Le ph´enom`ene de flapping est similaire physiquement au probl`eme de propulsion par d´eformation d’un solide, comme celle observ´ee pour la nage des poissons. Lighthill 1969 [48] a montr´e en particulier que la propulsion avait lieu lorsque le mouvement de la structure propulsive ´etait plus rapide que celui du fluide environnant. Cette remarque peut ´egalement ˆetre transpos´ee pour le cas d’un drapeau ou d’un fluide entrain´e par un courant gaz : il est tr`es probable que les perturbations de formes du drapeau ou du fluide soient moins rapides que l’´ecoulement gaz environnant. Le probl`eme serait ainsi li´e `a un probl`eme de train´ee produite par les excursions transverses du mat´eriau ou fluide sujet au flapping et serait ainsi non lin´eaire.
1.1.3.1 Conclusion sur le battement de structures de type drapeau
Le flapping de drapeau semble ˆetre diff´erent du flapping de jets ou nappes liquides, la diversit´e des modes observ´es en drapeau n’´etant pas observ´es pour les nappes ni les jets. La rigidit´e du mat´eriau et l’extensibilit´e du drapeau dans la direction de l’´ecoulement, qui jouent un rˆole dans le flapping de drapeau, ne sont pas transposables au fluide. De plus, le liquide de la nappe et du jet est convect´e, ce qui n’est pas le cas du drapeau o`u seule l’onde de d´eformation l’est. Le flapping de drapeau pr´esente un comportement ondulatoire, de part la pr´esence de modes. Le flapping de nappe ou de jet n’est peut-ˆetre pas ondulatoire comme dans le cas solide. Cette derni`ere hypoth`ese est explor´ee dans ce manuscrit. N´eanmoins, la fr´equence de battement augmente lin´eairement avec la vitesse gaz, ce qui est observ´e pour les nappes et les jets. Une hyst´er´esis sur l’amplitude de flapping n’a pas non plus ´et´e mentionn´ee pour le flapping de nappes liquides.
Afin de clarifier les m´ecanismes sous-jacents au battement lat´eral des jets et de la mˆeme mani`ere que ce qui a ´et´e fait sur les nappes et les drapeaux, une description des instabilit´es hydrodynamiques par une analyse de stabilit´e lin´eaire de l’´ecoulement ´etudi´e est maintenant propos´ee.
1.2 Instabilit´es hydrodynamiques
La premi`ere description de la brisure d’un jet libre tombant sous l’effet de la gravit´e sans assistance gaz a ´et´e r´ealis´ee par Rayleigh. La brisure est provoqu´ee par la force de tension de surface, le jet de forme cylindrique ´etant en ´equilibre instable vis-`a-vis de cette derni`ere force. Une instabilit´e convective amplifie alors les perturbations du rayon du jet et conduit `a la brisure du jet par affinements p´eriodiques dans l’espace. La taille des gouttes form´ees par ce m´ecanisme est de 1,89 fois le diam`etre du jet.
Lorsque la brisure du jet est assist´ee par un courant gaz coaxial, le jet liquide est soumis `a une cascade d’instabilit´es hydrodynamiques. La premi`ere `a apparaˆıtre est l’instabilit´e de cisaillement. Il est possible de la caract´eriser, de mesurer son taux de croissance spatial ainsi que sa fr´equence temporelle. L’analyse de la stabilit´e d’un ´ecoulement monophasique cisaill´e a ´et´e r´ealis´e par Kelvin en 1871. Le cas diphasique a ´et´e trait´e par Chandrasekhar 1981 [13] et Drazin 1970 [21].
Une analyse de stabilit´e temporelle a ´et´e effectu´ee par Raynal [75] et Marmottant et Villermaux [57] avec un profil de vitesse de classe lin´eaire par morceaux montr´e en figure 1.16 , pour une instabilit´e de type convective seulement.
32 CHAPITRE 1. CONTEXTE ET ´ETAT DE L’ART
Figure1.16 – Profil de vitesse de base utilis´e pour l’analyse de stabilit´e lin´eaire de Raynal 1997 [75].
