II.1 Présentation des méthodes utilisées
II.1.1 Méthode de Hartree-Fock-Bogoliubov
II.1.1.5 Interaction nucléaire effective de Gogny
ρ2´ ρ “ κκ‹, (II.1.1.56) ρκ “ κρ‹, (II.1.1.57) ρ: “ ρ, (II.1.1.58) κJ “ ´κ. (II.1.1.59) La base canonique de particules définie par la transformation D est donc celle qui diagonalise la matrice densité et met la matrice d’appariement dans sa forme canonique : ¯ V ¯U “ ¨ ˚ ˚ ˚ ˝ ¯ V0U0¯ 0 ¨ ¨ ¨ 0 0 V1¯ U1¯ . .. ... .. . . .. . .. 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 VM ´1¯ UM ´1¯ ˛ ‹ ‹ ‹ ‚ , (II.1.1.60) avec : ¯ ViUi¯ “ ˆ 0 uivi ´uivi 0 ˙ , (II.1.1.61) où M est le nombre d’indices i ą 0. La matrice densité généralisée, notée R, permet de regrouper la matrice densité à un corps et le tenseur d’appariement en une seule matrice. Elle est définie comme :
R ” ˆ
xΦ|ˆa:ˆa|Φy xΦ|ˆaˆa|Φy xΦ|ˆa:ˆa:|Φy xΦ|ˆaˆa:|Φy
˙ (II.1.1.62) R “ ˆ ρ κ ´κ‹ 1 ´ ρ‹ ˙ , (II.1.1.63)
et est diagonale dans la base de Bogoliubov :
W:RW “ˆ0 0 0 1
˙
. (II.1.1.64)
On en déduit que R est un projecteur hermitien (R2
“ R et R: “ R).
II.1.1.4 Résolution de l’équation HFB
Le hamiltonien nucléaire ˆH qui décrit le système de A “ N ` Z nucléons contient un terme cinétique ˆT à un corps et une série de termes ˆVpnq qui décrivent les interactions simultanées den nucléons entre eux :
ˆ
H “ ˆT ` ˆVp2q
` ˆVp3q` ¨ ¨ ¨ ` ˆVpAq. (II.1.1.65) Le terme cinétique ˆT décrit un système de A particules libres et a pour expression, en supposant l’égalité des masses des protons et des neutrons :
ˆ T ” A ÿ i“1 ˆti. (II.1.1.66) L’opérateur ˆti est défini comme :
ˆti ” ˆp 2 i 2M `vˆ 1 cdmi, (II.1.1.67) oùpiˆ est l’opérateur d’impulsion etˆv1
cdmiest l’opérateur de correction à un corps du centre de masse associés à la particulei. Le terme à deux corps décrit l’interaction entre chaque paire de particules :
ˆ Vp2q ” 1 2 A ÿ i‰j“1 ˆ vij, (II.1.1.68)
où l’opérateurvijˆ décrit l’interaction à deux corps entre la particulei et la particule j. Les termes décrivant les interactions à trois corps ou plus sont négligés dans ce travail. Le hamiltonien nucléaire ˆH se réécrit :
ˆ H “ A ÿ i“1 ˆti`1 2 A ÿ i‰j“1 ˆ vij, (II.1.1.69) et en seconde quantification : ˆ H ”ÿ ij
xi|ˆt|jyˆa:iˆaj` 1 4 ÿ ijkl xik|ˆvpaq |jlyˆa:iˆa :
où ˆt ” ˆt1. L’opérateur à deux corps vpaq représente l’interaction antisymétrisée entre deux nucléons :
ˆ vpaq
”v12p1 ´ ˆˆ PrPσˆ Pτˆ q, (II.1.1.71) où ˆPr, ˆPσ et ˆPτ sont respectivement les opérateurs d’échange d’espace, de spin et d’isospin. L’énergie totale associée à un état HFB |ΦHFBy, notée E pΦHFBq, est définie par :
EpΦHFBq ” xΦHFB| ˆH|ΦHFBy. (II.1.1.72) Par conséquent, en utilisant les relations (II.1.1.39), (II.1.1.40) et (II.1.1.43)– (II.1.1.45), puis en utilisant l’antisymétrie de ˆvpaq, l’expression de l’énergie to- tale (II.1.1.72) devient :
EpΦHFBq “ ÿ ij xi|ˆt|jyρji`1 2 ÿ ijkl
xik|ˆvpaq|jlyρjiρlk `1
4 ÿ ijkl
xik|ˆvpaq|jlyκkiκjl. (II.1.1.73)
On cherche à déterminer l’état HFB qui minimise E pΦHFBq. Pour cela, une ap- proche variationnelle est utilisée, qui consiste à résoudre :
δEpΦHFBq “0 et δ2EpΦHFBq ą0. (II.1.1.74)
Dans la pratique, seule la première équation est résolue (voir par exemple [42] pour une discussion sur la condition δ2EpΦHFBq ą 0). La minimisation s’effectue par rapport aux éléments de la matrice densité généralisée R définie en (II.1.1.62). Afin de préserver ou d’imposer certaines propriétés, la minimisation se fait en pratique sous contraintes par la méthode des multiplicateurs de Lagrange [43]. Voici les principales contraintes utilisées dans ce travail.
