Many questions on mathematics teachers’ knowledge, its content, structure, and how it influences teaching and learning, remain open3. (Krauss, Baumert & Blum, 2008, p. 873)
2.1 Portée de la question
L’opinion populaire affirme à la fois qu’il n’est pas nécessaire d’avoir beaucoup étudié les mathématiques pour enseigner « à des petits », mais aussi qu’il faut « être bon en maths » pour être capable de les expliquer. L’amélioration de la qualité de l’enseignement est un enjeu politique fondamental (Petrou & Goulding, 2011, p. 9) et la question des connaissances disci-plinaires des enseignants y est centrale, particulièrement aux Etats-Unis (National Mathematics Advisory Panel, 2008b, chapitre C3) où le problème est clairement posé en termes économiques : « Teacher preparation programs tend to work in a zero-sum game envi-ronment where additional preparation in mathematics will result in decreased preparation in some other area (such as pedagogy)4 » (Kahan, Cooper & Bethea, 2003, p. 224). Et pourtant, dans un même temps, l’opposition entre connaissance du contenu et connaissances pédago-giques est considérée comme absurde (Henry & Cornu, 2001, p. 495).
Dans la littérature francophone autour de la professionnalisation de l’enseignant, la question des « savoirs à enseigner » (Altet, 2001, p. 35) est considérée comme centrale. Pour-tant elle est le plus souvent traitée très rapidement comme un élément du « paradigme du maître instruit » (Paquay & Wagner, 2001, p. 155).
En France les connaissances en mathématiques sont considérées comme un prélimi-naire à la partie initiale de la formation des professeurs des écoles en IUFM et constituent une part importante du concours. La commission Kahane (2002) recommande d’ailleurs de main-tenir cette antériorité de la formation mathématique, dans la mesure où les préoccupations des professeurs stagiaires devient ensuite plus « professionnelle ». Toutefois l’opposition entre un contenu purement disciplinaire et des orientations professionnelles est transcendée, dans la mesure où ils sont « dispensés de façon à revisiter les savoirs mathématiques de base, à les réorganiser de façon à les rendre efficaces au service du “ professionnel ” » (p. 18). Les con-tenus sont d’ailleurs explicités dans ce sens dans les nombreux manuels destinés à la prépara-tion des concours de recrutement des enseignants français, par exemple par Fenichel (2001) :
« Le candidat doit être capable non seulement de résoudre à son niveau les exercices et pro-blèmes proposés par les documents pédagogiques mais aussi d'exprimer les notions mathéma-tiques sous-jacentes et d'expliquer en quoi l'exercice ou le problème résolu vont participer à la compréhension de ces notions » (p. 29). Certains ouvrages sont mêmes spécifiquement consa-crés à ces mathématiques d’école (en particulier Perrin, 2005). Pourtant, une fois le concours passé, « les connaissances mathématiques actuelles et potentielles des enseignants des lycées et collèges ne sont jamais questionnées » (Robert, 2001, p. 70).
3 Bien des questions demeurent ouvertes à propos des connaissances mathématiques des enseignants, leurs contenus, leur structure et comment elles influencent l’enseignement et l’apprentissage.
La traduction est la mienne, comme toutes celles de ce travail, sauf mention contraire.
4 Les plans d’études pour la formation des enseignant fonction dans un jeu à somme dans lequel toute formation plus impor-tante dans le domaine disciplinaire résultera en une diminution de la formation dans les autres domaines (comme la pédago-gie).
En Suisse, les règlements de reconnaissance intercantonale des diplômes pour les de-grés primaires sont extrêmement laconiques, se contentant de préciser que « l’évaluation s'étend en particulier aux domaines suivants : […] formation dans les disciplines d'enseignement » (CDIP, 1999/2005, article 9).
Dans le canton de Vaud, le référentiel des compétences professionnelles (HEP-Vaud, 2004) comprend, parmi ses 11 compétences-clés, une compétences relatives aux connais-sances des enseignants : « Agir en tant que professionnel critique et porteur de connaisconnais-sances et de culture ». Le référentiel précise encore que
L’enseignante ou l’enseignant dispose d’une compréhension et d’une maîtrise éclairées des disciplines qu’il enseigne. Ses connaissances approfondies dépassent les seuls conte-nus reteconte-nus dans le plan d’études et s’appuient sur des repères structurés et structurants.
