Effet de la paroi solide

L’effet de la paroi se fait ressentir principalement à partir des effets visqueux et l’image miroir. Néanmoins, afin de simplifier l’analyse en première approximation il est possible de négliger les effets visqueux. Cette méthode permet de développer une équation hyperbolique pour pré- dire les trajectoires des tourbillons contrarotatifs en configuration proche effet de sol (NGE, i.e. sans tenir compte des effets visqueux dus à la paroi) où le tourbillon principal glisse le long de la paroi (Lamb (1932)). La théorie de Lamb n’est valable que pour un écoulement sans viscosité (i.e. ReΓ→ ∞ et condition de glissement à la paroi) et des tourbillons représentés par une ligne de vorticité (i.e. a_b → 0).

La configuration IGE est définie comme étant une paire de tourbillons contrarotatifs où les ef- fets visqueux du fluide à la paroi sont pris en considération. La formation des couches limites à la paroi sous l’effet des tourbillons principaux est simulée à ReΓ= 600 000 par une analyse 2D (Eriksson et al. (1977)). Ces couches limites, sous l’effet d’un gradient de pression défavorable, provoquent l’épaississement des couches limites jusqu’à leur arrachement devenant ainsi des

tourbillons secondaires. Une fois séparées de la paroi, ces structures tourbillonnaires orbitent autour des tourbillons principaux. Comme leurs travaux se limitent à une analyse bidimension- nelle, il est impossible d’étudier le mécanisme de dissipation des tourbillons secondaires. Le mécanisme de dissipation étant un phénomène 3D. Cependant, ils étudient l’écoulement sur une large plage de nombre de Reynolds variant entre 6 000< ReΓ< 600 000. En plus, l’utili- sation d’un code de différences finies d’ordre supérieur combiné à un écoulement à haut Re_Γ permet d’observer la formation d’une succession de tourbillons secondaire, tertiaire et qua- ternaire provenant de l’arrachement de la couche limite. Quelques résultats 3D sont présentés (trajectoires 2D vs 3D) dans un domaine où Lz≈ a0,1 mais aucune analyse de stabilité n’est

réalisée.

Un modèle LES peut être utilisé pour étudier l’effet de la paroi (Proctor et al. (2000)). Leurs résultats mettent en évidence l’importance de redimensionner le système tourbillonnaire afin de réduire le nombre de paramètres à faire varier. Il est observé que la décroissance de l’éner- gie des tourbillons est peu influencée par la turbulence ambiante. De plus, avec une turbulence ambiante élevée, les tourbillons interagissent avec leurs images miroirs en se liant entre eux. Similairement, les trajectoires 2D et 3D des tourbillons sont comparées (Puel & de Saint Victor (2000)). D’abord, avec des calculs 2D les effets diffusifs et rebonds successifs des tourbillons sont caractérisés. Puis, leurs dépendances face au Re est analysée. Si les rebonds sont peu af- fectés par Re, la diffusion du rayon du tourbillon dépend grandement du nombre de Reynolds justifiant qu’à haut Re les effets visqueux sont faibles. De plus, à haut Re une création suc- cessive de petits tourbillons est observée rendant le suivi des trajectoires plus complexe. Pour le calcul 3D, une instabilité qualifiée d’elliptique est observée, mais encore une fois, aucune étude de stabilité n’est réalisée.

Trois régimes ou situations sont identifiés lors de l’évolution d’une paire de tourbillons IGE (Williamson et al. (2014)). Le premier régime représente une paire dont la formation se fait près du sol et dont le mode de flexion dans les tourbillons principaux ne dispose pas suffisamment de temps pour se développer. Conséquemment, les tourbillons secondaires formés deviennent les premiers à montrer des signes d’instabilité. Les anneaux de vorticité décrits par Crow (1970)