L’´epaisseur de vorticit´ed2 ou not´eδG dans notre ´etude s’exprime sur un profil de vitesse r´eel par l’expression suivante : δG ∆U dU dy max (1.9) O`u ∆U est le diff´erentiel de vitesse maximal pour la phase gaz.
Ces ´etudes ont permis de montrer que l’instabilit´e de cisaillement, pour leur g´eom´etrie d’´etude et pour une configuration d’eau liquide atomis´ee par de l’air, ´etait pilot´ee par un m´ecanisme inviscide et que la pulsationω et le nombre d’ondek´etaient reli´es `a l’´epaisseur de vorticit´e gaz, `a la vitesse gaz et au rapport des masses volumiques des fluides impliqu´es. Ainsi, pour une g´eom´etrie plane, nous avons pour le mode le plus amplifi´e (Raynal 1997 [75]) :
k ρG ρL 1{2 1 δω (1.10) ω ρG ρL Uc δω (1.11)
De main`ere ph´enom´enologique, la vitesse de phaseUcest donn´ee par l’expression suivante (Dimotakis 1986 [20]) Uc dω dk ?ρ LUL ?ρ GUG ? ρL ? ρG (1.12) Une expression de la vitesse de phase `a partir des analyses de stabilit´e lin´eaire est possible mais reste d´ependante de l’analyse effectu´ee. Des expressions de ces grandeurs d´eriv´ees de l’analyse de stabilit´e sont disponibles dans l’´etude de Matas et al 2011 [63].
Ces lois d’´echelles donnent des tendances qui sont observ´ees exp´erimentalement mais ne permettent pas de pr´edire la fr´equence ou le taux de croissance mieux qu’`a un facteur 2 ou 3 pr`es. Cette ana-lyse, bien que pr´ecisant correctement la d´ependance de l’instabilit´e aux diff´erents param`etres, est incompl`ete.
De plus, la validit´e de cette approche est cantonn´ee `a la zone de croissance lin´eaire de l’instabilit´e, o`u l’hypoth`ese d’´ecoulements gaz et liquide parall`eles est v´erifi´ee. La th`ese de Ben Rayana 2007 [7] regarde ce point en particulier. La croissance des perturbations s´electionn´ees par l’instabilit´e de cisaillement devient tr`es rapidement non-lin´eaire, sur une distance `a l’aval de l’injecteur de l’ordre
1.2. INSTABILIT ´ES HYDRODYNAMIQUES 33 d’une longueur d’onde de l’instabilit´e de cisaillement. Les analyses de stabilit´e lin´eaire sont donc valables sur l’´etendue de la zone de croissance o`u le m´ecanisme est lin´eaire seulement.
1.2.1 Modes de l’instabilit´e de cisaillement
Comme montr´e par Batchelor et Gill 1962 [6], des modes non axisym´etriques peuvent ˆetre amplifi´es pour un jet coaxial monophasique inviscide. La perturbation est alors de la forme suivante :
einθ ipkxωtq (1.13)
Les modes axisym´etriques sont donc les modes pour lesquels n est ´egal `a 0, et les modes spiraux sont les modes pour lesquels n est ´egal `a 1 ou -1. Le mode n=2 poss`edent ´egalement une sym´etrie plane sans ˆetre axisym´etrique, ce qui pourrait correspondre `a la topologie du flapping.
Une analyse de stabilit´e lin´eaire spatiale inviscide a ´et´e r´ealis´ee dans la configuration coaxiale pour les modes n 1 et n 1 par Matas et Cartellier 2013 [65]. Plus particuli`erement, ils ont montr´e que le taux de croissance du moden1 pouvait ˆetre sup´erieur `a celui du moden0. Ce qui semble piloter la diff´erence de taux de croissance entre les deux modes est le rapport du rayon du jet et de la longueur d’onde de l’instabilit´e de cisaillement. Ainsi, pour un rapport d’approximativement 0,15, le mode n 1 est plus amplifi´e que le mode n 0. Lorsque le mode n 1 est le plus amplifi´e, la fr´equence pr´edite du mode n 1 est ´egalement plus petite que celle du mode n 0. Le m´ecanisme pilotant l’instabilit´e de cisaillement ´etant inviscide, la d´emarche de calcul est correcte moyennant une adaptation de l’´epaisseur de la couche de vorticit´e par rapport aux exp´eriences, ce dernier param`etre pilotant la longueur d’onde de l’instabilit´e. Nous rappelons que le calcul spatial inviscide ne donne pas la bonne longueur d’onde ni la bonne fr´equence pour les conditions r´eelles d’atomisation. La d´ependance de la pr´esence du flapping au rapport R{λn’a pas ´et´e confirm´ee exp´erimentalement.
