On estime l’ouverture de fissure sur l’une des faces de l’éprouvette à différentes hauteurs par la méthode décrite précédemment. La zone étudiée comporte 6 éléments répartis à gauche et à droite du diamètre central. La hauteur h = 5,64 cm correspond à la demi-hauteur de l’éprouvette. L’estimation de l’ouverture de fissure est ensuite calculée tous les centimètres de part et d’autre du centre de la surface. On constate (fig 2.17) que cette ouverture est globalement homogène sur toute la hauteur de l’éprouvette.
Comme pour la force de réaction, on constate un saut important de l’estimation de l’ou-verture fissure, qui caractérise à nouveau le caractère fragile de cet essai. La comparaison aux résultats expérimentaux montre que l’ordre de grandeur de l’estimation est correct (15 µm pour le calcul contre environ 50 µm expérimentalement), mais que l’outil développé ne reste pour le moment qu’un indicateur.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 déplacement imposé [mm] 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 Ouvertur e de F issur e s [mm] h = 2,6 cm h = 3,6 cm h = 4,6 cm h = 5,6 cm h = 6,6 cm h = 7,6 cm h = 8,6 cm
(a) Résultats numériques - code implicite (b) Résultats expérimentaux
FIG. 2.17: Estimation de l’ouverture de fissure vs Résultats expérimentaux
L’estimation de l’ouverture de fissure sous chargement mécanique est un sujet qui fait actuellement l’objet d’un projet national (CEOS.fr, Comportement et Évaluation des Ouvrages Spéciaux - Fissuration et Retrait [RGC08]) auquel le LMT Cachan participe. La question de l’estimation de l’ouverture de fissure y est traitée par la méthode décrite dans ce chapitre pour le cas d’une poutre en béton armé sollicitée par un chargement de flexion 3 points (cf. chapitre 4 et [CLN+09]). Le projet national se poursuit mais les résultats numériques obtenus jusqu’à présent par cette méthode sont encourageants.
5 Conclusion
L’intégration numérique dans un code de calcul aux éléments finis du modèle de comporte-ment initial présenté au chapitre 1 se fait de manière directe (i.e. sans itérations), ce qui présente
un avantage certain en terme de temps de calcul. Cependant le passage au calcul numérique nécessite de prendre certaines précautions, notamment avec ce que l’on appelle la "gestion de la rupture". Il faut en effet introduire dans le schéma numérique une procédure qui permet de borner les valeurs propres du tenseur d’endommagement DDD pour qu’elles restent dans le domaine de définition physique de l’endommagement (le domaine [0 ;1]). La procédure initiale de gestion de la rupture imposait le plan dans lequel l’endommagement évoluait à partir du moment où la plus grande des valeurs propres du tenseur d’endommagement DDD atteignait sa valeur critique Dc (très peu différente de 1), puis elle fixait la direction d’endommagement lorsque deux des valeurs propres avaient atteint Dc. La nouvelle gestion de la rupture ne fixe pas de direction d’endommagement, même une fois que Dcest atteint. Les résultats numériques ne sont pas fondamentalement différents, mais cette procédure permet de réduire de manière importante le nombre de variables conservées par le code de calcul d’un pas de temps à l’autre. Le cadre thermodynamique dans lequel le modèle a été développé permet d’assurer la positivité de la dissipation. Lors de ce travail de thèse, deux expressions équivalentes de la dissipation intrinsèque ont été établies. Plusieurs discrétisations temporelles du calcul de la dis-sipation ont été proposées et comparées pour finalement n’en retenir qu’une pour l’application aux calculs de structures. L’application au calcul d’un essai brésilien en statique montre que la dissipation intrinsèque dans ce cas est essentiellement due aux dégradations en compression, qui ne sont pas celles qui mènent à la ruine.