— L’état HFB n’a pas des nombres de protons ou de neutrons définis et leurs nombres moyens, N et Z, sont imposés :
trpρnq “ N (II.1.1.75) trpρpq “ Z, (II.1.1.76)
oùρn (ρp) est la matrice densité à un corps associée aux neutrons (protons). Ces contraintes permettent seulement de contraindre la valeur moyenne du nombre de protons et de neutrons. Pour aller plus loin, une projection sur le bon nombre de particules pourrait être envisagée, ce qui n’est pas fait dans ce travail.
— La transformation de Bogoliubov doit être unitaire pour que les opérateurs de création et d’annihilation de quasi-particule vérifient les relations d’an- ticommutation de fermions. Dans ce cas, R est un projecteur hermitien. L’hermicité de R est directement imposée dans son expression en fonction
deρ et κ. La matrice densité généralisée R doit cependant être une projec- tion hermitienne, ce qui correspond à la contrainte :
R2 “ R. (II.1.1.77)
— On peut vouloir imposer au système nucléaire de se déformer de façon à pré- senter des valeurs arbitraires pour certaines valeurs moyennes d’opérateurs multipolaires ˆQk. Les contraintes correspondantes sont alors :
xΦHFB| ˆQk|ΦHFBy “ qk. (II.1.1.78)
Par exemple, l’opérateur de centre de masse noté ˆQ10 est contraint dans tous les calculs à 0fm pour imposer au centre de masse du système d’être en moyenne situé à l’origine :
xΦHFB| ˆQ10|ΦHFBy “0fm, (II.1.1.79)
car l’état HFB est exprimé dans le repère intrinsèque et brise l’invariance par translation.
La fonctionnelle F pΦHFBq qui est finalement minimisée est :
F pΦHFBq ” E pΦHFBq ´ λnptrpρnq ´ N q ´ λpptrpρpq ´ Zq ´
ÿ k
µk´xΦHFB| ˆQk|ΦHFBy ´ qk¯´tr`ΛpR2 ´ Rq˘ , (II.1.1.80) oùλnetλpsont les paramètres de Lagrange associés respectivement aux contraintes sur les nombres de neutrons et de protons et s’interprètent comme les potentiels chimiques des neutrons et des protons ;Λ est une matrice carrée de paramètres de Lagrange associés à la contrainte d’unitarité de la transformation de Bogoliubov ; µ0 est le paramètre de Lagrange associé à la contrainte sur le centre de masse et les µk pour k ą 0 sont les paramètres de Lagrange associés aux contraintes additionnelles, en déformation dans notre cas.
L’équation de minimisation de F pΦHFBq s’écrit :
BF
BRpΦHFBq “0. (II.1.1.81) Le calcul de la dérivée de F pΦHFBq par rapport à la matrice densité ρ et au tenseur d’appariementκ permet d’exprimer (II.1.1.81) sous la forme :
BF
La matrice H est appelée le hamiltonien HFB. Elle est définie comme : H ”ˆh ´ λ ∆ ´∆‹ ´h‹ ` λ ˙ ´ÿ k µkˆQk 0 0 ´Q‹k ˙ . (II.1.1.83)
La matrice h représente le hamiltonien à un corps HF et s’écrit :
hij ” BE
Bρji “ pt ` Γ ` Γ rea
qij. (II.1.1.84)
La matricet de l’équation (II.1.1.84) correspond à la matrice de l’opérateur ˆt dans la base des ˆa:
i, Γ est la matrice de champ moyen et a pour expression : Γij ”ÿ
kl
xik|ˆvpaq|jlyρlk, (II.1.1.85)
et Γrea est un terme qui apparaît lorsque l’interaction entre les nucléons dépend explicitement de la densité du milieu :
Γrea ij ” 1 2 ÿ klmn Bxkl|ˆvpaq|mny Bρji ˆ ρmkρnl` 1 2κklκmn ˙ . (II.1.1.86)
La matrice ∆ correspond au champ d’appariement :
∆ij ” BE Bκji “ 1 2 ÿ kl
xij|ˆvpaq|klyκlk, (II.1.1.87)
et λ est une matrice diagonale :
λ ”ˆλn1 0 0 λp1
˙
, (II.1.1.88)
oùλnetλpsont déterminés de manière à ce que |ΦHFBy vérifie (II.1.1.75) et (II.1.1.76). Enfin, Qk est la matrice associée à l’opérateur ˆQk dans la représentation desˆa:i :
rQksij ” xi| ˆQk|jy. (II.1.1.89) Les équations (II.1.1.81) et (II.1.1.82) conduisent à la relation suivante :
H ´ ΛR ´ RΛ ` Λ “ 0. (II.1.1.90) Afin d’éliminer Λ, on multiplie chaque membre de cette équation à gauche puis à droite par R pour obtenir :
HR ´ ΛR2´ RΛR ` ΛR “ 0
(II.1.1.91) RH ´ RΛR ´ R2Λ ` RΛ “ 0. (II.1.1.92)
Si R est solution de l’équation (II.1.1.90), elle vérifie R2 “ R étant donné qu’il s’agit d’une contrainte. En soustrayant chaque membre de (II.1.1.91) à (II.1.1.92), on obtient l’équation HFB :
HR ´ RH “ 0, (II.1.1.93) qui se réécrit :
rH, Rs “0. (II.1.1.94) Le hamiltonien HFB H commute par conséquent avec la matrice densité généralisée R lorsque l’équation HFB est vérifiée.