Une analyse de stabilit´e lin´eaire spatiale visqueuse pour diff´erents modes n’a pas ´et´e r´ealis´ee sur l’´ecoulement du type de notre injecteur coaxial.
1.2.2 Zone de croissance exponentielle de physique lin´eaire
Ceci dit, afin d’am´eliorer les premi`eres analyses de base r´ealis´ees, diverses contributions ult´erieures ont montr´e d’une part le rˆole du d´eficit de vitesse `a l’interface liquide gaz et ainsi la d´ependance indirecte du ph´enom`ene `a une couche limite liquide (Matas et al 2011 [63]). La prise en compte du d´eficit de vitesse am´eliore la pr´ediction mais sous-estime dans le pire des cas la fr´equence de 50% et ne donne pas une estimation correcte du taux de croissance, pour une mod´elisation du probl`eme inviscide. L’inclusion de la viscosit´e et de profils de vitesse en fonction erreur dans la configuration ´etudi´ee par Marmottant et Villermaux [57] par Boeck et Zaleski en 2005 [8] a permis la pr´ediction d’un mode visqueux convectif avec le bon taux de croissance, mais `a une fr´equence bien plus ´elev´ee que les fr´equences exp´erimentales. La mesure du taux de croissance de l’´etude de Marmottant et Villermaux [57] est cependant situ´ee hors de la zone de croissance `a m´ecanisme lin´eaire, ce qui ne caract´erise donc pas ce qui est pr´edit par l’analyse de stabilit´e.
Afin de pr´edire `a la fois le taux de croissance et la fr´equence et de lever le paradoxe qu’une analyse de stabilit´e simplifi´ee sans prise en compte de la viscosit´e serait meilleure qu’avec, Otto et al 2013 [70] et Fuster et al 2013 [29] ont r´ealis´e une analyse de stabilit´e spatio-temporelle incluant la viscosit´e et le d´eficit de vitesse, mais pour une nappe liquide et gaz semi-infinie. Ils ont montr´e qu’une instabilit´e absolue ´etait pr´esente pour une partie des donn´ees de Matas et al 2011 [63]. Ces auteurs ont ´egalement r´ealis´e un bilan ´energ´etique analysant la contribution des m´ecanismes responsables de l’instabilit´e. Grˆace `a ce bilan ´energ´etique, ils ont pu montrer l’´evolution des m´ecanismes physiques `a l’origine de l’instabilit´e avec les param`etres de contrˆole et le d´eficit de vitesse.
Ce travail pose de nouvelles questions : pourquoi l’accord ne fonctionne pas pour tous les points de mesures, et pourquoi le m´ecanisme qui prenant en compte la viscosit´e est-il meilleur alors qu’il a ´et´e montr´e que l’instabilit´e ´etait pilot´ee par un m´ecanisme inviscide ?
34 CHAPITRE 1. CONTEXTE ET ´ETAT DE L’ART Matas [61] a propos´e une analyse de stabilit´e lin´eaire visqueuse spatio-temporelle avec d´eficit de vitesse `a l’interface pour la configuration d’atomisation plane avec prefilming et une ´epaisseur gaz et liquide finie et de mˆeme taille que l’exp´erience. Un accord correct de la pr´ediction et des mesures exp´erimentales de la longueur d’onde et de la fr´equence a pu ˆetre obtenu, l’interpr´etation du taux d’amplification spatial pour une instabilit´e absolue ´etant d´elicate. L’instabilit´e absolue provient d’un m´ecanisme de r´esonnance entre au minimum deux m´ecanismes transportant de l’´energie. Otto [70] parlait d’un m´ecanisme visqueux en r´esonnance avec un m´ecanisme li´e `a la tension de surface. Matas [61] explicite un m´ecanisme visqueux r´esonnant avec un m´ecanisme de confinement, qui est inviscide. Dans le cas plan, le r´egime est inviscide par le fait que l’instabilit´e est absolue et plus d´ependant du m´ecanisme de confinement que d’un m´ecanisme visqueux. Plus pr´ecis´ement, le pincement des branches de confinement et visqueuse se produit `a un nombre d’onde petit et donc `a longueur d’onde grande. Un bilan d’´energie montre que pour ces grandes longueurs d’onde, le mode de l’instabilit´e est principalement aliment´e par les contraintes de Reynolds alors que le travail des contraintes visqueuses est pr´epond´erant pour des longueurs d’ondes plus petites. Le paradoxe initi´e par la validit´e du scaling inviscide propos´e par Raynal [75] est ainsi lev´e.
