Interf´erence en pr´esence d’un milieu dispersif

On a vu `a la section pr´ec´edente le ph´enom`ene d’interf´erence `a deux photons et avons d´eriv´e l’´equation du fameux creux de HOM. Le creux d’HOM, ´etant le r´esultat d’interf´erence entre les diff´erents chemins de d´etection, d´epend de l’indistinguabilit´e des photons. Si les photons deviennent distinguables, l’interf´erence est d´etruite et le creux disparaˆıt. On s’attend alors que la modification du spectre ou de la phase d’un des photons modifie toute aussi la forme du creux d’anti-corr´elation. C’est effectivement ce qu’on tente de voir en introduisant un mat´eriau dans un des chemins optiques. De cette

fac¸on, le photon intriqu´e pourra interagir avec le mat´eriau et encoder la r´eponse de celui- ci dans le spectre et la phase du biphoton. Si l’on introduit un milieu dispersif dans le bras du compl´ementaire, l’´equation 4.64 peut ˆetre r´e´ecrite sous la forme,

P_c(τ) =1 4 Z Z dωsdωc  |Φ(ωs, ωc)S(ωc)|2+ |Φ(ωc, ωs)S(ωs)|2 −2Re[Φ∗(ωs, ωc)Φ(ωc, ωs)S∗(ωc)S(ωs)e−i(ωs−ωc)τ]  , (4.69)

o`u S(ω) est la fonction de transmission de l’´echantillon. Tout comme le cas sans ´echan- tillon, on peut r´e´ecrire cette ´equation en fonction du d´esacordage par rapport `a la fr´equen- ce centrale de la pompe ωp. L’´equation 4.69 se r´e´ecrit alors sous la forme,

P_c(τ) =1 4 Z dν |Φ(ν)|2   S(ωp− ν)   2 +S(ωp+ ν)   2

−2Re[S∗(ωp− ν)S(ωp+ ν)e−2iντ]
.

(4.70)

On peut voir que la fonction de transmission du mat´eriau va compl`etement modifier la forme du creux d’anticorr´elation. On peut simuler cette probabilit´e de co¨ıncidence en approximant le milieu r´esonnant comme une s´erie de r´esonnance ayant une forme lorenztienne. La fonction S(ω) s’´ecrit alors, pour chacune d’entre elles,

S(ω) = exp  −i b (ω − ω0) + iγ  , (4.71)

o`u b = αL/2T2, ω0la fr´equence centrale de la r´esonnance, γ−1= T2le temps de d´epha-

sage, αL la profondeur optique (α est un coefficient d’absorption), on peut recr´eer la structure d’un spectre de transmission en additionnant plusieurs r´esonnances de cette forme. Par exemple, si l’on prend la fonction spectrale du biphoton ayant une forme gaussienne et un mat´eriau r´esonnant ayant quatre r´esonnances dans la largeur de bande du biphoton (voir figure 4.8a). On peut d´eriver, `a partir de l’´equation 4.70 le creux de HOM (figure 4.8b).

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(a) (b)

Figure 4.8 – (a) Spectre du biphoton normalis´e en fonction du d´esaccordage par rapport `a la fr´equence de la pompe (noir) et spectre de transmission du mat´eriau dans le bras de l’interf´erom`etre en fonction du d´esaccordage (rouge).(b) Creux de d’HOM en pr´esence d’un milieu dispersif.

Les param`etres utilis´es pour ce calcul ont ´et´e choisis arbitrairement, les valeurs n’ont alors pas de signification physique. Par contre, la forme du creux d’anti corr´elation est tr`es pertinente puisqu’elle nous montre que le mat´eriau a bel et bien un effet sur le biphoton. On peut mˆeme noter la ressemblance avec les mesures que Kalashnikov et al. 2017 ont effectu´e sur les cristaux de Nd :YAG (voir figure 2.2).

4.8 Conclusions

En conclusion, nous avons vu `a travers ce chapitre la n´ecessit´e d’utiliser l’optique quantique pour bien expliquer le processus de CPS. Les bases th´eoriques, qui consistent en une introduction aux ´etats de Fock, `a la seconde quantification des champs, `a la th´eorie des perturbations d´ependante du temps et `a la repr´esentation d’interaction, ont d’abord ´et´e pos´ees. Cela nous a ensuite men´es `a une description quantique du processus de CPS. L’´etat quantique qui d´ecrit le processus de CPS est un ´etat intriqu´e `a deux photons, puisqu’il ne peut ˆetre s´epar´e en deux ´etats `a un photon. C’est la fonction spectrale du biphoton qui empˆeche cette s´eparation en introduisant des corr´elations entre les diff´erents modes de radiations. On a ´egalement vu que cette fonction va ˆetre modifi´ee

par les propri´et´es du cristal et par les propri´et´es de la source d’excitation. Ces propri´et´es ont ´et´e expos´ees en explorant diff´erentes configurations. On a conclu que la largeur de bande de la fonction spectrale est principalement domin´ee par la qualit´e de l’accord de phase. Plus l’accord de phase est bon, plus la largeur de bande du biphoton sera large. Les configurations colin´eaires permettent donc, en g´en´eral, d’obtenir de plus larges spectres. Pour les mˆemes raisons, l’accord de phase de type I engendrera un spectre plus large que pour celle de type II et donc un temps de coh´erence, ou d’intrication, plus faible. On a ensuite vu, `a l’aide de la th´eorie de photod´etection de Glauber, que la probabilit´e de d´etection de deux photons en deux points de l’espace et `a deux temps diff´erents est proportionnelle `a la fonction de coh´erence du second ordre du champ. Ceci nous a men´es `a la d´erivation d’une fonction d’onde effective pour le biphoton qui contient toute l’information physique. Cette fonction d’onde effective est ´etroitement li´ee `a la fonction spectrale jointe qui intrique les photons entre eux. Par la suite, le ph´enom`ene d’interf´erence `a deux photons du type HOM a ´et´e discuter, nous menant `a l’explication d’un ph´enom`ene d’interf´erence plus complexe. Ce ph´enom`ene, qui est au coeur de ce m´emoire, est l’interf´erence `a deux photons en pr´esence d’un milieu dispersif. Tr`es similaire, en principe, `a l’exp´erience de HOM, cette variante permet de tirer de l’information suppl´ementaire d’un syst`eme `a l’aide de l’interf´erence quantique. En plac¸ant un mat´eriau dans l’un des bras d’un interf´erom`etre, il est possible d’encoder la r´eponse de celui-ci dans la phase d’un biphoton. Les diff´erentes amplitudes quantiques du biphoton interf´ereront alors entre elles en laissant la signature du mat´eriau dans le creux d’anti corr´elation.