trajectoire e_e IZ(_ex) avec_eγ est bien défini et vaut +1.

Tout d’abord, il est impossible que eIZ

F(x) et_{e e}γ soient équivalents en +∞ ou en −∞, sans quoi, par la proposition 2.2.12, ρ et [γ] seraient colinéaires et on aurait ρ ∧ [γ] = 0. De plus, on a supposé que IZ

F(x) ne s’accumule pas dans γ. Il s’ensuit, par le lemme 2.1.9, que soit eIZ

F(_ex) visite la bande B(γ), soit il la traverse. Le nombre d’intersection de e_e IZ F(_ex) avec _eγ est donc bien défini et vaut +1 si eIZ

F(_ex) traverse B(_eγ) de gauche à droite, −1 s’il la traverse de droite à gauche, et 0 s’il la visite. Mais ce nombre d’intersection est égal au nombre d’intersection de eIZ(_ex) avec γ : en effet, les deux trajectoires e_e IZ(x) et e_e IZ

F(_ex) contiennent toute l’orbite du point _ex par ef , donc repassent régulièrement par des points communs. Cela implique que le nombre d’intersection de eIZ

F(x) avec_{e e}γ est +1, donc que e

IZ

Entropie et points périodiques

On considère une surface M compacte et orientable de genre g ≥ 2, et f : M → M un homéomorphisme isotope à l’identité, dont on note rot(f ) l’ensemble de rotation, toujours défini relativement aux mesures f −invariantes. On fixe une norme k.k sur H₁(M, R), et pour tout ρ ∈ H₁(M, R) et ε > 0, on note B(ρ, ε) la boule ouverte de centre ρ et rayon ε pour cette norme. Notre but principal est de prouver les théorèmes A et C, dont on rappelle ici les énoncés :

Théorème 3.0.1. S’il existe deux mesures de probabilité ergodiques f −invariantes µ et ν de vecteurs de rotation ρ_µ et ρ_ν tels que ρ_µ∧ ρ_ν 6= 0, alors f est topologiquement chaotique. Remarque : on va en fait montrer que f admet un fer-à-cheval, tel que défini en section 1.3.

Théorème 3.0.2. Pour toutes mesures de probabilité ergodiques f −invariantes µ et ν de vecteurs de rotation ρ_µ et ρ_ν tels que ρ_µ∧ ρ_ν 6= 0, pour tout ε > 0, pour tout r ∈ [0, 1], il existe un point périodique z dont le vecteur de rotation ρ_z appartient à B(rρ_µ+(1−r)ρν, ε). De plus, pour tout κ ∈ Q∩]0, 1], il existe un point périodique de vecteur de rotation κρz.

En particulier, on déduira de ces deux théorèmes les corollaires B, D et E de l’intro-duction, que nous réénoncerons en temps utile.

On considère une isotopie maximale I et un feuilletage F transverse à I. Comme expliqué dans l’introduction, ces deux théorèmes vont reposer en partie sur la proposition F dont revoici l’énoncé :

Proposition 3.0.3. S’il existe deux mesures de probabilité ergodiques f −invariantes µ et ν de vecteurs de rotation ρµ et ρ_ν tels que ρ_µ∧ ρ_ν 6= 0, alors :

- soit il existe deux points récurrents z et z⁰ ∈ M dont les trajectoires transverses ont une intersection F −transverse,

- soit il existe un point z ∈ M dont la trajectoire transverse a une auto-intersection F −transverse.

On note gdom(F ) le revêtement universel du domaine de définition et G le groupe des automorphismes de ce revêtement. On note également eF le feuilletage non-singulier G−invariant relevé à gdom(F ), et ef : gdom(F ) → gdom(F ) le relevé de f qui commute aux éléments de G. On fixe enfin une métrique riemannienne sur M . Quand on parlera de la “longueur” d’un chemin, on sous-entendra systématiquement que celle-ci est bien définie relativement à cette métrique riemannienne.

3.1 Idée générale, problèmes rencontrés et plan de la preuve

Avant d’attaquer la preuve des théorèmes A et C, donnons-en une idée globale intuitive afin d’en comprendre le plan et les différents problèmes que nous allons rencontrer, dont la résolution fera l’objet des paragraphes suivants. Comme expliqué en préambule, les théorèmes A et C vont reposer sur la proposition F : en effet, la théorie de forçage de Le Calvez et Tal permet d’assurer que l’entropie d’un homéomorphisme de surface isotope à l’identité est strictement positive dès lors qu’il existe des points récurrents dont les trajectoires transverses s’intersectent F −transversalement (ou un point dont la trajectoire transverse a une auto-intersection F −transverse) ; cette même condition suffira, moyennant un petit contrôle des ordres d’admissibilité des trajectoires, à obtenir par le théorème 1.3.8 l’existence de points périodiques dans l’ensemble de rotation.

La première idée intuitive pour trouver, sous l’hypothèse du théorème A, des trajectoires qui s’intersectent F −transversalement est la suivante : si l’on dispose de deux mesures ergodiques dont les vecteurs de rotation s’intersectent, on peut choisir des points génériques x et y pour ces deux mesures, dont les trajectoires transverses ont donc des “directions” homologiques ρ_x et ρ_y qui s’intersectent. Naïvement, on peut penser que cette situation suffit pour que ces trajectoires s’intersectent F −transversalement. Malheureusement, il n’en est rien, comme on peut le voir sur la figure 3.1.