Un estimateur de l’ouverture de fissure, basé sur le concept d’endommagement actif (rappelé au chapitre précédent) a été développé. Son application au calcul (local, et donc dépendant du maillage) de l’essai brésilien donne le bon ordre de grandeur en comparaison aux résultats expérimentaux.
Enfin, cet exemple de calcul sur une structure (l’essai brésilien) a permis d’illustrer l’in-térêt de l’anisotropie de l’endommagement. L’endommagement anisotrope confère au matériau endommagé un comportement élastique anisotrope (les paramètres d’élasticité ne sont pas dégradés de la même manière dans toutes les directions). Dans le cas de l’essai brésilien, la zone où l’on applique le chargement et la zone d’appuis sont sollicitées en compression, ce qui conduit avec le modèle d’endommagement anisotrope à dégrader l’élasticité dans les directions perpendiculaires au chargement. La direction parallèle au chargement garde sa raideur initiale, ce qui permet de transmettre les efforts au reste de la structure. Il a été montré qu’avec un modèle scalaire isotrope, le fait de dégrader la raideur dans toutes les directions, y compris celles orthogonales au chargement, conduisait à l’impossibilité de mener le calcul dans ce cas, pourtant apparemment simple, jusqu’à la ruine.
Modélisation du comportement
dynamique du béton
Par essais dynamiques on désigne une large gamme d’essais à des vitesses de sollicitation très différentes mais qui ont en commun le fait que le temps influe sur la réponse de l’éprouvette ou de la structure testée. Les effets temporels sont de deux natures : inertiels quand ils sont liés à l’accélération induite par la vitesse chargement et "visqueux" quand c’est le comportement du matériau qui est dépendant de la vitesse de la déformation (ou de la contrainte).De nombreuse techniques et moyens expérimentaux ont été développés pour caractériser le comportement dynamique des matériaux et dans le cas qui nous intéresse du béton, pour des vitesses de sollicitation allant du quasi-statique ( ˙σ≤ 10−5GPa.s−1ou ˙εde 10−4à 10−2s−1) aux vitesses rapides ( ˙σ> 100 GPa.s−1ou ˙ε>10 s−1). Les moyens expérimentaux à mettre en oeuvre varient en fonction de la vitesse à atteindre et nécessite des dispositifs différents. Il est donc dans ces conditions rare de connaître les caractéristiques d’un même béton sur toute l’étendue de la gamme de vitesse de sollicitation mentionnée. D’autre part, ces essais sont délicats à réaliser du fait des difficultés liées aux réflexions d’ondes et aux vibrations. L’acquisition des données est plus complexe que pour des essais statiques (problème de filtrage, de calage temporel précis des mesures [ZG96],...) et nécessite un matériel adapté. Les données expérimentales couvrent donc un dommaine assez restreint de sollicitations, les données les plus nombreuses concernant les essais uniaxiaux. De plus elles se rapportent le plus souvent à des éprouvettes de petites tailles. Ces essais ont permis de mettre en évidence une forte sensibilité du béton à la vitesse de sollicitation en traction, et une plus faible sensibilité en compression. On explique ces effets de vitesse par des considérations "matériau" (effets visqueux et obscurcissement de défauts) et par des effets inertiels [BJ71, Ros91, DH00a].
De nombreux modèles de comportement pour le béton, qu’ils soient de plasticité [GR03], d’endommagement [DPCL96b] ou couplés
plasticité - endommagement [Ser97, Gat99, PSS08] reproduisent cet effet de la vitesse de sollicitation. Lors de cette thèse, un nouveau modèle d’endommagement avec effet de vitesse en traction a été développé. Il présente la particularité d’une part de borner la vitesse d’endom-magement et d’autre part de tenir compte de l’effet des sollicitations alternées (non seulement sur le seuil d’endommagement mais aussi sur l’effet de la vitesse de sollicitation). Le cadre
thermodynamique dans lequel il a été développé permet d’assurer la positivité de la dissipation intrinsèque et de la calculer.