Inuence de la cavité arrière

7.4.1 Description et modélisation du phénomène

Lorsqu'un lm uide se trouve piégé entre une plaque xe et une plaque mobile, une force s'opposant au mouvement de la structure est produite par le uide. On appelle ce phénomène "amortissement de la cavité arrière" ou selon l'anglicisme "squeeze lm dam- ping". Ce type de phénomène est très courant dans tous les micro-systèmes [115, 135, 6]. Il dépend d'une part des dimensions physiques de la cavité c'est-à-dire la longueur, la largeur de la structure et aussi de l'épaisseur de la cavité remplie du uide. Ce phénomène prend en compte les conditions du uide telles que la pression ambiante, la température et le coecient de viscosité dynamique du uide mais aussi la vitesse de la plaque mobile.

Figure 7.7  Amortissement de la cavité arrière entre 2 plaques parallèles

Pour étudier ce phénomène on suppose que l'équation de Navier-Stokes est valide ce qui entraîne les hypothèses suivantes :

1. Le uide suit un écoulement de Stokes (terme d'inertie négligeable devant la visco- sité).

7.4. INFLUENCE DE LA CAVITÉ ARRIÈRE

2. L'écoulement du uide aux bords des plaques est supposé parabolique (équation de Poiseuille).

3. Il existe un fort aspect-ratio entre l'épaisseur du lm et les dimensions latérales de la cavité.

4. La pression est homogène entre les plaques. 5. Le gaz obéit à la loi des gaz parfaits. 6. Le système est isotherme.

On peut alors introduire l'équation de Reynolds qui décrit la variation de pression dans la cavité. Cette équation est en fait la linéarisation de l'équation générale dans le cas d'un système isotherme (équation (7.85)).

12η Pah3_GAP  hGAP ∂p ∂t − Pa ∂w ∂t  = ∇2p (7.85) avec  Pa la pression ambiante,

 p la variation de pression dans la cavité,

 η le coecient de viscosité dynamique du uide,  w le déplacement en z de la plaque mobile,  hGAP la hauteur de la cavité,

 ∇2 _{l'opérateur Laplacien.}

Dans le cas des micro-systèmes, il est toutefois important de vérier si nous sommes en situation de gaz raréé. En eet, lorsque l'espace moyen d'une molécule du uide λ est signicatif devant l'épaisseur du lm, il est nécessaire de prendre en compte le glissement de ces molécules et alors, ni l'équation de Navier-Stokes ni l'équation de Reynolds ne restent valides.

Ainsi, le nombre de Knudsen Kn déni par le rapport entre l'espace libre moyen d'une molécule du uide sur la hauteur de gap permet de vérier cette propriété. Si Kn<1/100, les équations restent valable. Si par contre Kn>1, il est alors nécessaire d'utiliser des modèles de "molécules libres" comme par exemple le modèle de Christian [6]. Entre ces deux domaines, on introduit une viscosité eective inférieure à la viscosité du uide an de prendre en compte le glissement des molécules. Ils existent alors de nombreuses expressions de la viscosité eective basées sur des lois empiriques ou extraites de l'expérimentation. Nous citerons ici les deux plus utilisées :

l'une, empirique, proposée par Veijola et al.[135] : ηef f =

η 1 + 9.658K1.159

n

(7.86) l'autre basée sur les expérimentations de Andrews et al.[2], proposée par Li [76] :

ηef f =

η

1 + 6.8636K0.9906 n

(7.87) De l'équation (7.85), on peut extraire analytiquement la solution pour une plaque rec- tangulaire encastrée en ces bords en régime harmonique. La solution est alors composée

d'une force de rappel Fd en phase avec le déplacement et une force d'amortissement Fsen phase avec la vitesse de la plaque [137].

Fd = A 64σPalL πhGAP X m,n impair m2+ n2c2 (mn)2_(m2_{+ n}2_c2₎2_{+ σ}2_/π4 (7.88) Fs = A 64σ2_P alL π8_h GAP X m,n impair 1 (mn)2_(m2_{+ n}2_c2₎2_{+ σ}2_/π4 (7.89) où  l la largeur de la cavité,  L la longueur de la cavité,  c le rapport l/L,  A l'amplitude du déplacement,  σ le "squeeze number".

On dénit le "squeeze number" par :

σ = 12ηef fw 2_ω

PahGAP (7.90)

avec ω la fréquence angulaire de l'oscillation de la membrane.

