Interf´ erom´ etrie

Pour obtenir le profil de densit´e d’un plasma, il est possible d’utiliser un diagnostic d’interf´erom´etrie. Ce diagnostic repose sur la nature ondulatoire de la lumi`ere et sur la lin´earit´e de son champ ´electrique (Etot= E1+E2). En effet, les champs ´electriques venant

de deux faisceaux diff´erents s’additionnent et cr´eent des sur/sous intensit´es lumineuses appel´ees franges. En d´etail, nous allons prendre le cas de deux ondes de longueur d’onde identique E1exp ı(ωt + φ1) et E2exp ı(ωt + φ2) avec E les amplitudes des deux ondes, ω

la pulsation du laser et φ la phase. L’addition de ces deux ondes donne :

Et= E1eı(ωt+φ1)+ E2eı(ωt+φ2) (2.12)

Et= (E1+ E2eφ2−φ1)eı(ωt+φ1) (2.13)

Et= (E1+ E2e∆φ)eı(ωt+φ1), (2.14)

avec ∆φ = φ2− φ1 le d´ephasage entre les deux ondes. L’intensit´e lumineuse observ´ee IL

est proportionelle au champ ´electrique au carr´e soit : IL∝ |Et|2 = (E12+ E22)  1 + 2E1E2 E₁2+ E₂2 cos ∆φ  . (2.15)

30 CHAPITRE 2: DIAG. EXP ´ERIMENTAUX

Figure 2.5: Configuration exp´erimentale utilisant l’ombroscopie pour la synchronisation de deux faisceaux.

a) b) c)

Figure 2.6: Exemple d’image d’ombroscopie d’un plasma cr´e´e par laser dans l’air. a) Image d’ombroscopie du plasma pour ∆t = 1.3 ps. b) Image de r´ef´erence sans laserpompeservant de bruit de fond. (c) Soustraction de l’image de bruit de fond avec l’image du plasma.

L’intensit´e lumineuse observ´ee est compos´ee de plusieurs parties, une partie constante E₁2+ E2₂ et une partie variant en fonction du d´ephasage 2E1E2cos ∆φ. Cette partie cr´ee de

mani`ere p´eriodique des sur/sous intensit´es (allant de Imin = (E1−E2)2`a Imax= (E1+E2)2

ou dans le cas E1 = E2, de Imin = 0 `a Imax = 4E12).

Le d´ephasage d’une onde vient, pour la plupart des cas, de la diff´erence de chemin optique R N dl entre les ondes, avec N l’indice du milieu et l la distance curviligne. Le chemin optique est reli´e `a la phase d’une onde par φ = R kdl = R Nω_cdl. Comme d´ecrit dans l’Annexe B, l’indice d’un plasma magn´etis´e est :

˘ N2 = 1 − X 1 − ıνei/ω − Y2 ⊥ 2(1−X−ıνe/ω)± r Y4 ⊥ 4(1−X−ıνei/ω)2 + Y 2 z , (2.16)

avec X = (ωpe/ω)2, ωpe la pulsation plasma ´electronique, Y = ωce/ω, ωce = eB/me

la pulsation cyclotronique ´electronique, B le champ magn´etique externe du plasma et νei la fr´equence de collision ´electrons-ions. Dans le cas de l’interf´erom´etrie, le plasma

(g´en´eralement non-magn´etis´e Y = 0) doit ˆetre sous-critique (X < 1) pour permettre la propagation de la lumi`ere. De plus si la densit´e normalis´ee X est tr`es inf´erieure `a 1, le plasma est peu collisionel soit νei ≈ 0, nous avons :

N2= 1 − X (2.17)

= 1 − ne nc

. Ainsi, le d´ephasage devient :

∆φ = Z

(kplasma− kref erence)dl (2.18)

∆φ = ω c Z r 1 −ne nc − 1  dl. (2.19) Dans le cas o`u ne/nc<< 1, ∆φ = −ω 2c Z _n e nc dl. (2.20)

Cette formule approch´ee nous donne le d´ephasage moyen lors de la travers´ee du plasma. Ce d´ephasage est proportionel `a l’int´egrale de la densit´e ´electronique sur la distance de propagation de l’onde.

Il existe plusieurs m´ethodes permettant d’obtenir des franges d’interf´erences : par exemple l’interf´erom`etre de Michelson initialement utilis´e dans le but de prouver l’existence de l’ ´Ether [Michelson 1887] ou encore l’interf´erom`etre de Mach-Zehnder beaucoup utilis´e dans les diagnostics VISAR [Dolan 2006] ou dans le contrˆole qualit´e d’optique de grande

32 CHAPITRE 2: DIAG. EXP ´ERIMENTAUX

Figure 2.7: Sch´ema d’un interf´erom`etre de type Nomanski utilisant un cube de Wollaston.

pr´ecision [Schmitt 1999]. Nous allons voir ici un interf´erom`etre bas´e sur un Bi-prisme, l’in- terf´erom`etre de Nomarski [Martinkova 2010]. Le principale avantage de cet interf´erom`etre est sa simplicit´e de r´ealisation, d’utilisation ainsi que son aspect compact.

