4.2 Les transferts radiatifs dans un lit fluidisé
4.2.1 Interactions rayonnement/matière
Le lit fluidisé peut-être considéré comme un milieu semi transparent, c’est un milieu qui peut à la fois émettre, transmettre, absorber ou diffuser une puissance radiative.
Interaction du rayonnement solaire concentré et infrarouge avec le récepteur
Dans notre lit fluidisé, ce sont les domaines spectraux de l’infrarouge (entre 1.5µm et 23µm) et du visible (entre 0, 24µm et 4µm) qui contiennent 99% de l’énergie échangée. L’interaction du rayonnement avec le lit fluidisé se fait au niveau des particules, le gaz de fluidisation, l’air, est ici considéré comme transparent.
Le choix a été fait de traiter les transferts radiatifs sur deux bandes spectrales séparées (Visible et IR) dans le récepteur à lit fluidisé. La directionnalité du rayonnement solaire incident est représentée dans le modèle 3D mais pas dans le modèle 1D. Les phénomènes radiatifs à prendre en compte sont répertoriés sous forme d’exemples sur les figures 4.1.a et 4.1.b.
Le chemin-exemple 1 de la figure 4.1.a présente un paquet de photons arrivant du concentra- teur vers le hublot. A ce niveau, le paquet de photons peut soit subir une réflexion spéculaire, soit être transmis. Au niveau du hublot en quartz, l’absorption est négligée. Le paquet de photons transmis à l’intérieur du récepteur subit de multiples diffusions pour finalement être absorbé dans le volume par le nuage de particules. Quand le paquet de photons est absorbé par les particules, il contribue à l’augmentation de la température du milieu. L’interaction entre le rayonnement et le milieu la plus complexe et la plus difficile à mettre en œuvre est certai- nement la diffusion. Elle se traduit par une interaction entre les photons et la matière, qui a pour conséquence de changer la direction du rayonnement incident par des interactions entre les photons et des centres diffuseurs.
Le chemin-exemple 2 de la figure 4.1.a présente un rayon arrivant du concentrateur, transmis par le hublot, et rétrodiffusé par le ciel du lit vers le hublot pour être enfin transmis vers l’extérieur. Ce paquet de photons va contribuer aux pertes du récepteur.
Le chemin-exemple 3 de la figure 4.1.a présente un photon qui après avoir été transmis par la vitre, va être diffusé, réfléchi par une paroi pour continuer son chemin dans le lit fluidisé et finalement être absorbé au niveau de la paroi en un autre point. Les parois, en acier ou en réfractaire, réfléchissent les photons de manière diffuse ou les absorbent.
Les chemins-exemples 4 et 5 de la figure 4.1.b soulignent simplement le fait que les photons émis dans l’infra rouge ont le même comportement que les paquets de photons dans le visible, à
Figure 4.1 – A gauche, phénomènes radiatifs dans le visible et à droite (a), phénomènes radiatifs dans l’infrarouge (b)
la différence qu’ils sont émis depuis le milieu particulaire ou les parois. Si le paquet de photons est émis puis absorbé en un autre point du lit, alors il contribue aux échanges radiatifs. S’il sort du récepteur, il contribue aux pertes que l’on va essayer de minimiser.
L’équation de transfert radiatif (ETR)
Hypothèses
Avant d’aborder cette partie, il est conseillé de parcourir l’annexe B qui présente quelques notions et quelques notations utiles pour aborder l’équation de transfert radiatif en milieu diffusant.
Afin de décrire les transferts radiatifs dans notre milieu à l’aide de l’équation de Transfert Radiatif, certaines hypothèses doivent d’abord être posées. La première concerne l’hypothèse de diffusion indépendante, qui revient à négliger l’influence de la proximité d’autres centres diffusants lorsqu’un photon est diffusé par une particule. Cette hypothèse n’est pas toujours évidente dans le cas des lits fluidisés. En effet, les distributions de particules présentes dans les lits fluidisés se situent parfois à la limite de validité de cette hypothèse. Tien [71] propose une revue de l’état des connaissances sur les propriétés optiques et radiatives des lits fixes et fluidisés et expose ses résultats concernant le problème de la séparation entre diffusion dépendante et indépendante. A partir de cela, Drole [72] établit un diagramme des régimes dépendants et indépendants de la diffusion (cf. fig. 4.2). D’après ce critère, nous pouvons conclure que l’hypothèse de diffusion indépendante est validée dans toutes nos applications dont la fraction
volumique maximale de particules ne dépasse pas 0,64 et dont le paramètre de taille varie entre 35 et 16000.
