Choix des points x et y

3.2.1 Des conséquences du lemme d’Atkinson

On fixe une mesure de probabilité borélienne ergodique f −invariante µ sur M , de vecteur de rotation ρ 6= 0. Considérons un disque topologique U inclus dans dom(F ), trivialisant le revêtement gdom(F ), tel que µ(U ) > 0. Pour tout x, y ∈ U , on note cx,y

un chemin reliant x à y inclus dans U , de sorte que les chemins c_x,y soient de longueurs uniformément bornées en x et y ∈ U .

Par le théorème de récurrence de Poincaré, µ−presque tout point de U revient une infinité de fois dans U : il existe donc un borélien U⁰ ⊂ U , tel que µ(U0) = µ(U ), et deux applications Ψ : U⁰ → U⁰ et τ : U⁰ → N^∗ telles que pour tout x ∈ U⁰, τ (x) est bien définie par τ (x) = min{n ∈ N^∗ | fn(x) ∈ U⁰} et Ψ(x) = fτ (x)(x) (autrement dit, ψ est l’application de premier retour dans U⁰ et τ l’application de temps de premier retour associée). L’application ψ : U⁰ → U⁰ préserve alors la mesure ergodique µ_|U0. Définissons une application Θ : U⁰ → H₁(M, Z) de la manière suivante : pour tout x ∈ U⁰, Θ(x) est la classe d’homologie du lacet obtenu en concaténant I^{τ (x)}(x) et c_Ψ(x),x. Par le lemme 2.2.1, tout point µ−générique x de U⁰ (donc presque tout point de U ) vérifie alors la relation

ρ = lim n→+∞ Sn(x) τ_n(x)^{, où Sn(x) =} n−1 X k=0 Θ(Ψ^k(x)) et τn(x) = n−1 X k=0 τ (Ψ^k(x)).

Par le théorème de Birkhoff, on a de plus pour presque tout x ∈ U⁰

lim

n→+∞

Card {i = 0, ..., τ_n(x) − 1 | fⁱ(x) ∈ U⁰}

τ_n(x) ^{= µ(U}

0),

et donc, comme τ_n(x) correspond au n−ième temps de retour de x dans U⁰ par f , on a Card {i = 0, ..., τ_n(x) − 1 | fⁱ(x) ∈ U⁰} = n. On déduit que

lim

n→+∞

τn(x)

n ⁼

1

µ(U0) ^{et donc en particulier que} n→+∞^lim

Sn(x)

n ⁼

1 µ(U0)^ρ.

Le théorème ergodique de Birkhoff permet donc de contrôler, dans une certaine mesure, les temps de retour de f dans U et donc les classes d’homologie Θ(x). On va en fait utiliser un résultat classique plus précis, le lemme d’Atkinson, dont on rappelle ici l’énoncé (voir [Atk76]) :

Proposition 3.2.1. Soit (X, B, µ) un espace de probabilité et T : X → X une application ergodique. Si ϕ : X → R est une fonction intégrable de moyenne nulle (i.e.^R_Xϕ dµ = 0), alors pour tout B ∈ B, et pour tout ε > 0, on a

µ ( x ∈ B | ∃n ∈ N tel que Tⁿ(x) ∈ B et      n−1 X k=0 ϕ(T^k(x))      < ε )! = µ(B).

On va simplement appliquer ce résultat pour obtenir le lemme suivant : Lemme 3.2.2. Pour µ−presque tout x ∈ U⁰, on a lim inf_n→+∞|S_n(x) ∧ ρ| = 0.