Il pourra ainsi développer chez les élèves des connaissances et des compétences qu’ils pourront déployer dans des contextes diversifiés. […] En plus d’une compréhension approfondie des contenus et de la structure de la discipline enseignée, l’enseignante ou l’enseignant doit également en connaître la genèse, l’évolution et en discerner les rap-ports et les limites. (p. 2)
Cette compétence est encore précisée dans le niveau de maîtrise « manifester une compréhen-sion critique des savoirs à enseigner afin de favoriser la création de liens significatifs chez l'élève ». Ce référentiel est un référentiel de formation et n’est pas utilisé par les services em-ployeurs. En revanche cette compétence sert de socle à la présence de cours de savoirs disci-plinaires dans la formation préscolaire-primaire5 et ce niveau de maîtrise est un des critères d’évaluation des étudiants, en particulier en didactique des mathématiques.
La question des connaissances mathématiques des enseignants primaire est particu-lièrement vive. En général ces enseignants n’ont plus fait de mathématiques en tant que telles depuis la fin de leur école secondaire et ils n’ont donc jamais développé un vision d’adulte sur les mathématiques qu’ils doivent enseigner (Hodgson, 2001, p. 509). Même s’il existe des disparités à travers le monde (Tatto, Lerman & Novotna, 2010, p. 320)6, Tatto et ses collègues constatent que, dans la plupart des pays, les enseignants primaires sont des généralistes et que leur formation met peu ou pas du tout l’accent sur les contenus mathématiques (Tatto et al., 2010, p. 321). Dès lors la formation mathématique des enseignants généralistes est régulière-ment questionnée lors des réformes des systèmes de formation ou au morégulière-ment des réformes scolaires. Le manque éventuel de connaissances mathématiques des enseignants primaires est alors souvent vu comme un frein aux modifications des pratiques, tant en terme de curriculum qu’en terme de méthode d’enseignement (Cooney, 2001, p. 462).
2.2 Mesures de l’influence, quelques revues d’études et quelques chemins d’influence
It is clear that teachers’ knowledge of mathematics is positively related to student achievement. However, evidence about the relationship of elementary and middle school teachers’ mathematical knowledge to students’ mathematics achievement remains
5 Le plan d’études de la formation préscolaire-primaire à la HEP, valable de 2005 à 2012 comporte un cours de savoirs disci-plinaires dans les disciplines d’enseignements "académiques", en particulier en mathématiques pour 2 crédits ECTS.
6 Tatto et ses collègues donnent un tableau comparatif selon les pays, mais la Suisse n’y figure pas !
uneven and has been surprisingly difficult to produce7. (National Mathematics Advisory Panel, 2008b, p. 37)
L’opinion communément répandue que les connaissances mathématiques de l’enseignant in-fluencent l’apprentissage des élèves est soutenue par l’idée qu’il faut avoir une connaissance approfondie de ce que l’on enseigne ou encore par celle que l’enseignant personnifie ces con-naissances dans la classe (Lampert, 1990, p. 41). Pourtant le passage de l’idée de sens com-mun à des résultats validés par la recherche est loin d’être une évidence. Dans un premier temps, les études générales de types processus-produit à ce sujet seront mentionnées (2.2.1).
Une revue plus large des études consacrées au cas des mathématiques sera ensuite faite (2.2.2) et esquissera quelques manière de décrire une éventuelles influence des connaissances ma-thématiques de l’enseignant sur les résultats des élèves.
2.2.1 Les études processus-produit
La mesure des effets de l’enseignement sur l’apprentissage des élèves a fait l’objet de nom-breuses recherches de type processus-produit8, surtout aux USA depuis les années 1960 (Crahay, 2006). Ces tentatives de mesurer un effet-maître se sont surtout axées sur les aspects transversaux de l’enseignement. La question de l’effet des connaissances disciplinaires des enseignants y intervient peu (Hill, Rowan & Ball, 2005, p. 374; Shulman, 1986, p. 6), d’autant plus que ces études montrent que l’efficacité d’un enseignant à faire progresser les résultats de ses élèves est générale.