Figure 3.1 – Exemple de “mauvaise” situation : à gauche, la position relative de deux lacets transverses γ et γ⁰ sur M (pouvant être les trajectoires transverses de deux points périodiques), l’un rencontrant deux feuilles, l’autre étant entre ces deux feuilles ; à droite, deux de leurs relevés à gdom(F ). La dynamique du feuilletage entre les feuilles eφ et eφ⁰ montre que γ s’accumule (positivement et négativement) dans_{e e}γ⁰, donc qu’il n’y a pas d’intersection F −transverse ; alors que les classes d’homologie de γ et de γ⁰ s’intersectent. Sur cette figure sont représentés deux lacets transverses (pouvant donc possiblement être les trajectoires transverses de x et y) dont les classes d’homologie s’intersectent, mais n’ayant pas d’intersection F −transverse. En effet, le feuilletage F est tel que le lacet γ

est exactement équivalent au sous-chemin de γ⁰ qui relie les feuilles φ et φ⁰. Autrement dit, on est dans le cas où tout relevé de γ s’accumule dans chaque relevé de γ⁰ qu’il rencontre, et il ne peut donc y avoir d’intersection F −transverse. De plus, aucune de ces deux trajectoires n’a ici d’auto-intersection F −transverse puisque les lacets considérés sont simples. Cet exemple permet donc de s’apercevoir que dans certains cas, la construction de trajectoires qui s’intersectent pourra s’avérer plus complexe. Heureusement, comme on va le voir dans la suite, ce cas “problématique” où les trajectoires de x et y ne s’intersectent pas F −transversalement et où aucune d’elles n’a d’auto-intersection F −transverse ne se produit que dans le cas où l’une des trajectoires est équivalente (en +∞ ou en −∞) à un lacet transverse. On devra donc traiter ce cas à part, en gardant à l’esprit que la théorie de forçage de Le Calvez et Tal ne pourra s’appliquer directement.

Dans le cas général où la mauvaise situation ne se produit pas, les intersections et auto-intersections F −transverses des trajectoires des points x et y vont découler des résultats 2.1.15 et 2.1.16. Plus précisément, considérons les approximations de la trajectoire trans-verse IZ

F(x) (au sens de la définition 2.1.12). Si un relevé de IZ

F(x) visite la bande définie par une de ses approximations, cela fait apparaître une auto-intersection F −transverse ; on va donc s’intéresser au cas où IZ

F(x) traverse la bande définie par une de ses approxi-mations. Dans ce cas, il suffira donc de trouver un relevé de IZ

F(x) ou de IZ

F(y) qui traverse la même bande dans l’autre sens. L’idée naturelle serait pour cela de choisir une approxi-mation dont la classe d’homologie intersecte ρ_x avec un certain signe, et ρ_y avec le signe opposé. Ainsi, il existerait un relevé de IZ

F(x) et un relevé IZ

F(y) qui traverseraient la bande dans des sens opposés (en vertu de la proposition 2.3.2), et l’un d’eux intersecterait donc bien F −transversalement le relevé de IZ

F(x) fixé. Autrement dit, la question que l’on se pose est la suivante : en supposant que ρ_x∧ ρ_y > 0, existe-t-il une approximation γ de IZ

F(x) telle que [γ] ∧ ρx < 0 et [γ] ∧ ρy > 0 ? Notons bien qu’en vertu du lemme 2.2.1, l’homologie (renormalisée) d’approximations de plus en plus “grandes” de IZ

F(x) (au sens où ces approximations sont obtenues en périodisant des portions de plus en plus grandes de IZ

F(x)) converge vers ρx, donc que la deuxième inégalité est vraie pour des grandes approximations.

Il y a deux obstructions pour répondre à cette question. La première vient du fait qu’on ne peut a priori pas garantir qu’il existe une approximation γ telle que [γ] ∧ ρ_x 6= 0. Il faudra donc traiter séparément le cas où l’intersection entre la classe d’homologie d’une approximation et le vecteur de rotation considéré est nulle. La seconde difficulté se pose donc dans le cas où on peut trouver γ telle que [γ] ∧ ρ_x 6= 0. Intuitivement, on pourrait penser que par ergodicité, les approximations telles que [γ] ∧ ρ_x > 0 vont devoir compenser celles telles que [γ] ∧ ρ_x < 0, et qu’on va donc pouvoir choisir le signe de nos intersections. Malheureusement, cette compensation n’est pas évidente en général, et repose sur un ré-sultat d’ergodicité plus fort que le simple théorème ergodique de Birkhoff, et qui ne sera pas vrai pour n’importe quel point générique. Il faudra donc choisir les points x et y plus précisément au début de la preuve, afin d’avoir le résultat d’ergodicité qui nous intéresse. Le plan de ce chapitre est donc le suivant : dans la section 3.2, on s’intéresse à ce résultat d’ergodicité qui va nous permettre de choisir les signes des intersections ; ensuite, en 3.3, on s’intéresse au cas où l’intersection entre le vecteur de rotation d’une mesure ergodique et la classe d’homologie d’une approximation d’un point générique pour cette mesure est nulle ; finalement, en 3.4, on attaque le problème plus délicat de la situation où une trajectoire est équivalente à un lacet (et donc où il peut ne pas y avoir d’intersection

ou d’auto-intersection F −transverse entre les trajectoires de x et y). Les trois sections 3.2, 3.3 et 3.4 sont entièrement indépendantes. Enfin, dans la dernière section 3.5, on met tous ces résultats bout à bout pour obtenir la preuve complète des théorèmes A et C.