Analyse des sources de l'optimisme

5 4⁰ 4 S2 a^S2 40= a^S2 7 a^S2 4 5 7 40 4 S₃₁ a^S31 40 a^S31 30 a^S31 1 = a^S31 2 = a^S31 3 = a^S31 4 40 30 4 3 2 1

Figure 4.5  Pire délai de bout en bout de la trame 1 à la date t = 40 µs

4.2.3 Analyse des sources de l'optimisme

L'optimisme apparu dans le calcul de la borne supérieure du pire délai de bout en bout du ux v₁, provient de deux problèmes. An de mieux les présenter, nous divisons cette section en trois paragraphes. Dans les paragraphes 4.2.3.a et 4.2.3.b, nous analysons séparément, la première et la deuxième source d'optimisme de la méthode des trajectoires. Et enn dans le paragraphe 4.2.3.c, nous réalisons une synthèse combinant les deux problèmes pour cerner l'optimisme de la méthode.

4.2.3.a Le problème de l'intervalle d'estimation

Pour chaque n÷ud h traversé par un ux vi étudié, la méthode des trajectoires calcule un

intervalle d'estimation déni dans [MM06a] par Mh

i ; t + Smax^h_i^. Avec, Mh

i =Ph−1

k=rsti

min_vj∈Γ_k{C_j} + L

, où Γk représente l'ensemble des ux traversant le n÷ud k. Cet intervalle permet de comptabiliser sur h, l'interférence maximale subie par une trame i de vi, due aux ux concurrents nouvellement croisés vj (c'est-à-dire, h = rsti,j).

La borne t+Smaxh

i représente l'instant d'arrivée pire cas sur h de la trame i étudiée, générée à l'instant t sur son n÷ud source. Toute trame arrivant sur h après cette borne ne pourra plus retarder i sur les n÷uds suivants, car la politique de service est FIFO dans les n÷uds du réseau.

Mh

i est dénie comme la borne inférieure de l'instant à partir duquel, toute trame arrivant sur h retarde la trame i étudiée. Mais, cette borne ne dépend ni de l'instant t de génération de la trame étudiée, ni des instants de génération des trames des autres ux concurrents vj sur le n÷ud h. Il est possible de dénir des exemples où une trame arrivant avant Mh

i interfère quand même avec le ux analysé. Nous présentons un exemple ci-dessous.

Considérons le contre exemple de la gure 4.2 précédent avec le calcul du pire délai de la trame 1 de v1 générée à l'instant t = 0 µs (cf. paragraphe 4.2.2.b page 81) :

L'intervalle d'estimation MS31

1 ; t + Smax^S31

1 

calculé sur le n÷ud S31, est réduit à un instant égal à [40; 40] = {40 µs}. Car MS31

1 = Smax^S31

1 = 40 µs. Avec cet intervalle singleton, la mé-thode des trajectoires comptabilise une seule trame des ux concurrents v2, v3 et v4, comme l'illustre les calculs présentés dans le paragraphe 4.2.2.b de ce chapitre. Mais, cette compta-bilisation n'est pas correcte. Car en observant le scénario de la gure 4.4, nous remarquons que les trames additionnelles 30 et 40 respectivement des ux v3 et v4, sont oubliées dans le calcul alors qu'elles aectent le délai de la trame 1 étudiée. En eet sur ce scénario, la période d'activité bpS31 interférant le délai de la trame 1 sur S31, débute à la date 0 µs avec l'arrivée de la trame 40. Or par calcul, la méthode des trajectoires considère que cette date advient à l'instant MS31

1 = 40 µs. Ce problème provoque la non prise en compte des trames 30 et 40 par l'intervalle d'estimation et cause ainsi l'optimisme sur le délai calculé pour t = 0 µs.

L'amplitude de l'intervalle d'estimation est liée à l'instant t de génération de la trame étudiée. Ainsi, quand t grandit, l'intervalle grandit aussi. Le problème de l'intervalle d'estimation se résout alors pour des valeurs de t susamment grandes. C'est justement ce qui advient dès l'instant t = 40 µs où les trames 30 et 40 sont nalement comptabilisées (voir gure 4.5). En conséquence, pour chaque ux vi à analyser, il existe forcément une valeur t1 dénotant l'instant à partir duquel sur tout n÷ud h et pour tout t ≥ 1, l'intervalle Mh

i ; t + Smaxh i



est susam-ment grand pour ne pas sous-estimer l'interférence des autres ux.

Ce problème ne peut donc pas à lui seul introduire de l'optimisme dans la méthode des trajec-toires. Car pour tout t ≥ t1, l'interférence calculée est correcte. En eet, la borne supérieure sur le pire délai de bout en bout de tout ux vi, correspond au maximum des t ≥ 0 (cf. formule 3.10). Ce qui permet d'obtenir une borne nale correcte.

Nous résumons l'analyse décrite ci-dessus par la gure 4.6.