D’une manière générale, il apparaît qu’un enseignant – à moins qu’il ne faille dire une classe – caractérisé(e) par un score moyen élevé dans un domaine se caractérise égale-ment par des scores moyens élevés dans les autres domaines composant le test. (Crahay, 2006, p. 69)
2.2.2 Quelques études spécifiques aux mathématiques
En revanche dès que la question des connaissances disciplinaires des enseignants se pose, les mathématiques en apparaissent comme l’exemple emblématique (Fennema & Franke, 1992, p. 148 ). Dans ce contexte, de nombreuses études ont tenté de mesurer les effets potentiels des cours de mathématiques suivis par les enseignants et de leurs connaissances mathématiques sur la qualité de leur enseignement. Ces études sont si nombreuses dans le monde anglo-saxon que nous partirons d’abord ici de cinq revues d’études, celle de Fennema et Franke (1992), celle de Begle (1979), celle de Darling-Hammond (1999), celle du National Mathematics Ad-visory Panel (2008b) et celle de Ahn et Choi (2004) combinée avec celle de Kennedy, Ahn et Choi (2008).
Fennema et Franke (1992) relèvent que bon nombre d’études9 ne montrent pas de corrélation directe entre connaissances des enseignants et résultats des élèves. Citant d’autres études10, Darling-Hammond (1999, pp. 6-7) arrive également à la conclusion que :
7 Il est clair que les connaissances mathématiques des enseignants sont positivement corrélées à la réussite des élèves. Cepen-dant les preuves de la relation entre les connaissances mathématiques des enseignants de l’école primaire et du secondaire 1 et les résultats de leurs élèves ont été étonnement difficiles à produire.
8 Courant de recherche, développé dans le monde anglo-saxon depuis les années 1960, dont l’objectif est l’analyse des effets de l’enseignement sur l’apprentissage des élèves (Crahay, 2006, p. 3).
9 En particulier les études de Eisenberg (1977) ; General Accounting Office (1984) ; National Longitudinal Study of Mathe-matical Abilities (NLSMA) (1972).
10 En particulier les études de Andrews, Blackmon et Mackey (1980) ; Ayers et Qualls (1979) ; Haney, Madaus et Kreitzer (1986) ; Monk et King (1994) ; Quirk, Witten et Weinberg (1973) ; Summers et Wolfe (1975) et les revues d’études de Ash-ton et Crocker (1987) ; Begle et Geeslin (1972) ; Byrne (1983).
It makes sense that knowledge of the material to be taught is essential to good teaching, but also that returns to subject matter expertise would grow smaller beyond some min-imal essential level, which exceeds the demands of the curriculum being taught11.(p. 7) Cette absence d’influence des connaissances mathématiques des enseignants au-delà d’un certain niveau avait également été relevée par Begle (1979) au travers de 17 études. Askew, à la suite d’une étude sur les enseignants britanniques, affirme même que l’efficacité d’un en-seignant n’est pas associée à un haut niveau de qualification en mathématiques (Askew, 1999, p. 96).
De tels résultats sont assez décourageants pour les promoteurs d’une amélioration des connaissances disciplinaires des enseignants, au point que Begle conclut, dans son ou-vrage posthume, que : « the effects of a teacher's subject matter knowledge […] seem to be far less powerful than most of us had realized […]. Our attempts to improve mathematics educa-tion would not profit from further studies of teachers » (1979, pp. 54-55).
2.2.2.1 La revue du National Mathematics Advisory Panel
Une synthèse d’études paraissait au moment où ce travail de thèse débutait, celle de la com-mission d’experts, réunie par le président George W. Bush (National Mathematics Advisory Panel, 2008b). Cette commission réunissait des experts reconnus, tant mathématiciens que spécialistes de math education ou psychologues cognitivistes. Durant deux ans de travaux, elle a passé en revue plus de 16’000 rapports et recherches. Une des principales questions traitée est celle des enseignants et de leur formation, et en particulier des connaissances ma-thématiques des enseignants (National Mathematics Advisory Panel, 2008b, pp. 35-38).
