L’instabilité décrite ci-dessus semble n’affecter le comportement que dans le cas où l’on a deux endommagements supposés être égaux et où la déformation qui les pilote n’est pas imposée directement mais calculée. Ce cas de figure se rencontre typiquement en compression simple mais pas en traction. Cependant dans la majorité des cas, la ruine d’une structure en béton (ou béton armé) provient des sollicitations de traction plus que de compression, comme c’est le cas par exemple pour une poutre en flexion correctement ferraillée. On va cependant montrer que cette instabilité a un impact important sur le résultat global d’une telle simulation.
4.7.1 Paramètres de la modélisation
Le cas test simulé est celui de la poutre en flexion 3 points du projet national CEOS.fr (Com-portement et Evaluation des Ouvrage Spéciaux, fissuration retrait) [CEO, CLN+09] Cet exem-ple s’inspire lui-même d’un précédent benchmark organisé par EDF [GCD03]. La géométrie, le ferraillage, l’instrumentation et les conditions limites de l’essai sont présentés sur la figure 4.31. La longueur totale de la poutre est de 5,4 m et la distance entre appuis de 5,0 m.
Le chargement expérimental est un chargement en effort appliqué par un verin au centre de la poutre. L’effort maximal imposé est de 304 kN. La maillage utilisé est celui de la figure 4.32, il est constitué de 4800 éléments cubiques (5,6 cm× 4 cm × 5 cm). Les armatures
sont représentées explicitement par des éléments de type barre. La taille de ces éléments est la même que celle des éléments volumiques (soit 88 éléments dans le sens de la longueur). Tous les noeuds coïncidants de ces deux maillages sont connectés si bien que l’on reproduit un comportement de type adhérence parfaite entre les armatures et le béton.
FIG. 4.31: Géométrie et feraillage de la poutre étudiée
FIG. 4.32: Maillage de la poutre du projet national CEOS.fr
Le modèle utilisé pour le béton est dans un premier temps le modèle d’endommagement anisotrope avec effet retard ( avec la loi ˙DDD= ˙λ<εεε>2
+) puis le même modèle modifié pour s’affranchir de l’instabilité (écrit en fonction des déformations effectives de loi ˙DDD= ˙λ<eεεε>2
+). Les paramètres des deux modèles sont les mêmes que ceux utilisés jusqu’à présent (tableau 1.9 du chapitre 1). La vitesse à laquelle le chargement est imposé est suffisament lente pour consid-érer qu’elle n’a pas d’influence sur le comportement du béton en traction. Le comportement des armatures en acier est représenté par un modèle elasto-plastique parfait de von Mises (module d’Young E =210 GPa, limite d’élasticitéσy500 MPa, coefficient de Poissonν= 0,3).
4.7.2 Réponse globale
La figure 4.33 compare les réponses globales force-déplacement obtenues avec les deux modèles quand on impose un chargement en effort ou un chargement en déplacement. La réponse expérimentale est reportée pour comparaison. Avec le modèle initial, la réponse en déplacement imposé et en force imposée ne se superposent pas. La différence est même réelle-ment importante. Elle est l’expression de l’instabilité puisque le modèle écrit en déformations équivalentes ne présente pas la même pathologie. Le fait de ne pas tenir compte de l’existence de cette instabilité peut conduire à d’importantes erreurs pour la simulation numérique de
structures. Précisons que les calculs ont été menés sans activer la modélisation non-locale. Ils sont donc dépendant de la discrétisation.
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 Déplacement [m] 0 100 200 300 400 F or ce [kN] Expérimental Initial - Force imposée Initial - Dép. imposé Modifié - Force imposé Modifié - Dep imposé
FIG. 4.33: Réponse globale en force et déplacement imposés
4.7.3 Cartes d’endommagement
En revanche, les cartes d’endommagement (fig. 4.34) sont similaires pour les deux modèles (calcul en force imposée pour les deux modèles).
5 Conclusion
Les problèmes de régularisation pour les modèles présentant un adoucissement sont des problèmes complexes pour lesquels la solution idéale n’est pas immédiate. On a pu voir dans ce chapitre que le choix du limiteur de localisation à employer dépendait des vitesses de sollicitations considérées. On utilisera l’effet retard pour régulariser les calculs en dynamique rapide et la régularisation non-locale pour les caculs quasi-statiques ou lents.
Un des atouts de la loi de viscosité proposée pour le modèle d’endommagement anisotrope est de permettre à la fois de reproduire l’effet de vitesse et de régulariser la solution quand cet effet de vitesse est sensible. Ce cas est particulier au matériau béton où l’on a la chance d’avoir la même valeur du temps caractéristique pour les effets de vitesse (identifié à partir des résultats expérimentaux) et pour la régularisation (identifié à partir de la longueur caractéristque associée à la micro-structure et de la vitesse des ondes qui dépend des caractéristiques matériau du béton).
On a également mis en évidence une nouvelle instabilité liée à l’anisotropie induite du comportement. Cette instabilité apparaît pour les états de compression importants. Pour s’en
FIG. 4.34: Comparaison des cartes d’endommagement pour le modèle initial et le modèle
modifié
affranchir, un nouveau modèle est proposé non plus écrit en fonction des extensions mais en fonction des "extensions effectives".
Bilan des équations du modèle proposé
e σσσ= [(1 −DDD)−1/2σσσD (1 −DDD)−1/2]D + [ hσHi 1−trDDD− h−σHi]1 εεε= E−1:σσσe f = g(bε) − dact → ∗ f < 0 : élastique ∗ f = Dv>0 : visco-endommagement dact =DDD :hεεεi+ max(εI) ˙ D= ˙λheεεεi+ oùeεεε= E−1:σσσ
H
(trεεε) ˙dact = ˙D∞[1 − exp(−b(g(bε) − dact))]———————————————————————-Résultats expérimentaux sur structures en
dynamique
Après avoir caractérisé au chapitre 3 le comportement dynamique du matériau béton, rap-pelé une modélisation couplant plasticité et endommagement isotrope et développé un modèle d’endommagement anisotrope avec effet de vitesse, on s’intéresse dans ce chapitre au com-portement de structures sous chargements dynamiques. La philosophie de la plupart des essais dynamiques sur structures est de mettre en évidence sur des structures simples (poutres, dalles) un certain nombre de phénomènes locaux et globaux afin de permettre la modélisation de cas plus complexes (au niveau de la structure étudiée et du chargement). Les essais réalisés au Laboratoire d’Études de Dynamique (DYN) du CEA Saclay lors de cette thèse s’inscrivent dans cette perspective. Deux types d’essais sur tour de chute ont été réalisés : des essais brésiliens en dynamique et des essais d’impact sur poutres. Les essais brésiliens en dynamique sont relativement peu courants dans la littérature ([TRK93] a réalisé les premiers essais brésiliens sur des barres de Hopkinson), mais forts intéressants. Une caméra numérique rapide a été utilisée en plus d’une instrumentation classique mais précise et efficace (accéléromètre, mesure de déplace-ment par caméra et capteurs d’efforts). Les images enregistrées sont analysées par corrélation d’images grâce au logiciel CORRELI développé au LMT Cachan [HRB+02, BHR06, RH08].Les essais d’impact sur poutres (4 essais au total) ont eu pour objectif d’étudier le passage d’un mode de rupture ductile (en flexion) à un mode de rupture fragile (par cône de cisaille-ment). Les deux facteurs influant dans cette études sont l’élancement de la poutre et le ferraillage transversal. Dans ce cas aussi la corrélation d’image est utilisée pour mieux comprendre les phénomènes mis en jeu.