Figure 4.2 – Régimes de diffusion dépendante et indépendante
La deuxième est l’hypothèse de diffusion élastique, c’est-à-dire que lorsqu’un photon d’une certaine énergie entre en collision avec une particule, le photon diffusé possède la même éner- gie que celle du photon incident. Cette hypothèse est nécessaire afin d’établir l’ETR, elle est communément acceptée dans le cas des lits fluidisés.
La troisième hypothèse est celle de l’équilibre thermodynamique local. Cette hypothèse induit que l’état microscopique local de la matière peut être défini par une seule variable thermodynamique, à savoir la température. Cette thermalisation de la matière due aux effets collisionnels est vérifiée dans les applications visées. D’un point de vue radiatif, cette hypothèse a comme conséquence que les propriétés radiatives de tout élément géométrique sont indépen- dantes de son environnement.
ETR sous forme différentielle
Partant de l’équation de Boltzman, l’équation de transfert radiatif est établie dans sa forme différentielle [73]. L’ETR représente l’évolution de la luminance (cf. fig. 4.3) sur un trajet dx par : dLν(x,u) ds = ka,νL 0 ν(x) | {z } Emission du milieu +kd,ν 4π Z 4π Φ(u0,u)Lν(x,u0)dΩ | {z }
Gain par diffusion
− (ka,ν+ kd,ν)Lν(x,u)
| {z }
Pertes par absorption et diffusion
Figure 4.3 – Interaction du rayonnement avec la matière où s est l’abscisse curviligne.
Le terme temporel a été négligé car dans notre cas ce mode de transfert est considéré comme instantané au regard des temps caractéristiques des autres modes de transfert.
Conditions aux limites de l’ETR
La forme différentielle de l’ETR s’accompagne de conditions aux limites. En rayonnement, les conditions aux limites d’un problème sont toujours représentées par un élément de paroi localement plan, à une température donnée Tw et qui participe aux transferts radiatifs. La luminance sortante à la paroi est donnée par :
Lν(xw,u) = ν(xw)L0ν(xw) | {z } Partie émise + ρν(xw)Lν,incident(xw,u) | {z } Partie réfléchie (4.2)
où Lν,incident(xw,u) est la luminance incidente, ρν(xw) la réflectivité de la paroi et ν(xw) l’émissivité de la paroi. La réflectivité se définit comme :
ρν(xw) = 1 − ν(xw) (4.3) L’émissivité représente le rapport entre la luminance émise à la paroi et la luminance d’un corps noir à la température de la paroi. Dans notre étude, les matériaux sont considérés gris et l’émissivité est par conséquent constante sur tout le spectre. En général, la réflexion peut être diffuse ou spéculaire. Dans le cas de la réflexion spéculaire, la luminance incidente provenant de la direction u est réfléchie dans la direction u0, obtenue par les lois de Descartes.
La solution de l’ETR peut être intégrée sur le chemin optique entre les positions x0 et x connaissant la luminance incidente Lν(x0,u). Cette équation est la formulation intégrale de l’équation de transfert radiatif :
Lν(x, u) = Lν(x0,u)Tν(x0 →x) + Z x x0 L0ν(x0)∂Tν(x 0 →x) ∂x0 dx 0 (4.4) où Tν(x → x0) est la transmittance d’une épaisseur de milieu semi-transparent compris entrex et x0. La transmittance s’écrit comme :
Tν(l) = exp(−κνl) (4.5)
Formulation en puissances nettes échangées (PNE)
La formulation en Puissances Nettes Échangées est basée sur le principe de réciprocité. Une première approche date de 1967, introduite par Green [74] dans le domaine atmosphérique et par Hottel [75] dans le domaine des sciences de l’ingénieur. Elle a été appliquée et développée dans le cadre de la méthode de Monte Carlo dans de nombreux travaux [76, 77, 78, 79, 80, 81] entre les laboratoires LAPLACE et RAPSODEE. La formulation en PNE consiste à quantifier les échanges radiatifs nets en paires d’éléments i et j d’un système donné. Ainsi la PNE, ψ(i, j) entre 2 éléments i et j (éléments de paroi ou de volume) s’exprime comme la différence de la puissance radiative émise en i puis absorbé en j et de la puissance émise en j puis absorbée par i :
ψ(i, j) = φi→j− φj→i (W/m2) (4.6) Cette méthode a pour principal intérêt de calculer une carte des échanges radiatifs ce qui permet d’analyser la contribution de chaque échange net au bilan radiatif de chaque élément i du système : ξi = Ni X i=1 ψ(i, j) (4.7) où ξi est le bilan radiatif de l’élément i en W.m−2. Il est possible de comprendre la nature des échanges radiatifs pour déterminer ceux qui sont dominants dans le système et qui devront être calculés avec une précision plus importante. Elle a aussi pour intérêt de vérifier de manière intrinsèque le principe de réciprocité des chemins lumineux :