Bande définie par un lacet et approximations

2.1.2.a Définitions des objets

Définition 2.1.5. Pour tout T ∈ G \ {Id} et tout T −lacet transverse_eγ, on appelle bande définie par_eγ et on note B(_eγ) l’ensemble des points des feuilles de eF qui rencontrent _eγ :

B(_eγ) = {x ∈ g_e dom(F ) | eφ e x∩γ 6= ∅} =_e ^[ e φ∈ eF e φ∩eγ6=∅ e φ.

Pour tout T −lacet transverse _eγ : R → gdom(F ), la bande B(_eγ) est un ouvert connexe saturé pour la relation d’équivalence d’appartenance à la même feuille, et peut donc être vu naturellement comme un ouvert connexe de l’espace des feuilles. Par définition, la frontière de B(_eγ) dans gdom(F ), notée ∂B(_eγ), est la réunion de feuilles ne rencontrant parγ, donc_e situées soit à gauche, soit à droite de _eγ. On note ∂B^L(_eγ) l’ensemble des points de ∂B(_eγ) situés dans L(γ), et ∂B_e ^R(_eγ) l’ensemble des points de ∂B(γ) situés dans R(_{e e}γ). La frontière gauche ∂B^L(_eγ) et la frontière droite ∂B^R(_eγ) sont donc également saturés. Comme_eγ est in-variant par T , les ensembles B(_eγ), ∂B^L(_eγ) et ∂B^R(_eγ) sont bien sûr aussi tous T -invariants.

On fixe maintenant, afin d’énoncer quelques lemmes préliminaires, un automorphisme T ∈ G \ {Id} et un T −lacet transverse_eγ.

Lemme 2.1.6. S’il existe une feuille eφ ⊂ ∂B^L(γ) telle que e_e φ = T eφ, alors ∂B^L(_eγ) = eφ. S’il existe une feuille eφ ⊂ ∂B^R(_eγ) telle que eφ = T eφ, alors ∂B^R(_eγ) = eφ.

Démonstration. Soit eφ ⊂ ∂B^L(_eγ) telle que eφ = T eφ. Supposons par exemple que l’orienta-tion de eφ est telle que _eγ ⊂ R eφ, le cas où _eγ ⊂ L eφ étant similaire. Comme eφ ⊂ ∂B(_eγ), il existe un chemin_ec : [0, 1] → gdom(F ) tel que_ec(0) ∈_eγ,_ec(1) ∈ eφ et_ec_|]0,1[⊂ B(_eγ).

Soit eφ⁰ 6= eφ une feuille incluse dans L(_eγ). Supposons que eφ⁰ ⊂ R eφ : alors eφ⁰ est incluse dans la bande T −invariante R eφ ∩ L(_eγ). Mais par le théorème de Poincaré-Bendixson, eφ⁰ est une droite propre, donc comme_ec relie les deux frontières de cette bande, eφ⁰ rencontre un translaté Tⁿ_ec pour un n ∈ Z. Ceci implique donc que eφ⁰ ∩ B(_eγ) 6= ∅ et donc que e

φ⁰ 6⊂ ∂B(_eγ). Dans le cas maintenant où eφ⁰ ⊂ L eφ, alors eφ sépare eφ⁰ et_eγ, donc tout chemin reliant_eγ à eφ⁰ doit rencontrer eφ : ceci implique encore que eφ⁰ 6⊂ ∂B(_eγ).

La feuille eφ est donc bien la seule feuille de ∂B^L(γ). La preuve est similaire pour la_e frontière droite de la bande.

Remarque : cette preuve revient finalement à appliquer le théorème de Poincaré-Bendixson au “revêtement annulaire” gdom(F )/T .

On va particulièrement s’intéresser dans la suite à la manière dont un chemin transverse donné rencontre la bande définie par un T −lacet. Pour éviter les confusions, on ne donne les définitions que pour des chemins paramétrés par R. Faisons tout d’abord la remarque simple suivante :

Lemme 2.1.7. Si α : R → g_e dom(F ) est un chemin transverse à eF , alors l’ensemble {t ∈ R | α(t) ∈ B(e γ)} est un intervalle._e

Démonstration. En effet, soit t < t⁰ deux réels tels queα(t) ∈ B(_{e e}γ) etα(t_e ⁰) ∈ B(_eγ), et soit e

φ ⊂ ∂B(_eγ) : par connexité, B(_eγ) est contenue toute entière du même côté de eφ, doncα(t)_e etα(t_e ⁰) sont du même côté de eφ. Comme α est transverse, on a alors_e α_e|[t,t0]∩ eφ = ∅ ; cela étant valable pour tout eφ ⊂ ∂B(_eγ), on déduit queα_e|[t,t0]⊂ B(_eγ).