L’effet des connaissances mathématiques des enseignants sur la réussite de leurs élèves est développé dans le rapport du sous-groupe de travail présidé par Deborah Ball (National Mathematics Advisory Panel, 2008a, pp. 20-36).
Le sous-groupe passe en revue les études comparatives en les distinguant d’une part selon leur qualité12 et d’autre part selon le type de mesure des connaissances des enseignants.
Lorsque cette mesure est faite à partir de la certification des enseignants13, aucune influence ne peut être dégagée (National Mathematics Advisory Panel, 2008a, pp. 21-25). Lorsque sont pris en compte les cours de mathématiques suivis durant la formation de premier cycle uni-versitaire14, certains effets sont mesurés, mais seulement au delà du neuvième degré (National Mathematics Advisory Panel, 2008a, pp. 25-29). En revanche certains effets apparaissent aux degrés élémentaires lorsque les études mesurent les connaissances mathématiques des ensei-gnants directement au moyen de tests15 (National Mathematics Advisory Panel, 2008a, pp. 29-33). De plus, les recherches qui font état des résultats les plus concluants sont celles qui mesu-rent les connaissances au plus proche des connaissances mathématiques utilisées lors de l’enseignement. Le rapport cite particulièrement celle de Hill, Rowan et Ball (2005) sur
11 Il est raisonnable de penser que la connaissance de la matière à enseigner est essentielle à un bon enseignement, mais aussi que l’effet de l’expertise dans la maîtrise de la matière croîtrait moins au delà d’un niveau minimal de base qui dépasserait les demandes du curriculum enseigné.
12 Les études de haute qualité sont celles qui ont un échantillon de grande taille, un contrôle statistique adéquat, des spécifica-tions multiples et/ou des test de robustesse des résultats, des données individuelles, et une identification adéquate des va-riables (National Mathematics Advisory Panel, 2008a, p. 17).
13 Les études considérées sont Darling-Hammond, 1999; Fetler, 1999; Goldhaber, & Brewer, 1997b; Goldhaber, & Brewer, 2000; Harris, & Sass, 2007a; Hawkins, Stancavage, & Dossey, 1998; Hill, Rowan, Ball, 2005; Kane, Rockoff, & Staiger 2006; King Rice, 2003; Larson, 2000; Mandeville, & Liu, 1997; Rowan, Correnti, & Miller, 2002
14 Les études considérées sont Darling-Hammond, 1999; Darling-Hammond, Berry, & Thoreson, 2001; Eisenberg, 1977;
Goldhaber, & Brewer, 1997b; Goldhaber, & Brewer, 2000; Harris, & Sass, 2007b; Hill, Rowan, & Ball, 2005; Monk, &
King, 1994; Monk, 1994; Rowan, Chiang, & Miller, 1997; Rowan, Correnti, & Miller, 2002
15 Les études considérées sont Clotfelter, Ladd, & Vigdor, 2007; Harbison, & Hanushek, 1992; Harris, & Sass, 2007b; Hill, Rowan, & Ball, 2005; Mullens, Murnane, & Willett, 1996; Rowan, Chiang, Miller, & 1997; Sheehan, & Marcus, 1978
quelle nous reviendrons en 3.2.2. On peut noter que ce denier point avait déjà été relevé par Fennema et Franke :
[…] when teacher knowledge of content has been defined in a way that is congruent with the nature of mathematics and/or when a conceptual organization of knowledge was considered, a positive relationship was found between content knowledge of teach-ers and their instruction. (1992, pp. 152-153)
2.2.2.2 Les revues de Kennedy et al.
Plus récemment encore, dans deux articles, l’équipe de la Michigan State University a fait de l’influence des connaissances mathématiques des enseignants sur les résultats des élèves une question méthodologique.
