Application de la théorie de stabilité linéaire d’une paire de tourbillons

La présente section vise à établir le lien entre les résultats obtenus par DNS de la configura- tion de tourbillons IGE (chapitre 4) et les prédictions théoriques de la stabilité linéaire d’une configuration de tourbillons OGE (section 5.4). La figure 5.16 met en évidence la corrélation entre les résultats numériques IGE du tableau 5.5 et les courbes de la stabilité linéaire d’une configuration OGE.

Figure 5.16 Comparaison entre les nombres d’onde du mode le plus instable (β = kb) des résultats numériques (symboles) de la configuration IGE (ReΓ= 2 500) et les courbes théoriques (lignes) de la stabilité linéaire d’une

paire OGE pour différents rayons (a0,1/b).

Le rayon du tourbillon secondaire (a2/d) au moment où l’instabilité apparaît est utilisé pour le calcul des courbes de stabilité linéaire. Comme la courbe deβ en fonction de Λ dépend du rayon du tourbillon instable, l’ensemble des nombres d’onde instables issus des calculs nu-

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mériques possèdent chacune leur courbe de stabilité linéaire. En effet, chaque nombre d’onde instable issu d’un calcul numérique possède son propre rayon de tourbillon secondaire (a2/d). Pour simplifier la figure 5.16, seules les deux courbes correspondant aux rayons des tourbillons secondaires maximal (a2/d = 0.38) et minimal (a2/d = 0.36) obtenus numériquement sont re- présentées. Par conséquent, la région définie entre les deux courbes de la figure 5.16 représente la plage de valeurs des nombres d’onde instables attendues pour unΛ donné. Attribuables à la nature de la formation du tourbillon secondaire, les ratios de circulations Λ = Γ2/Γ1 varient entre−0.23 < Λ < −0.32. Il est constaté que pour une paire tourbillonnaire symétrique (i.e. Λ = −1) l’effet du rayon est négligeable. Cependant, pour un ratio Λ → 0 l’effet du rayon doit être considéré dû à l’espacement vertical croissant entre les deux courbes théoriques. Le tableau 5.5 permet de constater que les écarts entre le nombre d’onde le plus instable déter- miné par l’analyse de stabilité linéaire d’une paire de tourbillon OGE et celui déterminer par les résultats DNS varient 1.1% et 12%. Le cas où un écart de 12% est constaté est celui avec le ratio de circulationΛ le plus faible. Or, la figure 5.16 montre qu’une petite variation de Λ entraîne une variation importante deβ pour les faibles valeurs de Λ. Il est donc attendu d’avoir une erreur accrue surβ pour les faibles valeurs de Λ.

Tableau 5.5 Nombres d’onde instables (kd) issus de simulations numériques par DNS IGE avec Re_Γ= 2 500 pour différents rayons initiaux (a0,1/b = 0.05 à

a_0,1/b = 0.25) comparés avec la théorie de stabilité linéaire d’une paire tourbillonnaire OGE.

Rayons tourbillons principaux (a0,1/b). 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Rayons tourbillons secondaires (a2/d) 0.36 0.35 0.37 0.38 0.38 Ratios de circulations (Λ) -0.23 -0.24 -0.27 -0.30 -0.32 Nombres

d’onde

DNS (kd) 6.1 4.7 4.1 3.4 3.6

Stabilité linéaire (kb) 5.4 4.8 4.4 3.8 3.5

5.6 Application de la théorie de stabilité linéaire d’une paire de tourbillons OGE à un système tourbillonnaire IGE avec vent latéral

Dans le cas avec un vent latéral, une intensité de Uvent/Ure f = 2 est choisie pour générer les ré-

sultats numériques. Par conséquent, l’effet d’un vent latéral (figure 5.17) contribue à accentuer l’asymétrie du système tourbillonnaire ce qui implique que les ratios de circulations varient sur une plus grande plage de valeurs due à l’interaction entre la vorticité du vent et celle de la paire de tourbillons.

Figure 5.17 Comparaison entre les nombres d’onde du mode le plus instable (β = kb) des résultats numériques (symboles) de la configuration IGE (ReΓ= 2 500) et les courbes théoriques (lignes) de la stabilité linéaire d’une paire OGE pour différents

rayons (a0,1/b).

Pour la configuration avec un vent latéral seul le cas avec a0,1/b = 0.15 est étudié. Au moment où l’instabilité est observée, les caractéristiques (Λ et a2/d) de la paire gauche et droite sont différentes ce qui permet des nombres d’onde différents au sein de chaque paire. Les rayons des tourbillons secondaires, au moment où l’instabilité se développe, sont a2/d = 0.37 (avec Λ = −0.37) pour la paire de tourbillons droite et a2/d = 0.44 (avec Λ = −0.44) pour la paire de tourbillon gauche. La figure 5.17 montre un écart de 12% entre la valeur théorique de la

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stabilité linéaire et la valeur résultats DNS du nombre d’onde le plus instable de la paire de tourbillons droite. Cependant, cet écart augmente à 84% pour le nombre d’onde de la paire de tourbillons gauche (tableau 5.6).