On donne alors les définitions suivantes :

Définition 2.1.8. Soit α : R → g_e dom(F ) un chemin transverse.

On dit que α traverse B(_{e e}γ) de droite à gauche s’il existe deux réels t < t⁰ tels que e

α(t) ∈ ∂B^R(_eγ) et α(t_e ⁰) ∈ ∂B^L(γ)._e

On dit que α traverse B(_{e e}γ) de gauche à droite s’il existe deux réels t < t⁰ tels que e

α(t) ∈ ∂B^L(_eγ) et α(t_e ⁰) ∈ ∂B^R(γ)._e

On dit queα visite B(_{e e}γ) par la gauche s’il existe deux réels t < t⁰ tels queα(t) ∈ ∂B_e ^L(_eγ) etα(t_e ⁰) ∈ ∂BL(_eγ).

On dit queα visite B(_{e e}γ) par la droite s’il existe deux réels t < t⁰ tels queα(t) ∈ ∂B_e ^R(_eγ) etα(t_e ⁰) ∈ ∂B^R(_eγ).

Remarquons donc que dans les quatre situations de cette définition,α se sépare posi-_e tivement et négativement de_eγ. En effet, il doit rencontrer la bande B(_eγ) entre t et t⁰, et donc ne peut plus la rencontrer avant t ou après t⁰. En ajoutant les cas où il y a équivalence en ∞ ou accumulation, on obtient donc la classification suivante :

Lemme 2.1.9. Étant donné un chemin transverse α : R → g_e dom(F ) qui rencontre B(_eγ), il y a quatre possibilités :

- soitα traverse B(_{e e}γ) (de droite à gauche ou de gauche à droite), - soitα visite B(_{e e}γ) (par la gauche ou par la droite),

- soitα est équivalent à_{e e}γ en +∞ ou en −∞,

- soitα s’accumule (positivement ou négativement) dans_{e e}γ. Démonstration. Ceci découle de toutes les définitions précédentes.

Remarquons d’emblée que dans les deux premiers cas de ce lemme 2.1.9, le nombre d’intersection deα avec_{e e}γ est bien défini : en effet, α se sépare positivement et négative-_e ment de _eγ donc l’ensemble {t ∈ R |α(t) ∈e _eγ} est compact. Plus précisément, ce nombre d’intersection vaut +1 si α traverse B(_{e e}γ) de gauche à droite, −1 si α traverse B(_{e e}γ) de droite à gauche, et 0 siα visite B(_{e e}γ)). Dans les deux derniers cas du lemme 2.1.9, on ne peut cependant rien dire concernant le nombre d’intersection deα avec_{e e}γ, qui peut être ou non bien défini selon les situations.

Lemme 2.1.10. Soitα : R → g_e dom(F ) un chemin transverse.

Si α visite B(_{e e}γ) par la gauche, alors pour toute feuille eφ ⊂ ∂B^L(_eγ), T eφ 6= eφ. Si α visite B(_{e e}γ) par la droite, alors pour toute feuille eφ ⊂ ∂B^R(_eγ), T eφ 6= eφ.

Démonstration. En effet, si α visite B(_{e e}γ) par la gauche, elle doit rencontrer ∂B^L(_eγ) en deux points distincts appartenant donc à deux feuilles distinctes. Par le lemme 2.1.6, le fait que ∂B^L(_eγ) contienne deux feuilles distinctes implique qu’aucune de ses feuilles n’est invariante par T . De même siα visite B(_{e e}γ) par la droite.

Terminons par un cas particulier où un translaté de_eγ traverse B(_eγ) :

Lemme 2.1.11. Pour tout S ∈ G, S_eγ traverse B(γ) de gauche à droite si et seulement si_e e

γ traverse B(S_eγ) de droite à gauche. En particulier, S_eγ intersecte eF −transversalement _eγ positivement.