Kennedy, Ahn et Choi (2008) ont recensé les études16 « de qualité »17 étudiant les ef-fets sur les performances des élèves (mesurées par des augmentations de scores à des tests standardisés) des connaissances mathématiques de leur enseignants (mesurées par le nombre de cours de mathématiques suivis dans leurs parcours universitaires), de leur connaissances pédagogiques (mesurée par le nombre de cours suivi) et de leur « intelligence et bonne éduca-tion » (mesurée par le prestige de leur Alma Mater). Les résultats de ces études sont ramenés à une même échelle et comparés. Constatant un certain nombre de contradictions entre les études, les auteurs estiment qu’une des causes de ces contradiction se trouve dans des pro-blèmes méthodologiques (Kennedy et al., 2008, p. 6). Leurs conclusions tendent à montrer l’existence d’une corrélation, toutefois relativement faible, entre la qualité des apprentissages des élèves et les cours suivis par leurs enseignants dans les domaines des mathématiques, de la pédagogie et de l’enseignement des mathématiques. De plus, une corrélation négative est même constatée pour certains cours de mathématiques « avancés », ce qui met les chercheurs dans l’embarras et les conduit à chercher une hypothèse explicative dans les qualités préa-lables des enseignants qui, alors qu’il étaient étudiants, ont suivis ces cours supplémentaires : ce seraient ceux qui ont une personnalité, des valeurs ou des convictions différentes des autres étudiants (Kennedy et al., 2008, p. 15).
Plus fondamentalement, les auteurs concluent qu’il serait nécessaire d’examiner le contenu effectif des cours suivis (p. 27). Hill (2007) signale d’ailleurs que l’influence des cours de mathématiques suivis par les enseignants lors de leurs études initiales devrait impéra-tivement être distinguée selon le degré scolaire dans lequel ils enseignent ensuite (p. 111).
Cette question de la mesure des connaissances mathématiques des enseignants avait déjà été discutée par une partie de la même équipe. Ahn et Choi (2004) passent en revue 41 études quantitatives et font une méta-analyse de 27 d’entre-elles18 et, après une étude détaillée des types de mesures, arrivent à la conclusion que l’effet observé dépend essentiellement du type de mesure des connaissances mathématiques des enseignants. Si ces connaissances sont
16 Aaronson, Barrow & Sander (2003) ; Betts, Zao & Rice (2003) ; Brewer & Goidhaber (1996) ; Goidhaber & Brewer (1996a, 1997a, 1997b, 1999, 2000) ; Chiang (1996) ; Rowan, Chiang, Miller (1997) ; Clotfetler, Ladd, Vigdor (2004a, 2004b, 2006) ; Darling-Hammond, Holtzman, Gatlin & Hellig (2005a ; 2005b) ; Decker, Mayer & Glazerman (2004) ; Eberts &
Stone (1984) ; Fagnano (1988) ; Guarino, Hamilton, Lockwood & Rathbun (2006) ; Harris & Sass (2006) ; Hilt, Rowan &
Ball(2005) ; Monk (1994) ; Monk & King (1994) ; Raymond & Fletcher (2002a, 2002b) ; Raymond et al. (2001) ; Rowan, Correnti & Miller (2002) ; Rowley (2004) ; Taddese (1997).
17 « We address these problems in part by limiting ourselves to stronger research studies, studies that are more likely to have addressed these issues. We include only those studies that meet these important criteria. […] Our criteria have been recog-nized by numerous other researchers as indicators of better research designs.» (Kennedy et al., 2008, pp. 9-11).
18 Bachman (1968) ; Bassham (1962) ; Begle (1972) ; Begle & Geeslin (1972) ; Brown (1988) ; Caezza (1969) ; Chiang (1996) ; Dicks (1990) ; Bigenberg (1977) ; Fagnano (1988) ; Hawk (1985) ; Hawk, Coble, & Swanson (1985) ; Koch (1972) ; Kim (1992) ; Lampela (1966) ; Vlandeville&Liu (1997) ; Moody (1968) ; Moore (1965) ; Peskin (1964) ; Frather (1991) ; Frekeges (1973) ; Teddelie, Falk, & Falkowski (1983) ; Turgoose (1996) ; Reed (1986) ; Rouse (1967) ; Smith (1964) ; Soeteber (1969).
mesurées par leur parcours scolaire en mathématiques, l’effet est quasi nul (très légèrement positif pour les enseignants secondaire et très légèrement négatif pour les enseignants pri-maires). En revanche, si les connaissances sont mesurées par un test, leur effet sur les résultats des élèves est manifeste.