Démonstration. On applique le lemme d’Atkinson à l’application Ψ : U⁰ → U⁰, préservant la mesure µ_|U0 ergodique, et avec la fonction ϕ : U⁰ → R définie pour tout x ∈ U⁰ par ϕ(x) = Θ(x) ∧ ρ. Il faut donc vérifier que ϕ est de moyenne nulle. On a, comme Ψ préserve la mesure µ_|U0, Z U0 ϕ dµ = Z U0 (Θ(x) ∧ ρ) dµ(x) = ¹ n Z U0 n−1 X k=0 Θ(Ψ^k(x)) ∧ ρ ! dµ(x) = Z U0 S_n(x) n ^{∧ ρ dµ(x).}

Ceci tend vers 0 quand n tend vers +∞ et montre donc que ϕ est de moyenne nulle. Le lemme d’Atkinson 3.2.1 s’applique donc : pour tout k ∈ N^∗, on a donc

µ(Ak) = µ(U⁰), où Ak = ( x ∈ U⁰ | ∃n ∈ N tel que      n−1 X i=0 Θ(Ψⁱ(x)) ∧ ρ      ≤ ¹ k ) . En particulier, on a alors µ( ^\ k∈N∗ A_k) = µ(U⁰), i.e. µ  {x ∈ U⁰ | lim inf n→+∞|S_n(x) ∧ ρ| = 0}  = µ(U⁰).

Proposition 3.2.3. Il existe un point µ−générique x ∈ U⁰ et une suite (n_k)_k∈N∗ stricte-ment croissante d’entiers positifs tels que pour tout k ∈ N^∗, ρ ∧ S_nk(x) ≥ 0.

Démonstration. Appliquons le lemme 3.2.2 : il existe un point µ−générique x ∈ U⁰ tel que lim infn→+∞|ρ ∧ S_n(x)| = 0. En particulier, x étant µ−générique, il vérifie l’égalité

lim

n→+∞

Sn(x) τ_n(x) ^{= ρ.}

Supposons qu’il existe une infinité de n tels que ρ ∧ S_n(x) ≥ 0. Alors la proposition est immédiatement vérifiée, avec le point x et la suite des entiers pour lesquels ρ ∧ S_n(x) ≥ 0. On suppose donc avoir, à partir d’un certain rang, ρ ∧ S_n(x) < 0. Comme on a lim inf_n→+∞|ρ ∧ S_n(x)| = 0, il existe donc une sous-suite (n_k)_k∈N∗ strictement croissante telle que pour tout k ∈ N^∗, la suite (ρ ∧ S_nk(x))_k∈N∗ croît strictement vers 0. On considère alors le point Ψⁿ1(x) de U⁰ et la suite strictement croissante des entiers (n_k− n₁)_k∈N∗. Vérifions que la proposition est vérifiée avec ces objets.

Pour tout k ∈ N^∗, on a ρ ∧ S_nk−n1(Ψⁿ1(x)) = ρ ∧ Snk(x) − ρ ∧ Sn1(x) > 0 car la suite (ρ ∧ S_nk(x))_k∈N∗ est strictement croissante. De plus, comme x est µ−générique, alors Ψⁿ1(x) est aussi µ−générique.

Corollaire 3.2.4. Soit ρ⁰ ∈ H₁(M, R) tel que ρ ∧ ρ⁰ > 0. Il existe un point µ−générique x ∈ U⁰ et un entier p tels que ρ ∧ S_p(x) ≥ 0 et S_p(x) ∧ ρ⁰> 0.

Démonstration. On applique simplement la proposition 3.2.3 : soit x et (n_k)_k∈N∗ les objets qu’elle définit. Comme x est µ−générique, S_nk(x) ∧ ρ⁰ est pour tout n_k suffisamment grand du signe de ρ ∧ ρ⁰. Pour n_k suffisamment grand, on a donc bien ρ ∧ S_nk(x) ≥ 0 et Sn_k(x) ∧ ρ⁰> 0.

Remarquons pour conclure ce paragraphe que le signe choisi dans la proposition 3.2.3 est arbitraire ; on a donc également le résultat suivant :

Corollaire 3.2.5. Soit ρ⁰ ∈ H₁(M, R) tel que ρ ∧ ρ⁰ > 0. Il existe un point µ−générique x ∈ U⁰ et un entier q tels que ρ ∧ S_q(x) ≤ 0 et S_q(x) ∧ ρ⁰> 0.

