Instabilité du mode de flexion (n = 0) avec Λ = −1 avec le modèle

Le cas spécifique de l’instabilité du mode de flexion avec Λ = −1 correspond à l’instabilité d’onde longue de Crow. Pour avoir instabilité, un taux de croissance (α) positif est requis. Après analyse des vecteurs propres obtenus à partir du système d’équations (5.17), le pre- mier mode représente un mode symétrique alors que le second est antisymétrique. Dans le cas actuel, la distance du cutoff déterminée pour étudier le même cas que Crow (1970) est δ/β = 0.0632. Cette valeur est obtenue en calibrant à l’aide de la méthode du cutoff le mo- dèle d’auto-induction tel que détaillé à la section 1.1 de l’annexe VI. En raison de la valeur deδ/β, l’instabilité du mode de flexion est seulement possible pour le mode symétrique alors

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qu’une instabilité d’onde courte est possible tant pour le mode symétrique que pour le mode antisymétrique. La figure 5.7 permet de visualiser les taux de croissance pour l’onde longue (α∗ = 0.827) et l’onde courte (α∗ = 1.00) telle que suivant l’approximation de Crow. Ce- pendant, seule l’instabilité d’onde longue est physique, car l’onde courte représente un mode parasite généré par la méthode du cutoff. En effet, cette méthode permet uniquement de bien modéliser les effets d’auto-induction qu’avec les nombres d’onde faibles soit ka 1. Il suffit de se rapporter à la figure 5.6 pour identifier une région où le modèle de l’auto-induction de Crow prédit faussement une auto-induction nulleω/Φ = 0 à ka = 1.65. Cela se traduit par un diagramme de stabilité erroné dans la région oùω = 0 dans la figure 5.8a. La relation de dis- persion pour m= 1 et n = 0 (i.e. l’instabilité du mode de flexion) devrait tendre vers ω/Φ → 1 lorsque ka→ ∞. Voir les courbes pour un tourbillon de Rankine selon Saffman (m = 1, n = 0) et Crow (m= 1, n = 0) à la figure 5.6).

Figure 5.7 Taux de croissance de l’instabilité de Crow (d’onde longue) en fonction deβ = kb pour Λ = −1. L’instabilité de Crow est λ = 8.53b (β = 0.736) avec un taux de croissanceα∗= 0.83 pour δ/β = 0.0632. L’onde courte de Crow est aussi

visible, mais cette dernière est hors de la plage de validité de la théorie présentée dans cette section.

La figure 5.8 illustre les différents diagrammes de stabilité pour chaque valeur propre instable. Les isocontours des taux de croissance adimensionnels (α∗) en fonction du nombre d’onde adimensionnel (β) et du cutoff adimensionnel (δ/β) y sont représentés. Ce dernier est une mesure du noyau du tourbillon. Pour un tourbillon de rayon donné, un ratio δ/β est déter- miné et par conséquent une relation est obtenue entre le taux de croissance (α∗) et le nombre d’onde (β = kb). L’instabilité dominante est associée au taux de croissance le plus élevé. En suivant la théorie de Crow, une instabilité d’onde longue (i.e. instabilité de Crow) est identifiée àβ ≈ 0.736 avec un taux de croissance α∗= 0.83 avec δ/β = 0.0632.

a) Mode symétrique. b) Mode antisymétrique.

Figure 5.8 Illustration des isocontours des taux de croissance (α∗) en fonction de β et δ/β. Diagramme de stabilité d’une paire de tourbillons OGE avec Λ = −1 pour l’instabilité d’onde longue (i.e. instabilité de Crow identifiée par une croix +) symétrique

(a) et antisymétrique (b) et de l’effet de l’auto-induction nulleω = 0 (trait foncé). L’instabilité de Crow observée àβ ≈ 0.736 avec un taux de croissance α∗= 0.83

(δ/β = 0.0632).

L’analyse du système d’équations (5.17) montre que les critères pour avoir instabilité sur- viennent lorsque les effets d’induction mutuelle dominent sur les effets de l’auto-induction. Par conséquent, le modèle approximatif des effets d’auto-induction utilisé par Crow (1970) s’avère suffisamment précis que pour représenter le mécanisme d’une instabilité de faible nombre

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d’onde. La figure 5.8 illustre que le terme d’auto-induction (trait foncé) n’est pas nul dans le voisinage de l’instabilité de Crow i.e. aux coordonnées(β,δ/β) = (0.736,0.0632).

En somme, seule l’instabilité associée au mode de flexion est caractérisée dans cette section. Le tableau 5.1 permet de constater l’effet du rayon (a/b) sur la longueur d’onde (λ/b) calculée. Des rayons variant entre a/b = 0.05 à a/b = 0.45 en passant par a/b = 0.0724, le rayon utilisé par Crow (1970), permettent de mettre en évidence une variation de près de 70% de λ/b par rapport au cas de référence de Crow. L’augmentation du rayon du tourbillon augmente l’importance du terme d’auto-induction par rapport au terme de l’induction mutuelle. Cela se traduit par une augmentation du nombre d’onde à laquelle l’instabilité du mode de flexion apparaît. Par conséquent le mode de flexion ne peut être bien modélisé par la théorie de Crow que si la calibration du terme d’auto-induction par la méthode du cutoff est basé sur le rayon du tourbillon étudié comme illustré dans le tableau 5.1. Autrement dit, l’instabilité associée au mode de flexion dépend de la taille du rayon du tourbillon instable.

Tableau 5.1 Caractérisation du mode le plus instable en fonction de différents rayons de tourbillons de type Rankine (ae/b) et Lamb-Oseen (a/b) correspondant où a = 0.735ae

avec la théorie présentée par Crow (1970).

Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4 Cas 5 Cas 6 Cas 7 Cas 8 Cas 9 Cas 10

a/b 0.0500 0.0724 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450

ae/b 0.0680 0.0985 0.136 0.204 0.272 0.340 0.408 0.476 0.544 0.612

δ/β 0.0437 0.0632 0.0874 0.131 0.175 0.218 0.262 0.306 0.349 0.393

β 0.694 0.736 0.782 0.858 0.932 1.01 1.10 1.22 1.40 2.36

α∗ 0.836 0.827 0.819 0.806 0.795 0.785 0.776 0.767 0.760 0.785

Malgré les limitations de la fonction d’auto-induction utilisée par Crow, il est possible de dé- tailler le mécanisme du mode de flexion caractérisée par λ/b = 8.53 ou kb = 0.736 et un taux de croissance deα∗= 0.827. Il a été aussi possible de déterminer le lien entre le nombre d’onde le plus instable en fonction du rayon du tourbillon. Mais les limitations sur la fonction d’auto-induction imposent la nécessité d’utiliser un modèle d’auto-induction valide pour les grands nombres d’onde et ce, même pour modéliser le mode de flexion. Le prochain modèle

présenté permet d’étendre la plage de validité du mécanisme à l’origine de l’instabilité de Crow à des longueurs ondes plus petites soitλ/b = O(a/b) comme il est nécessaire pour les cas où Λ > −1.

5.4.2 Instabilité du mode de flexion (n= 0) avec Λ ≥ −1 avec le modèle de Saffman