Instant de génération de f i

f irst

Instant de génération de f

Smax

^L

Smax

Figure 5.2  Calcul itératif de Smaxh i

Comme les les d'attentes des n÷uds servent les trames en FIFO (First In, First Out), la trame f_i ne peut pas se faire retarder par des trames arrivées après elle sur h. Par conséquent, le délai local subi sur ce dernier est composé de :

− Bklgh

i : l'arriéré de travail maximal (ou pire cas) présent dans la le d'attente de h à l'arrivée de fi (cf. Dénition 12) ;

− C_i : la durée de transmission de la trame fi elle même. Dénition 12. Arriéré de travail

n÷ud à l'arrivée de la trame sous analyse. Nous dénotons Bklgh

i, l'arriéré de travail pire cas présent dans la le d'attente du n÷ud h à l'arrivée d'une trame fi générée par le ux vi. L'expression de Smaxh+1

i se dénit alors de la façon suivante :

Smax^h+1_i = Smax^h_i + Bklg_i^h+ Ci+ L (5.1)

Finalement, le pire délai de bout en bout, Ri, d'un ux vi peut être exprimé comme égal à la durée maximale Smaxlasti

i eectuée par sa trame fi pour arriver sur le dernier n÷ud lasti, plus l'arriéré de travail Bklglasti

i rencontré sur ce n÷ud, plus sa durée de transmission Ci : Ri = Smax^lasti

i + Bklg^lasti

i + Ci (5.2)

Pour calculer Ri, le problème principal est de calculer Bklgh

i pour chaque ux vi du réseau et pour chaque n÷ud h traversé. En eet, le scénario pire cas conduisant à l'obtention de l'arriéré de travail maximal Bklgh

i dans la le d'attente d'un n÷ud h à l'arrivée de fi est dicile à caractériser. Nous consacrons le paragraphe 5.3.2 suivant à la caractérisation de ce scénario pire cas. Dans le paragraphe 5.3.3, nous introduisons les notions de fonction cumulative et de request bound function qui vont nous permettre de déduire au paragraphe 5.3.4 une formule pour le Bklgh

i. Dans le paragraphe 5.3.5, une borne supérieure des intervalles à tester an de déterminer l'arriéré de travail pire cas est établie. Finalement, dans les paragraphes 5.3.6 et 5.3.7 respectivement, nous résumons les formules de la méthode et proposons un algorithme permettant de l'implémenter.

5.3.2 Scénario pire cas pour la détermination de l'arriéré maximal

L'arriéré de travail maximal, Bklgh

i, est calculé pour chaque n÷ud h traversé par la trame fi étudiée, générée par le ux vi. Dans la suite, nous nous focalisons sur la trame fi sur un n÷ud h pour dénir l'arriéré maximal Bklgh

i présent à son arrivée.

Le délai local subi par une trame pour traverser un n÷ud dépend des trames en attente à son arrivée. Ainsi, le temps pris par la trame fi entre sa génération sur son n÷ud source rsti jus-qu'à son arrivée sur h peut subir d'importantes variations. L'arriéré de travail retardant fi est déterminé dans un intervalle de temps entre l'instant d'arrivée minimum, Sminh

i, de fi et son instant d'arrivée maximal, Smaxh

i. Le terme Sminh

i introduit par la dénition 7 du chapitre 3 page 55, se calcule par la formule (3.13) page 61.

Nous dénissons à présent l'arriéré de travail maximal généré par un ux vj sur un n÷ud h dans un intervalle de temps [a, b] (avec a ≤ b).

5.3. ANALYSE DU DÉLAI DE BOUT EN BOUT Théorème 5. Lorsque la politique de service est FIFO dans la le d'attente, alors le pire arriéré de travail généré par un ux vj sur un n÷ud h pendant un intervalle de temps [a, b] advient lorsque :

(i) les trames de vj sont générées strictement périodiquement sur leur n÷ud source rstj; (ii) une trame fj de vj arrive sur h à la n de l'intervalle. C'est-à-dire, à l'instant b ; (iii) la trame fj arrive sur h en ayant eectuée sa durée minimale Sminh

j, et toutes les autres trames de vj générées avant fj eectuent leur durée maximale Smaxh

j pour atteindre h sans dépasser b.

Démonstration. Pour déterminer l'arriéré de travail pire cas, nous devons considérer le cas où les ux génèrent un nombre maximum de trames. Cette considération est atteinte lorsque les trames de vj sont générées sur rstj avec leur intervalle d'inter-génération minimal. C'est-à-dire que vj génère une trame exactement après chaque Tj unités de temps sur rstj, ce qui prouve l'item (i) du théorème.

Pour dénir une contribution maximale dans un intervalle [a, b], les trames du ux vj géné-rées plus tôt doivent être retardées au maximum pour pouvoir d'arriver dans cet intervalle. Pour prouver l'item (ii), nous raisonnons par l'absurde : si la dernière trame fj générée par v_j, arrive avant b, alors il est toujours possible de construire un scénario pire cas en retardant cet instant pour qu'elle arrive plus proche de b. Par conséquent, pour déterminer l'arriéré de travail maximal, la dernière trame fj dans l'intervalle [a, b] doit exactement arriver à l'instant b. Supposons que chaque trame générée par vj subit un délai d, tel que Sminh

j ≤ d ≤ Smaxh

j, pour arriver sur h. Pour prouver l'item (iii), nous remarquons que :

− Si fj arrive sur h en eectuant une durée supérieure à Sminh

j, alors l'écart de temps entre les arrivées des deux dernières trames générées par vj (fj et la trame qui la précède directement) sera plus grande que lorsqu'on considère le cas où fj arrive sur h en ayant eectuée Sminh

j. Par conséquent, l'arriéré de travail n'est pas maximisé dans cette condition et ne conduit pas au pire cas.

− De manière similaire, toutes les trames générées avant fj doivent subir leur pire durée pour arriver sur h. Par exemple, considérons un scénario où la trame précédant directement fj eectue une durée d < Smaxh

j sans pouvoir rattraper fj. Tout scénario dans lequel cette trame eectue une durée plus grande que d est pire que le scénario précédent, car l'écart de temps entre cette trame et fj n'est pas minimal (voir gure 5.3).

Dans la suite, nous dénotons par fj,1 la trame générée par vj et précédant fj, mais n'arrivant pas simultanément avec fj sur h. Sachant que fj,1 eectue sa durée maximale Smaxh

j pour

arriver sur h et que les trames qui la précèdent ne peuvent pas eectuer une durée plus grande

que Smaxh

j, nous déduisons que la pire contribution de vj dans l'intervalle [a, b] survient lorsque les trames précédant fj,1 arrivent périodiquement sur h.

f irst

Smax

Smax

_d Smax