4.2.3.b Le problème de l'instant de départ au plus tard : Wlasti

i (t)

A partir de l'instant t de génération de la trame i étudiée, la méthode des trajectoires calcule l'instant de départ au plus tard Wlasti

4.2. ANALYSE DU PROBLÈME D'OPTIMISME EN CONTEXTE DISTRIBUÉ

Figure 4.6  Analyse de l'optimisme due à l'intervalle d'estimation

du dernier n÷ud et remonte jusqu'au premier (c'est le principe de backtracking). Sur chaque n÷ud, elle construit la plus longue période d'activité qui retarde i. Notons que i n'appartient pas forcément à ces périodes, sauf sur lasti. Ces périodes d'activité recouvrent un intervalle de temps compris entre 0 µs (début de la période d'activité concernée sur le n÷ud source) et l'ins-tant de démarrage de la transmission de i sur le dernier n÷ud (Wlasti

i (t)). Mais, pour des grandes valeurs de t, il n'est pas possible de construire des périodes d'activité recouvrant l'intervalle 0; Wlasti

i (t)^. Il se forme des trous (temps creux) non pris en compte dans le calcul de Wlasti

i (t).

Considérons la conguration de la gure 4.7. Elle est composée uniquement d'un ux v1 traver-sant deux n÷uds N1 et N2. Les paramètres de v1 sont tels que C1 = 10 µs et T1 = 100 µs. Sur cet exemple, nous considérons la latence sur le lien physique entre N1 et N2 égal à L = 16 µs.

Figure 4.7  Conguration illustrant l'optimisme de Wlasti

i (t)

Le ux v1 étant seul dans le réseau, le calcul de son instant de départ WN2

1 (t)sur N2 est plutôt simple. Nous avons par dénition SminN1

1 = Smax^N1

1 = M^N1

1 = 0 µs, et donc A1,1 = 0 µs. D'où, l'instant de départ sur N2 de toute trame 1 de v1 générée à une date t sur N1, est calculé par :

W^N2 1 (t) =  1 + t + A_1,1 20  C₁+ max vj∈Γ_N1{C_j} + (|P₁| − 1) L − C₁− ∆N2 1 (t) =  1 +  t 100  10 + 16

En eet, nous avons maxvj∈Γ_N1{C_j} = C₁ = 10 µs, |P1| = 2, L = 16 µs et ∆N2

1 (t) = 0 µs. Le pire scénario de traversée de la trame 1 générée à t = 0 µs est illustré à la gure 4.8.a. De même, le pire scénario de la trame 1 générée à la date t = 10 µs est illustré gure 4.8.b.

Figure 4.8  Scénario illustrant l'optimisme de Wlasti

i (t)

L'application de la formule précédente de l'instant de départ au plus tard de la trame 1, dans les deux scénarios nous donne :

W^N2

1 (0) = W^N2

1 (10) = 10 + 16 = 26 µs

Sur la gure 4.8.a, nous observons qu'il est possible de construire des périodes d'activité permet-tant de relier l'inspermet-tant de départ au plus tard 26 µs sur N2, à l'instant 0 µs sur N1 (c'est-à-dire, l'intervalle [0; 26 µs]) : c'est la période d'activité sur N1 plus la latence L = 16 µs entre les deux n÷uds.

Par contre, comme illustré par la gure 4.8.b, il est impossible de relier aux travers de périodes d'activité, l'instant de départ au plus tard 36 µs sur N2 à l'instant 0 µs sur N1 (c'est-à-dire, l'intervalle [0; 36 µs]). En partant de l'instant 36 µs sur N2, puis en remontant de L = 16 µs la latence due au lien physique entre les n÷uds, ainsi que de la période d'activité sur N1, l'inter-valle pouvant être couvert est [10; 36 µs]. Ce qui est contradictoire avec la dénition même du principe de la méthode des trajectoires décrit ci-dessus. Par conséquent, nous déduisons que l'instant de départ WN2

1 (10) = 26 µs calculé à la date t = 10 µs est erroné. Car, il sous-évalue sa valeur réelle qui est de 36 µs comme observé sur la gure 4.8.b.

Le problème lié à l'instant de départ Wlasti

i (t) provient de l'origine du temps. En eet, la mé-thode dénit l'origine du temps pour le calcul du délai d'une trame i étudiée, comme étant l'instant arsti

i d'arrivée de la première trame l'interférant dans la période d'activité bprsti

de son n÷ud source (cf. chapitre 3, paragraphe 3.4.1.a page 50). Mais, avec l'exemple de la gure 4.8.b, nous remarquons qu'il est impossible de vérier cette assertion pour des dates de génération t > 0 µs. Pour l'exemple gure 4.8.b, dès que t > 0 µs, alors aN1

1 6= 0. Ceci s'expli-quant par le fait que la trame 1 est seule sur le réseau et sa période T1 = 100 µs est trop large pour pouvoir engendrer des périodes d'activité supérieures à C1 = 10 µs.

Par ailleurs, cette erreur démontrée dans le calcul de l'instant de départ au plus tard Wlasti

i (t),

peut avoir des conséquences plus profondes. En eet, il peut provoquer l'obtention de l'inéqua-tion Wlasti

4.2. ANALYSE DU PROBLÈME D'OPTIMISME EN CONTEXTE DISTRIBUÉ