L’interf´erom`etre de Nomarski repose sur la d´ecomposition de la lumi`ere par un bi-prisme (cf. figure 2.7). Dans notre cas, le prisme sera un Wollaston [Collett 2012]. Ce cube projette le champ ´electrique du laser E suivant deux directions orthonorm´ees diff´erentes (E = Exex + EyEy soit E1 = Exex et E2 = Eyey). Ces deux projections

du champ ´electrique se propagent suivant deux directions s´epar´ees d’un angle α. Les champs ´electriques de chaque onde ne permettent pas de cr´eer d’interf´erence constructive ou destructive. Il est donc n´ecessaire d’ajouter un polariseur `a 45◦ (direction ea). Ainsi les

composantes de projections identiques peuvent interf´erer (E1= E1/2eaet E2= E2/2ea).

Un syst`eme d’imagerie doit produire une image du plasma qui est ensuite s´epar´ee sui- vant les deux directions de polarisation par le biprisme. Ainsi, une des images du plasma doit se trouver dans la zone d’interf´erence et ˆetre superpos´ee `a la deuxi`eme image comme repr´esent´e sur la figure2.8. Les franges obtenues repr´esentent les iso-d´ephasages cr´e´es par le plasma. Il est donc possible d’obtenir une carte de d´ephasage cr´e´ee par le plasma.

La carte de d´ephasage obtenue donne en chaque point l’int´egral du d´ephasage sur le chemin de l’onde. Ceci n’est en g´en´eral pas suffisant pour obtenir le profil de densit´e travers´ee. Toutefois, dans le cas d’une sym´etrie du plasma cylindrique, il est possible d’ap- pliquer une transform´ee d’Abel, transformation math´ematique, dans le cas d’une sym´etrie cylindrique, permettant d’obtenir la d´ependance radiale (fonction de r) d’une fonction d´ependant d’une direction du syst`eme cart´esien (par exemple y) tel que le montre la fi-

Figure 2.8: Sch´ema du plan d’imagerie poss´edant les deux images dues `a la s´eparation par le cube de Wollaston.

gure 2.9. Math´ematiquement, nous pouvons repr´esenter ce changement de coordonn´ees par les deux ´equations suivantes :

F (y) = Z z0 −z0 f (r)dz avec z =pr2_{− y}2_, = 2 Z a y f (r)p rdr r2_{− y}2, (2.21) f (r) = −1 π Z a r dF dy dy p y2_{− r}2, (2.22)

avec F (y) la fonction d´efinie sur la direction ey, a la taille de l’objet, r la coordonn´ee

radiale et f (r) la fonction dans la direction er. Dans le cas de l’interf´erom´etrie :

∆φ = ω

2cnc

Z z0

−z0

ne(r)dz. (2.23)

En r´ealisant le changement de variable z =pr2_{− y}2 _:

∆φ = 2ω 2cnc Z a y ne(r) r p r2_{− y}2dr, (2.24)

soit la transform´ee inverse pour obtenir ne(r) :

ne(r) = −2cn_c πω Z a r d∆φ dy 1 p y2_{− r}2dy. (2.25)

34 CHAPITRE 2: DIAG. EXP ´ERIMENTAUX

Figure 2.9: G´eom´etrie dans le cas d’une transform´ee d’Abel.

Trouver ne(r), en utilisant l’´equation2.25est souvent tr`es compliqu´e. Les solutions num´eriques

sont tr`es sensibles au bruit et ont souvent des discontinuit´es proches de l’axe. Une m´ethode pour rendre plus facile l’inversion est de d´ecomposer la fonction `a inverser en une somme de fonctions admettant des transform´ees d’Abel analytiques. Cette m´ethode est ´equivalente `

a un filtrage spatial car l’interpolation en gaussienne ´elimine le bruit. Ainsi la transform´ee d’Abel d’une gaussienne F (y) = a0exp(−x2/(2σ02) est analytique et donne :

f (r) = σ0a0 √ 2πe− r2 2σ2_0erf s a2 2σ2₀ − r2 2σ₀2 ! , (2.26)

avec erf la fonction erreur. Dans un cas o`u a >> r :

f (r) = σ0a0

√ 2πe−

r2

2σ2_{0. (2.27)}

La transform´ee d’Abel d’une gaussienne donne alors une gaussienne de mˆeme largeur `a mi- hauteur. Cette transform´ee est tr`es pratique car cela permet d’avoir une bonne ´evaluation de la densit´e radiale dans le cas de plasmas cr´e´es par laser (g´en´eralement de tache focale gaussienne).