A partir de ce paramètre, il est ainsi assez facile de voir quelle force est prédominante sur l'autre. Lorsque le squeeze number est supérieur à 10, la force de rappel est prédominante alors que sinon, le mouvement est amorti par la cavité.(voir gure 7.8)

Figure 7.8  Impact du "squeeze number" sur la répartition des phénomènes de cavité

7.4.2 Exemple d'application et conclusion

Pour mieux se rendre compte de l'impact de cet eet sur le fonctionnement d'une cellule cMUT, on se propose d'étudier un cas précis de géométrie. Le choix de cet exemple s'est

7.4. INFLUENCE DE LA CAVITÉ ARRIÈRE

tourné vers un cMUT pour applications de propagation dans l'air, de fréquence inférieure à 1 MHz (voir chapitre 3.1). Pour cela, une membrane carrée de 125 µm de coté et de 500 nm d'épaisseur en nitrure de silicium est simulée. Une résolution en chargement harmonique sans prise en compte de l'eet de la cavité nous fournit une fréquence de résonance autour de 500 kHz (gure 7.9). On suppose une épaisseur de cavité de 500 nm. Cette conguration induit la nécessité de l'équilibre des pressions extérieure/intérieure de la cavité. En eet, la pression atmosphérique à elle seule sut à dééchir la membrane jusqu'au fond de la cavité.

On peut donc calculer le nombre de Knudsen tel que λ = 70nm et hGAP = 500nm. Kn=

λ hGAP

= 0.14 > 1

100 (7.91)

On est ici dans le cas d'un gaz raréé. En appliquant l'expression de la viscosité eective de Veijola, on trouve ηef f = 9.30.10−6. De même, on calcule le "squeeze number" pour une fréquence angulaire ω = 2π × 500 kHz,

σ = 224.40 (7.92)

On se retrouve dans le cas où le uide de la cavité peut être considéré comme com- pressible. Ainsi, l'eet prédominant est l'augmentation de la fréquence de résonance de la cellule cMUT.

An d'étudier plus précisément cet exemple, on se propose d'utiliser une modélisation par éléments nis avec le logiciel COMSOL Multiphysics®_{. Celui-ci intègre l'amortissement}

du uide à l'aide des équations posées par Veijola [6]. La résolution du problème se fait par chargement harmonique de la cellule entre 0 et 2,5 MHz (gure 7.9).

Pour aner l'étude de ce phénomène, on se propose de regarder l'impact de la hauteur de cavité sur la réponse fréquentielle. En plus de la hauteur de cavité initiale, les réponses harmoniques pour des hauteurs de 1, 2 et 3 microns sont calculées. On observe, comme prévu, que la fréquence de résonance, est fortement augmentée par les eets de la cavité arrière (autour de 2 MHz pour la hauteur de 500 nm). De plus, pour diminuer ces eets, il est nécessaire d'atteindre une hauteur de cavité de 3 microns ce qui, technologiquement est très dicile (en micro-usinage de surface, il est généralement préférable que la hauteur de cavité soit inférieure à l'épaisseur de cavité).

Nous avons donc vu l'impact de ce type de phénomène sur le comportement dynamique des cMUTs. Évidemment, des solutions existent pour réduire cet eet, comme l'augmenta- tion de la taille de la cavité ou la perforation de la face avant ou arrière de la membrane an de laisser l'air libre [15]. Cette dernière proposition a d'ailleurs fait l'objet de nombreuses études par modélisation [136, 134, 108].

Figure 7.9  Réponse en fréquence de la vitesse de la membrane pour diérentes congu- rations

Chapitre 8

Description et étude du modèle en

diérences nies

8.1 Introduction - Choix du type de modèle

Dans le chapitre précédent, une analyse des phénomènes physiques mis en jeu dans le fonctionnement des technologies cMUT a été présentée, et, ainsi diérents moyens de modélisation ont été identiés. La stratégie de modélisation que nous avons choisi est un compromis entre modélisation numérique et modélisation analytique [28]. D'un point de vue mécanique, le choix s'est porté sur une modélisation numérique de type "plaque multi- couche de Kirchho" (cf. section 7.2.5) résolue avec un schéma en diérences nies. Il s'est fait notamment aux vues des applications visées par notre équipe de recherche. En eet, la majorité de nos applications étant médicales, les fréquences de résonance sont comprises généralement entre 1 MHz et 20 MHz dans l'eau ce qui engage un fort aspect-ratio entre largeur et épaisseur des membranes. De plus, notre choix s'est limité à l'ordre des petites déformations car la hauteur de cavité des cellules (et donc le déplacement maximal de la membrane) peut être considéré comme petite devant l'épaisseur totale des membranes (typiquement 200 nm à 800 nm). Du point de vue de l'électrostatique, une simple hypothèse de condensateur-plan pour chaque n÷ud du maillage a été prise en compte, compte tenus des aspects ratio en termes de surfaces d'électrodes.