Interf´erence `a deux photons

L’interf´erence `a deux photons est un des concepts les plus importants dans la compr´e- hension de ce m´emoire, puisqu’il est au coeur de la technique spectroscopique que l’on tente de reproduire. Lorsque l’on parle d’interf´erence `a deux photons, on ne parle pas d’interf´erences entre deux photons ind´ependants, mais bien de l’interf´erence d’un ´etat `a deux photons avec lui mˆeme. Par exemple, prenons un ´etat `a deux photons de la forme

o`u les deux photons identiques sont incidents sur les ports A et B d’un cube s´eparateur de faisceau. Chacun des deux photons `a une probabilit´e ´egale d’ˆetre transmis o`u d’ˆetre r´efl´echi sur le cube. Cela m`ene donc `a quatre sc´enarios possibles : soit les deux photons sont transmis ou r´efl´echis, ou bien l’un des deux est r´efl´echi et l’autre transmis. Math´ema- tiquement, cela est ´equivalent `a appliquer la transformation 4.53 aux op´erateurs de l’´equa- tion 4.57. On a donc, |1_A; 1Bi = 1 2( ˆc †_{+ i ˆd}†_{)(i ˆc}†_{+ ˆd}†_{) |0i =}1 2(i ˆc † ˆ c†+ ˆc†dˆ†− ˆd†cˆ†+ i ˆd†dˆ†) |0i . (4.58)

Cette ´equation montre bien les quatre sc´enarios possibles de d´etection. Le premier et le dernier terme repr´esentent les situations o`u un photon a ´et´e transmis et l’autre r´efl´echit. Cela signifie donc que les deux photons ont quitt´e le cube s´eparateur de faisceau par le mˆeme port. Les deux termes du milieu, eux, repr´esentent les cas o`u les deux photons ont ´et´e transmis ou r´efl´echis. Ces quatre termes peuvent ˆetre repr´esent´es par la figure suivante,

Figure 4.6 – Les quatre termes de l’´equation 4.58 pour l’interf´erence `a deux photons sur un cube s´eparateur de faisceau.

Si l’on positionne deux d´etecteurs exactement `a la mˆeme distance de chacun des deux ports de sortie et que l’on compte les ´ev´enements `a l’aide de d´etecteurs, nous allons observer un ph´enom`ene d’interf´erence entre les diff´erents chemins quantique. Cette interf´erence provient des deux termes du milieu de l’´equation 4.58. Comme les deux processus sont totalement indistinguables l’un de l’autre et que les op´erateteurs ˆa_C† et ˆa†_D

45 commutent, ces deux termes s’annulent. On peut alors r´e´ecrire l’´etat de sortie comme

|ψouti =

1 √

2(|2C; 0Di + |0C; 2Di), (4.59) o`u la phase globale de i a ´et´e supprim´e et les op´erateurs de cr´eation ont ´et´e appliqu´es en suivant les r`egles usuelles, ´equation 4.4. L’´etat de sortie du cube s´eparateur de faisceau consiste alors en une superposition de deux ´etats `a deux particules. Les deux ´etats repr´esentent les situations o`u les photons sont tous les deux d´etect´es par le mˆeme d´etec- teur. Il est alors impossible de d´etecter en co¨ıncidence un photon sur chaque d´etecteur, on appelle cela du groupement de photons. Cette interf´erence `a deux photons est appel´ee l’effet Hong-Ou-Mandel (HOM). Bien que l’interf´erence semble ˆetre compl`ete dans le cas pr´esent´e pr´ec´edemment, ce n’est pas toujours le cas lors de vraies exp´eriences. Par exemple, si l’on d´ephase l’un des photons par rapport `a l’autre, l’indistinguabilit´e sera r´eduite, ce qui causera une r´eduction de l’interf´erence. L’´etat de sortie du cube s´eparateur de faisceau contiendra alors une contribution de tous les chemins possibles et donc une probabilit´e de co¨ıncidence non nulle. Cette destruction de l’interf´erence peut ˆetre mesur´ee en fonction du d´elai entre les photons : c’est le creux de HOM (figure 4.7). Si l’on prend l’´etat de CPS sous la forme de l’´equation 4.36 et que l’on calcule l’´etat de sortie du cube s´eparateur de faisceau en appliquant les transformations aux op´erateurs d’´echelle, on trouve que