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre l’équation (II.1.1.94), qui sont toutes itératives [31]. Cela est dû à la dépendence entre H et R.
Par exemple, une méthode permettant de résoudre l’équation (II.1.1.94) consiste à suivre l’algorithme suivant :
1. une densité généralisée initiale Rp0q est construite en supposant que les états de l’oscillateur harmonique de plus basse énergie sont complètement occupés et les autres états sont complètement vides ;
2. on détermine le hamiltonien HFB Hp0q associé à Rp0q en utilisant (II.1.1.83) et en ajustant les multiplicateurs de Lagrange λn, λp et µi de sorte que les contraintes associées soient vérifiées ;
3. le hamiltonien HFB Hp0q est diagonalisé pour obtenir la matrice de Bogoliu- bovWp0q qui est définie en (II.1.1.20) ;
4. la matrice densité à un corps ρp0q et le tenseur d’appariement κp0q sont dé- terminés à partir des relations (II.1.1.50) et (II.1.1.51) ;
5. la matrice densité généralisée Rp1q est construite à partir de ρp0q et κp0q en utilisant (II.1.1.62) ;
6. on revient en 2 jusqu’à ce que le critère de convergence suivant soit vérifié :
max |Rpn`1q
´ Rpnq| ă εHFB, (II.1.1.95)
où εHFB est un paramètre du calcul qui correspond à la précision requise. Dans notre travail, εHFBP t10´4, 10´6
u.
L’algorithme qui vient d’être présenté est directement utilisable dans le cas d’une base de particules orthonormale. Dans notre cas, la base d’oscillateur har- monique à deux centres utilisée n’est pas orthonormée. Une méthode de résolution modifiée, fondée sur l’algorithme qui vient d’être présenté, est adoptée [42]. Les bases d’oscillateur harmonique à deux centres sont présentées en II.2.1.1.
II.1.1.5 Interaction nucléaire effective de Gogny
Les interactions nues entre les nucléons ne peuvent pas être utilisées direc- tement dans une méthode HFB. En effet, les corrélations de courte portée qui interviennent dans l’interaction nucléaire nue, caractérisée par un cœur très répul- sif, sont incompatibles avec une description de type champ moyen. Une première possibilité pour pallier cette difficulté consiste à renormaliser l’interaction nue, par exemple avec la théorie de Brueckner [44]. Cependant, cette renormalisation est numériquement coûteuse. Une seconde possibilité consiste à utiliser une interac- tion effective phénoménologique dont les paramètres sont ajustés sur des données expérimentales.
Deux interactions nucléaires effectives phénoménologiques sont principalement utilisées au sein des approches de type champ moyen et au-delà :
— l’interaction de Skyrme [45, 31, 46], qui est de portée nulle,
— l’interaction de Gogny [7, 47, 48], dont le terme central indépendant de la densité est de portée finie, permettant de traiter sur un pied d’égalité champ moyen et appariement dans l’approche auto-cohérente HFB.
L’interaction qui est utilisée dans ce travail est celle de Gogny dans sa paramétri- sation D1S. Son expression est [7] :
ˆ vGognypr1, r2q ” 2 ÿ j“1 e´pr1´r2q2{µ2jpWj `BjPσ´HjPτ ´MjPσPτq (central) ` t0p1 ` x0Pσqδpr1´ r2qρα ´r 1` r2 2 ¯ (dép. de la densité) ` iWLSÐ∇Ý12δpr1´ r2q ˆÝÑ∇12¨ p~σ1` ~σ2q. (spin-orbite) (II.1.1.96) On distingue le terme central de portée finie qui contient une première gaus- sienne attractive et une seconde répulsive, le terme dépendant de la densité qui simule les effets à trois et N -corps, et le terme spin-orbite. Les 14 paramètres de cette interaction sont Wi, Bi, Hi, Mi et µi pour chaque portée i “ 1, 2 et les t0, x0, WLS et α. Les valeurs de ces paramètres pour la force D1S sont données dans les tableaux II.1 et II.2.
j µi(fm) Wi(MeV) Bi(MeV) Hi(MeV) Mi(MeV) 1 0.7 -1720.30 1300.00 -1815.53 1397.60 2 1.2 103.639 -163.483 162.812 -223.933
Table II.1 – Valeur des paramètres de la partie centrale de l’interaction de Gogny D1S.
t0(MeV.fm3) x0 α(MeV) WLS(MeV) 1390.60 1.0 1/3 -130.00
Table II.2 – Valeur des paramètres des termes densité et spin-orbite de l’interac- tion de Gogny D1S.