Tableau 5.6 Nombres d’onde instables (kd) issus de simulations numériques par DNS IGE avec vent latéral avec Re_Γ= 2 500 et (a0,1/b = 0.15 comparés avec la théorie de

stabilité linéaire d’une paire tourbillonnaire OGE.

Paire droite de tourb. Paire gauche de tourb.

Rayons tourbillons secondaire (a2/d) 0.37 0.44

Ratios de circulations (Λ) -0.40 -0.19

Nombres d’onde

DNS (kd) 2.3 3.6

Stabilité linéaire (kb) 2.6 22

Écarts (%) DNS vs Stabilité linéaire 12 84

Outre les simplifications intrinsèques au modèle théorique (section 5.1), l’écart entre les résul- tats théoriques et numériques s’explique par deux principaux facteurs surtout dans la configura- tion avec vent latéral. Le premier réside dans la difficulté de déterminer le ratio de circulations Λ lors de la caractérisation de l’écoulement. En effet, plus les rayons des tourbillons principal et secondaire sont importants, plus le chevauchement du profil de vorticité est important. De plus, la vorticité négative associé au vent a pour effet d’annihiler partiellement celle du tour- billon secondaire gauche dont sa vorticité est positive donc de signe opposé à celle du vent. Par conséquent, leurs circulations respectives deviennent difficiles à déterminer. À l’opposé, pour des tourbillons de faibles rayons, le chevauchement est de moindre importance permettant de calculer le ratio de circulations Λ avec plus de précision. Le deuxième facteur consiste à te- nir compte de l’influence de la distribution de vorticité au sein du tourbillon. La figure 5.10 illustre les courbes analytiques pour deux types de distribution de vorticité soit un tourbillon de Rankine et Lamb-Oseen (sans vent latérale). Or, il a été montré à la figure 3.4 que le profil de vitesse typique d’une simulation numérique n’est pas exactement celui d’un profil gaus- sien. Par conséquent, la fonction d’auto-induction utilisée dans le modèle analytique n’est pas identique à celle "naturellement" obtenue dans la DNS avec la présence d’un vent latéral.

5.7 Synthèse du chapitre

En conclusion, la théorie présentée dans ce chapitre permet de prédire le nombre d’onde in- stable pour une paire de tourbillons contrarotatifs hors effet de sol (OGE) et de circulations inégales. La correction des ratios de circulationsΛ_{th ´eo.} parΛeff appliquée aux simulations de

So et al. (2011) est justifiée surtout à cause de l’importance de l’annihilation de la circulation lors de la génération de la condition initiale pour les plus gros tourbillons.

La comparaison avec la littérature, plus particulièrement avec les résultats de So et al. (2011), est considérée concluante. Il est noté également que les courbes théoriques associées à un rayon équivalant à celui d’une distribution constante de vorticité (Rankine) et celle pour une distribution de type Lamb-Oseen sont cohérentes avec les résultats de So et al. (2011). À noter que ces derniers utilisent une distribution gaussienne de vorticité qui est davantage associée à un tourbillon dont le ReΓ est faible alors que So et al. (2011) utilisent ReΓ= 20 000.

En somme, la théorie de stabilité linéaire pour une paire OGE permet de prédire le compor- tement d’une paire de tourbillons contrarotatifs en effet de sol (IGE) sans vent latéral, avec une écart maximal de 12% par rapport aux résultats de l’analyse de stabilité. Il est conclu que la croissance du mode le plus instable dans le tourbillon secondaire en configuration IGE est entièrement expliquée par l’interaction entre les tourbillons principal et secondaire.

Dans le cas avec un vent latéral, le nombre d’onde le plus instable de la paire de droite est prédite avec un écart de 12% alors que l’écart entre le nombre d’onde numérique et théorique de la paire gauche est de 84%. L’erreur sur la prédiction du nombre d’onde de la paire gauche est attribuable à la forte déformation du tourbillon secondaire gauche due au faible nombre de Reynolds (ReΓ= 2 500). La déformation plus importante du tourbillon secondaire gauche par rapport à celui du tourbillon secondaire droit est attribuable au fait que le tourbillon secondaire gauche est contrarotatif par rapport à la vorticité du vent et donc s’annihile plus rapidement que le tourbillon secondaire droit.

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La prochaine étape consiste à étendre l’application de la présente étude à un système tour- billonnaire doté d’un rayon initial (a0,1/b) et nombre de Reynolds (ReΓ) plus près des valeurs d’un avion commercial i.e. a0,1/b = O(10−2) et ReΓ= O(106). Cependant, le coût calcul rend difficile de réaliser des simulations 3D à ces valeurs dans des temps raisonnables avec les ressources actuelles. Cependant, en se basant sur les résultats précédents pour prédire les in- stabilités, il suffit de connaître les valeurs deΛ et a2/d du champ moyen de vorticité alors que l’instabilité n’est qu’au stade de perturbation. Cela implique qu’une simulation 2D à haut Re_Γ peut s’avérer une solution possible pour déterminerΛ et a2/d et par ce fait même, le nombre d’onde le plus instable avec la théorie de stabilité linéaire. Ce concept est détaillé au chapitre 6.