Démonstration. Il suffit de montrer un sens, l’autre se montrant de manière similaire. On suppose que Sγ traverse B(_e γ) de gauche à droite. Alors S_e γ se sépare positivement et_e négativement de _eγ. De plus, par le lemme 2.1.3, _eγ ne s’accumule pas dans S_eγ. On déduit donc que_eγ se sépare positivement et négativement de S_eγ, ce qui implique que_eγ traverse ou visite B(S_eγ). Comme enfin le nombre d’intersection de S_eγ avecγ est +1, alors le nombre_e d’intersection de_eγ avec S_eγ est −1, donc la seule possibilité est que _eγ traverse B(S_eγ) de droite à gauche.

2.1.2.b Approximations

Dans la suite, on s’intéressera au comportement de trajectoires vis-à-vis des bandes définies par certains lacets bien particuliers, obtenus en approximant la trajectoire dans le sens suivant :

Définition 2.1.12. Soit α : R → g_e dom(F ) un chemin transverse. On dit qu’un chemin transverse _eγ : R → gdom(F ) est une approximation de α si :_e

-_eγ : R → gdom(F ) est un T −lacet transverse pour un certain T ∈ G \ {Id}, et - il existe deux réels a < b tels queα_e|[a,b] est équivalent à _eγ_|[0,1].

Définition 2.1.13. Soit α : R → M un chemin transverse. On dit qu’un lacet transverse γ : R → M est une approximation de α si γ possède un relevéeγ : R → gdom(F ) qui est une approximation d’un relevéα : R → g_e dom(F ) de α.

Le choix du terme “approximation” est motivé par le cas d’un cheminα récurrent : en_e effet, dans ce cas,α a des portions aussi grandes que l’on veut qui relient deux relevés d’une_e même feuille de F . Chacune de ces portions est donc équivalente à un chemin qui relève un lacet, et qui, périodisé, définit exactement une approximation deα telle que définie en_e 2.1.12. En un certain sens, on peut considérer que la suite des lacets obtenus en choisissant des portions de plus en plus grandes approche le chemin globalα._e

Donnons pour conclure un résultat simple mais qui nous sera utile :

Lemme 2.1.14. Soit α : R → M et β : R → M deux chemins transverses et γ une approximation de α. Si β s’accumule dans γ, alors β s’accumule dans α.

Démonstration. Supposons que β s’accumule positivement dans γ (le cas où l’accumulation a lieu négativement étant similaire). Il existe des relevés eβ et_eγ de β et γ, et trois réels t0, et t < t⁰ tels que eβ_|[t0,+∞[ est équivalent à _eγ_|[t,t0[ : on peut les choisir (quitte à prendre de plus grands réels t₀ et t), de sorte qu’il existe N ∈ Z tel que N < t < t⁰≤ N + 1. De plus, par définition d’une approximation, il existe un relevéα de α, un relevé_{e e}γ de γ qui est un T −lacet (pour un certain T ∈ G \ {Id})), et a < b tels que α_e|[a,b] est équivalent à _eγ_|[0,1]. Comme eβ_|[t0,+∞[est équivalent à_eγ_|[t,t0[, alors il est équivant à un sous-chemin de_eγ_{|[N,N +1]}, donc à un sous-chemin de T^N_eγ_|[0,1], donc à un sous-chemin de T^Nα_e|[a,b]. Autrement dit, eβ s’accumule dans T^Nα, et donc β s’accumule dans α._e

2.1.2.c Quelques cas d’intersection F −transverse

Dans certains cas, les positions relatives de chemins transverses par rapport à la bande définie par une de leurs approximations permettent immédiatement de trouver des chemins transverses qui s’intersectent F −transversalement. La première de ces situations est la suivante :

Proposition 2.1.15. Soitα : R → g_e dom(F ) un chemin transverse, et_eγ une approximation deα. Si_e α visite B(_e γ), alors_e α relève un chemin ayant une auto-intersection F −transverse._e Démonstration. Par définition d’une approximation, _eγ est un T −lacet pour un certain T ∈ G \ {Id}. Notons eφ la feuille passant par_eγ(0) :α rencontre donc e_e φ et T eφ. On suppose queα visite B(_e γ) par la droite, l’autre cas étant similaire._e

Comme α visite B(_{e e}γ) par la droite, il existe deux réels t < t⁰ tels que eφ

e

α(t) et eφ

e α(t0)

appartiennent à ∂B^R(γ). Les deux feuilles e_e φ et T eφ appartenant à B(γ), elles sont donc_e rencontrées par α entre e_e φ

e α(t) et eφ e α(t0) : il s’ensuit que eφ e α(t) est à droite de eφ et de T eφ, et que eφ e α(t0) est à gauche de eφ et de T eφ.