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n’ont pas le temps de se former. Ces anneaux se produisent naturellement lors de la dissipation d’une paire de tourbillons OGE. Le second régime correspond à une formation des tourbillons à une hauteur supérieure qu’au premier régime et permet aux tourbillons principaux de dévelop- per un mode de flexion. Cependant, le processus de dissipation par les instabilités est influencé par la proximité de la paroi et de la paire principale. Avec l’ondulation axiale des tourbillons, une forte concentration de vorticité se forme aux points où la distance entre les tourbillons principaux est maximale. Cette forte concentration de vorticité engendre de petits anneaux de vorticité qui rebondissent sur la paroi. Le dernier régime consiste en une paire de tourbillons loin du sol (i.e. OGE) de façon à ce que le mode de flexion aille suffisamment de temps pour développer des ondulations dans le tourbillon principal et que celui-ci interagisse avec la paroi, ce qui engendre des anneaux de vorticité et dissipe le sillage d’avion sans avoir à former des tourbillons secondaires. Similairement, il est montré que trois types de modes de flexion (ou instabilité de Crow pour une paire symétrique) sont présents lorsque les tourbillons sont IGE (Kornev & Reichert (1997)). D’abord, il y a l’instabilité de Crow pour une paire de tourbillons à une hauteur H/b > 0.575, une instabilité hélicoïdale pour 0.438 ≤ H/b ≤ 0.575 et une insta- bilité confinée dans un plan (à angle négatif par rapport à l’horizontale) pour H/b < 0.438. Le cas correspondant au premier régime est étudié plus en détail. Une paire de tourbillons contrarotatifs IGE définis par une distribution de vitesse de Lamb-Oseen est étudiée lors d’une simulation DNS (Luton & Ragab (1997)). Un seul tourbillon de la paire y est simulé avec une condition de symétrie. Dans une simulation à ReΓ = 2 196 et a0,1/b = 0.25, il est observé que les tourbillons secondaires sont les premiers à montrer un signe d’instabilité jusqu’à une dissipation complète due aux effets d’étirement de vorticité. Les résultats obtenus montrent que λ/a0_,1 = 3.20 (ka0 = 1.95) et λ/a0,1 = 1.78 (ka0= 3.5) et le mécanisme d’instabilité du mode elliptique est cité pour expliquer les nombres d’onde observés. Dans ces travaux, le rayon initial a0,1 des tourbillons principaux est utilisé pour adimensionner les résultats. Or, il est préférable d’utiliser la valeur du rayon du tourbillon instable (tourbillon secondaire dans ce cas-ci, a2) au moment où des signes d’instabilité apparaissent. De plus, il est proposé par Harris & Williamson (2012) d’adimensionner les résultats avec la distance entre les tourbillons

principal et secondaire d et non l’espacement initial des tourbillons principaux b. Le fait que les tourbillons principal et secondaire ne soient pas de mêmes circulations, |Γ1| = |Γ2|, n’est pas considéré dans l’analyse de Luton & Ragab (1997). Une autre étude (non publiée) avance également le caractère elliptique de l’instabilité en effet de sol (Duponcheel et al. (2009)). Des résultats expérimentaux similaires sont obtenus par Harris & Williamson (2012) lors de l’étude d’une paire de tourbillons IGE. Des instabilités formant des boucles Ω semblables à celles observées par Luton & Ragab (1997) sont identifiées expérimentalement. Ces boucles ont été observées par Ortega et al. (2003) lors de l’analyse de l’instabilité de Crouch. Ces ondes sont attribuées au mécanisme de l’instabilité du mode de flexion et non à celui de l’instabilité du mode elliptique comme déduit par Luton & Ragab (1997). L’effet de rotation de la paire de tourbillons principal-secondaire, introduite par Bristol et al. (2004), est utilisé pour relier l’instabilité observée en configuration IGE avec le mode de flexion en configuration OGE. Ensuite, il est montré expérimentalement que des instabilités de courtes longueurs d’onde sont observées dans le tourbillon secondaire et contribuent à enrichir l’hypothèse que l’instabilité observée est elliptique (Cottin & Leweke (2007)). De plus, une nouvelle instabilité de type centrifuge est identifiée à haut ReΓ. La possibilité que la configuration IGE soit propice à développer tant une instabilité du mode elliptique qu’une instabilité du mode de flexion est évoquée par Leweke et al. (2016) et Duponcheel et al. (2009).