Ahn et Choi incitent donc à la plus grande prudence dans la manipulation des résul-tats d’enquête : « Thus we argue that educational researchers and policy makers should care-fully examine different aspects of measurement such as scales, types of measures, and unit of analysis before making inferences from the findings » (pp. 33-34). Ils appellent à des mesures plus fines des connaissances mathématiques des enseignants (p. 32). Les auteurs font de plus une claire distinction entre les études quantitatives qui ne montrent que des effets limités et les études qualitatives qui se concentrent plus sur les pratiques d’enseignement que sur les résul-tats des élèves et démontrent plus clairement un effet positif des connaissances mathéma-tiques des enseignants (Ahn & Choi, 2004, p. 32).
Cette distinction était déjà signalée par Fennema et Franke (1992) qui citent plusieurs recherches qualitatives19, s’intéressant à l’enseignement lui-même comme médiation entre les connaissances de la matière de l’enseignant et l’apprentissage des élèves, permettant de mettre en évidence un effet des connaissances mathématiques des enseignants : « From the descrip-tions of their teaching, it is clear that the teachers' knowledge of mathematics had an impact on their instruction. The nature of that impact and the impact on their students' learning is less clear» (p. 149).
C’est précisément la question de la nature de cet impact que cette thèse vise à explo-rer. Quelques pistes ont été ouvertes, en partie justement par certaines recherches qualitatives, et sont explorées ici rapidement.
2.2.2.3 Quelques chemins d’influence possibles
Pour expliquer les contradictions entre les études de l’influence des connaissances mathématiques des enseignants sur les performances des élèves, Muijs et Reynolds font l’hypothèse qu’il y aurait un effet de seuil : un niveau de connaissance minimal de connais-sances mathématiques serait nécessaire, mais, au delà d’un certain point, une sorte de « Loi des rendements décroissants » opérerait (2002, p. 6). Dans leur propre étude quantitative, ces deux auteurs élaborent un modèle théorique des influences (Figure 1), mais leurs données, recueillies sur 103 enseignants primaires britanniques, les amènent à conclure à une influence directe non significative des connaissances des enseignants sur la réussite des élèves (p. 12).
Ils relèvent en revanche une influence indirecte, via le comportement de l’enseignant (Figure 2).
19 Dans le domaine de l’enseignement des mathématiques : Ball (1991) ; Carpenter & Fennema (1992) ; Carpenter, Fennema, Peterson & Carey (1988) ; Fennema, Carpenter & Peterson (1989) ; Lampert (1989) ; Schoenfeld (1985). Pour d’autres branches : Hashweh (1986) ; Wineburg and Wilson (1991).
Figure 1 : Modèle théorique des relations entre les caractéristiques de l’enseignant et l’apprentissage de l’élève (Muijs & Reynolds, 2002, p. 7)20.
Figure 2 : Facteurs influençant la réussite de l’élève (Muijs & Reynolds, 2002, p. 11)21.
Comme pour la plupart des études de type processus-produit, ces résultats sont à prendre avec prudence, toutefois ils indiquent l’intérêt d’étudier plus précisément l’influence des connais-sances mathématiques de l’enseignant sur son comportement en classe.
Pour décrire plus finement ce comportement, Stein et ses collègues ont lié les défauts dans les connaissances mathématiques d’un enseignant de 5ème degré à sa difficulté à créer des occasions de connexion pour ses élèves entre les notions mathématiques et entre les
Pour décrire plus finement ce comportement, Stein et ses collègues ont lié les défauts dans les connaissances mathématiques d’un enseignant de 5ème degré à sa difficulté à créer des occasions de connexion pour ses élèves entre les notions mathématiques et entre les