La trajectoire Tα, quant à elle, rencontre T e_e φ

e α(t)et T eφ e α(t0). Comme eφ e α(t)est à droite de e φ, alors T eφ e

α(t)est à droite de T eφ. Le lemme 2.1.10 implique de plus que T eφ

e α(t)6= eφ e α(t): il s’ensuit, comme T eφ e α(t)et eφ e

α(t)sont dans ∂B^d(γ) et à droite de T e_e φ, que eφ

e

α(t)est en-dessous de T eφ

e

α(t) par rapport à T eφ. De même, le lemme 2.1.10 donne eφ

e

α(t0) 6= T eφ

e

e φ

e

α(t0) et T eφ

e

α(t0)sont dans ∂B^d(_eγ) et à gauche de T eφ, alors T eφ

e

α(t0)est en-dessous de eφ

e α(t0)

par rapport à T eφ.

Les positions des quatre feuilles eφ

e α(t), eφ e α(t0), T eφ e α(t) et T eφ e

α(t0) par rapport à T eφ im-pliquent alors que α et T_e α s’intersectent e_e F −transversalement, c’est-à-dire par définition que la projection deα à M a une auto-intersection F −transverse._e

Figure 2.3 – Preuve de la proposition 2.1.15

Le deuxième résultat concerne le cas où un chemin transverse traverse la bande définie par une de ses approximations :

Proposition 2.1.16. Soitα : R → g_e dom(F ) et eβ : R → gdom(F ) deux chemins transverses, et_eγ une approximation de α. Soit T ∈ G \ {Id} tel que_{e e}γ est un T −lacet.

Si α traverse B(_{e e}γ) de droite à gauche et eβ traverse B(_eγ) de gauche à droite, alors il existe n ∈ Z tel que α et Te ⁿβ s’intersectent ee F −transversalement.

Si α traverse B(_{e e}γ) de gauche à droite et eβ traverse B(_eγ) de droite à gauche, alors il existe n ∈ Z tel que α et Te ⁿβ s’intersectent ee F −transversalement.

Démonstration. On traite ici le cas où α traverse B(_{e e}γ) de droite à gauche et eβ traverse B(_eγ) de gauche à droite (l’autre cas étant similaire).

Comme eβ traverse B(_eγ) de gauche à droite, il existe s < s⁰ tels que eφ

e

β(s) ∈ ∂BL(_eγ) et e

φ

e

β(s0)∈ ∂BR(_eγ). De plus, eβ_|]s,s0[ est alors inclus dans B(_eγ), donc on peut choisir r ∈ R tel que eβ_|]s,s0[ rencontre eφ e γ(r) : ainsi, eφ e β(s) est à droite de eφ e γ(r) et eφ e β(s0) est à gauche de eφ e γ(r). Comme maintenant α traverse B(_{e e}γ) de droite à gauche, il existe deux réels t < t⁰ tels que eφ

e

α(t) ∈ ∂BR(_eγ) et eφ

e

α(t0) ∈ ∂BL(γ). Notant e_e φ la feuille passant pas _eγ(0), et {r} la partie fractionnaire de r, la feuille eφ

e

γ({r}) est alors entre eφ et T eφ, donc elle est rencontrée parα entre e_e φ e α(t) et eφ e α(t0) : il s’ensuit que eφ e α(t) est à droite de eφ e γ({r}), et que eφ e α(t0) est à gauche de eφ e γ({r}).

Les deux feuilles T^−brcφe

e

β(s) et eφ

e

α(t) sont donc situées à droite de eφ

e

γ({r}) : comme la première est dans ∂B^L(_eγ) et la seconde dans ∂B^R(_eγ), on déduit que T^−brcφe

e β(s) est en-dessous de eφ e α(t)par rapport à eφ e γ({r}). De même, T^−brcφe e β(s0) et eφ e

de eφ

e

γ({r}): comme la première est dans ∂B^R(_eγ) et la seconde dans ∂B^L(_eγ), on déduit que e φ e α(t) est en-dessous de T^−brcφe e β(s) par rapport à eφ e γ({r}). Les positions des quatre feuilles T^−brcφe_β(s)e , T^−brcφe_β(se 0), eφ

e α(t)et eφ e α(t0) par rapport à la feuille commune eφ e

γ({r})montrent queα et T_e ^−brcβ s’intersectent ee F −transversalement.

Figure 2.4 – Preuve de la proposition 2.1.16

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