3.2.2 Choix des points selon le signe des intersections

On peut maintenant en déduire la proposition suivante : celle-ci exprime qu’on va pou-voir trouver des approximations (au sens de la définition 2.1.12) des trajectoires transverses qui nous intéressent dont l’intersection avec les différents vecteurs de rotation ont un signe choisi. Plus précisément :

Proposition 3.2.6. Soit µ et ν deux mesures ergodiques f -invariantes, de vecteurs de rotation ρ_µ et ρ_ν tels que ρ_µ∧ ρ_ν > 0. Il existe un point µ−générique x ∈ M , un point ν−générique y ∈ M , et deux approximations γ_x et γ_y de IZ

F(x) et IZ

F(y) tels que : - ρ_µ∧ [γ_x] ≥ 0 et [γ_x] ∧ ρ_ν > 0, et

- [γ_y] ∧ ρν ≥ 0 et ρ_µ∧ [γ_y] > 0.

Démonstration. Soit U un disque topologique de dom(F ), tel que µ(U ) > 0, trivialisant le revêtement, et ayant la propriété suivante : il existe un relevé eU de U à gdom(F ) et une feuille eφ séparant eU et ef ( eU ). Il est clair qu’on peut trouver un tel U , quitte à le choisir suffisamment petit. De même, soit V un disque topologique de dom(F ), tel que ν(V ) > 0, trivialisant le revêtement, et tel qu’il en existe un relevé eV à gdom(F ) et une feuille eφ⁰ séparant eV et ef ( eV ).

Appliquons alors les corollaires 3.2.4 et 3.2.5. Tout d’abord, le corollaire 3.2.4 avec ρ = ρµ et ρ⁰ = ρν montre qu’il existe un point _ex ∈ eU relevant un point µ−générique x ∈ M , un entier p, et un automorphisme de revêtement T ∈ G tels que ef^p(x) ∈ T ( e_e U ), ρ_µ∧ [T ] ≥ 0 et [T ] ∧ ρ_ν > 0. Ensuite, le corollaire 3.2.5 avec ρ = ρ_ν et ρ⁰ = −ρ_µ montre qu’il existe un point _ey ∈ eV relevant un point ν−générique y ∈ M , un entier q, et un automorphisme de revêtement S ∈ G tels que ef^q(y) ∈ S( e_e V ), [S] ∧ ρν ≥ 0 et ρ_µ∧ [S] > 0.

Par définition, la feuille eφ sépare eU et ef ( eU ), donc sépare _ex et ef (x) : il s’ensuit que_e e

IZ

F(x) rencontre e_e φ. De plus, ef^p(x) ∈ T ( e_e U ) donc ef^p+1(_ex) ∈ T ( ef ( eU )), donc la feuille T eφ sépare ef^p(x) et e_e f^p+1(x) : il s’ensuit que e_e IZ

F(x) rencontre aussi T e_e φ. Cela suffit à assurer qu’il existe une approximation γ_x de IZ

F(x) d’homologie [T ].

De même, la feuille eφ⁰ sépare eV et ef ( eV ), donc sépare y et e_e f (y) : il s’ensuit que e_e IZ F(y)_e rencontre eφ⁰. De plus, ef^q(y) ∈ S( e_e V ) donc ef^q+1(y) ∈ S( e_e f ( eV )), donc la feuille S eφ⁰ sépare

e

f^q(_ey) et ef^q+1(y) : il s’ensuit que e_e IZ

F(y) rencontre aussi S e_e φ⁰, et donc qu’il existe une ap-proximation γ_y de IZ

F(y) d’homologie [S].

Finalement, on a donc bien deux approximations telles que ρ_µ∧[γ_x] ≥ 0 et [γ_x]∧ρ_ν > 0, et [γ_y] ∧ ρν ≥ 0 et ρ_µ∧ [γ_y] > 0, ce qui conclut la preuve.