Un effet de la turbulence gaz a ´egalement ´et´e observ´e et expliqu´e par Matas et al 2015 [64]. Il a ´et´e observ´e que l’augmentation de la turbulence gaz moyenne dans le gaz sans modification du profil de vitesse de base conduit `a augmenter la fr´equence de l’instabilit´e de cisaillement. L’effet s’explique par le fait que la turbulence a un effet ´equivalent `a une augmentation de la viscosit´e gaz, ´egalement proche de l’interface. L’augmentation du taux de turbulence proche de l’interface liquide conduit en effet `a une augmentation de la fr´equence de l’instabilit´e, par une augmentation de la valeur des contraintes de Reynolds, qui pilotent l’instabilit´e.
L’effet de l’´epaisseur de la l`evre s´eparant le liquide du gaz `a la sortie de l’injecteur a ´et´e ´etudi´ee par Ben Rayana [7] sur une configuration d’atomisation plane avec prefilming. Il n’y a pas d’effet de l’´epaisseur de la l`evre s´eparatrice lorsque celle-ci reste inf´erieure `a 1,5 fois l’´epaisseur de vorticit´e gaz. Au-dessus, la fr´equence de l’instabilit´e de cisaillement est diminu´ee par le fait que le cisaillement impos´e au liquide est diminu´e.
Les param`etres `a prendre en compte pour pr´edire correctement la fr´equence de l’instabilit´e de cisaillement sont donc les suivants :
— la g´eom´etrie de l’injecteur
— les profils de vitesse de chaque phase
— le profil de taux de turbulence au moins du cˆot´e gaz — les masses volumiques gaz et liquide
— les viscosit´es liquide et gaz — l’´epaisseur de la l`evre s´eparatrice
Nous rappelons que ces ´el´ements ne permettent de donner une pr´ediction valide de l’instabilit´e que dans la zone de croissance lin´eaire o`u sont respect´ees les hypoth`eses d’´ecoulements parall`eles et d’invariance des profils `a la distance aval `a l’injecteur. Lorsque ces hypoth`eses ne sont plus v´erifi´ees, le taux de croissance spatial de l’instabilit´e devient lin´eaire dans l’espace, suite `a des m´ecanismes non-lin´eaires.
1.2.3 Zone de croissance non-lin´eaire
La fr´equence de l’instabilit´e de cisaillement ne semble pas ´evoluer spatialement, y compris dans cette zone de croissance lin´eaire Fuster et al 2013 [29]. Le taux de croissance spatial est quant `a lui affect´e, c’est d’ailleurs le crit`ere retenu pour diff´erencier les diff´erents zones.
Hoepffner et al 2011[35] a simul´e la croissance non lin´eaire d’une perturbation sym´etrique par rapport `a l’interface, pour des rapports de densit´e ρL{ρG de 1 jusqu’`a 100. Ils ont observ´e une auto-similarit´e des vagues au cours de leur d´eveloppement dans le temps. Leur amplitude augmente lin´eairement dans le temps (hauteur de vague9aρG{ρLUt) et la vitesse de phase est trouv´ee proche de la vitesse de Dimotakis [20]. La forme de la vague est de moins en moins conserv´ee dans le temps lorsque le rapport de densit´eρL{ρGest augment´e, en particulier la crˆete de vague est d´esolidaris´ee du
1.3. STRUCTURE DU JET 35