|Ψsortiei = 1 2 Z Z dωsdωcΦ(ωs, ωc)( ˆc†(ωs) + i ˆd†(ωs))(i ˆc†(ωc) + ˆd†(ωc)) |0i (4.60) =1 2 Z Z dωsdωcΦ(ωs, ωc)  ˆ c†(ωs) ˆd†(ωc) − ˆd†(ωs) ˆc†(ωc)  + icˆ†(ωs) ˆc†(ωc) + ˆd†(ωs) ˆd†(ωc)  |0i . (4.61)

Les deux premiers termes de cette ´equation contribuent au compte en co¨ıncidence et les deux autres aux situations ou les deux photons atteignent le mˆeme d´etecteur. Afin de mesurer le creux de HOM, on introduit un translateur de faisceau dans le bras du signal avant l’interf´erence, ce qui introduit une phase de eiωsτ_{. On a donc l’´etat de la CPS qui}

contribue `a la d´etection en co¨ıncidence, |Ψci = 1 2 Z Z dωsdωcΦ(ωs, ωc)  ˆ c†(ωs) ˆd†(ωc) − ˆd†(ωs) ˆc†(ωc)  eiωsτ_{|0i . (4.62)}

En changeant ωs↔ ωcdans le deuxi`eme terme on peut r´e´ecrire,

|Ψci =

1 2

Z Z

dωsdωc Φ(ωs, ωc)eiωsτ− Φ(ωc, ωs)eiωcτ
|ωs, ωci . (4.63)

La probabilit´e de mesurer cet ´etat est alors donn´ee par,

P_c(τ) = |hΨc| Ψci|2= 1 4 Z Z dωsdωc  |Φ(ωs, ωc)|2+ |Φ(ωc, ωs)|2 −2Re[Φ∗(ωs, ωc)Φ(ωc, ωs)e−i(ωs−ωc)τ]  . (4.64)

Cette probabilit´e de co¨ıncidence peut ˆetre calcul´ee facilement en approximant que les fonctions spectrales des biphotons sont des gaussiennes. Si l’on suppose une configura- tion d´eg´en´er´ee de type I pomp´e avec un laser continu, on peut approximer l’enveloppe de la pompe comme une fonction delta δ (ωp− ωs− ωc). La condition de conservation

d’´energie peut ˆetre exprim´ee en fonction du d´esaccordage,

ωs= ωs0+ ν, ωc= ωc0− ν, ωp= ωs+ ωc= ωs0+ ωc0= constante. (4.65)

Avec cette red´efinition des variables, on peut alors ´ecrire la probabilit´e de co¨ıncidence comme

P_c(τ) = 1 4

Z

dν | f (ν)|2 2 − e2iντ− e−2iντ
, (4.66) o`u on a utilis´e le fait que pour la CPS d´eg´en´er´e de type I pomp´e par un laser continu, la fonction spectrale est sym´etrique par rapport au d´esaccordage [26]. En prenant comme fonction spectrale la fonction suivante

f(ν) = 1

σ1/2(2π)1/4 e−ν

2

4σ 2 (4.67)

47 de la largeur de bande du biphoton (σ ) et du d´elai entre les photons τ.

P_c(τ) = 1 2− 1 2e −2σ2 τ2 _(4.68)

Cette ´equation repr´esente le creux de HOM et est repr´esent´e sur la figure 4.7 pour σ = 5.

Figure 4.7 – Probabilit´e de co¨ıncidence (´eq 4.68) en fonction du d´elai pour σ = 5.

La mesure exp´erimentale du creux de HOM nous renseigne sur la structure spectrale du biphoton, puisque la probabilit´e de co¨ıncidence est proportionnelle `a la convolution du biphoton avec lui mˆeme. On peut extraire le temps de coh´erence, et donc la largeur de bande du biphoton, de cette mesure en prenant la largeur `a mi-hauteur du creux de HOM.