Hypothèse simplicatrice d'un transducteur piston

Cette dernière partie sur le chargement du uide consiste à présenter une hypothèse simplicatrice du chargement en vu de l'intégration d'un calcul multi-cellules (voir chapitre 18.2). En eet, le chargement, tel qu'il est présenté dans le chapitre précédent, nécessite, à chaque itération de temps t, des opérations matricielles consommatrices de temps de calcul. Les matrices mises en place ont alors une dimension de N × N × (t − 1) où N est le nombre de mailles du problème.

On se propose ici de déterminer le piston rectangulaire équivalent de la source an de réduire le calcul matriciel d'une dimension (N ×(t−1)). Pour cela, la réponse impulsionnelle de diraction est calculée pour chaque élément cible du maillage avec une source "piston équivalent" dont la largeur est celle de la membrane pondérée par un coecient β. An d'obtenir un volume moyen balayé équivalent à celui du modèle distribué, l'accélération du piston est déterminé par la moyenne des accélérations de l'ensemble des points du maillage pondérée par le coecient inverse de celui du piston 1/β. L'ajustement du coecient β se fait par comparaison entre le déplacement du calcul approché et celui du calcul exact.

Figure 13.4  Comparaison entre le calcul exact (noire) et le calcul avec piston équi- valent (rouge) du déplacement moyen d'une membrane 20×20 µm2 _{(a) et comparaison} des réponses impulsionnelles de diraction calculées au point central (trait plein) pour l'ensemble des points de la membrane (noire) et le piston équivalent (rouge) (b)

A titre d'illustration, la gure 13.4 présente la comparaison du modèle "piston équi- valent" avec le modèle exact. Ici, une impulsion centrée à 20 MHz de 10 V avec une tension de polarisation de Vcollapse

2 = 45 V est appliquée au borne de la cellule cMUT. Un coe- cient de pondération β = 0.57 a été ajusté pour cette conguration particulière de cellule présentée dans le tableau 13.1. Le milieu uide est de l'eau de célérité c0 = 1500m/s et de masse volumique ρ0= 1000 kg/m3.

On peut remarquer que le déplacement moyen calculé avec le modèle approché est très proche du modèle exacte (gure 13.4-(a)). La comparaison des SIR (gure 13.4-(b))

13.4. HYPOTHÈSE SIMPLIFICATRICE D'UN TRANSDUCTEUR PISTON

Caractéristiques Membrane Electrode Cavité

Largeur lmb = 20 µm lel =14 µm

Epaisseur hmb = 450 nm hel = 350 nm 200 nm

Module d'Young Emb = 135 GPa Eel = 70 GPa

Coecient de Poisson νmb = 0.22 νel = 0.35 Masse volumique ρmb = 3000 kg/m3 ρel = 2700 kg/m3

Permittivité électrique mb= 9.50 0 = 8.854 10−12

Table 13.1  Caractéristiques mécaniques,géométriques et électrostatiques de la membrane simulée pour la comparaison modèle "piston équivalent"/modèle exact

calculées au centre de la cellule montre que le chargement du uide par le piston est diérent de celui en modèle exact. Pour avoir la même SIR, il faudrait prendre la SIR d'un piston de la même taille que la membrane mais alors le chargement serait totalement surestimé du fait d'un rayonnement trop important par rapport à la réalité. Les décalages de temps observés sur la gure 13.4-(b) sont de quelques millièmes de microsecondes, ils ne sont évidemment absolument pas signicatifs à l'échelle des temps acoustiques (de l'ordre de la microseconde). Le gain en temps de calcul apporté par cette approximation, est pratiquement d'un facteur 10 pour cet exemple et justie pleinement son intérêt.

Chapitre 14

Validation théorique du Modèle

Dans cette section, nous confrontons notre modèle de résolution des équations de la membrane cMUT au modèle "petits signaux" présenté dans le chapitre 8.5.2. Les conditions d'excitation que nous choisissons respectent cette hypothèse, à savoir que la tension émise est d'amplitude très inférieure à celle de la polarisation.

14.1 Validation du modèle temporel dans le vide

La conguration de base utilisée pour la comparaison entre les deux modèles est celle présentée dans le tableau 8.2 où la surface métallisée recouvre 50% de la surface totale. Dans les deux modèles, le même schéma de discrétisation est utilisé, composé d'un maillage de 7×7 éléments. De plus, pour le modèle temporel, an de rester dans le cadre de petits signaux large bande, une excitation d'une demi-arche de sinusoïde centrée à 30 MHz est appliquée avec une amplitude de 0.5 V.

La première comparaison (gure 14.1) consiste à faire varier la tension de polarisation de l'excitation et de comparer les réponses fréquentielles des deux modèles. Pour le calcul temporel, un pas de temps de 3.10−10 _{s est appliqué pour que le calcul converge et un} échantillonnage de plus de 20 000 points est utilisé an d'obtenir la totalité du signal, qui est faiblement amortie dans le vide. De plus, pour obtenir une résolution fréquentielle susante et éviter un bruit numérique trop important, un sous-échantillonnage du signal par 15 suivi d'une transformée de Fourier avec un zero-padding de 10 000 points permet d'obtenir une résolution fréquentielle à peu près équivalente avec la résolution de 40 kHz/points calculée avec le modèle linéarisé sous chargement harmonique. La gure 14.1 montre donc que pour chaque tension de polarisation qui varie entre 10% et 90% de la tension de collapse (Vcollapse= 97.6 V), les réponses fréquentielles des deux modèles sont identiques. De plus, cette courbe illustre bien l'eet de softening (diminution de la fréquence de résonance en fonction de la tension de polarisation) déjà identié dans les chapitres 1.2 et 4.3.

Dans la seconde étude, on se propose d'étudier la variation de la fréquence de résonance en fonction de l'épaisseur de membrane. L'épaisseur de la membrane de nitrure de silicium est comprise entre 100 nm et 750 nm avec un pas d'incrémentation de 50 nm (voir gure 14.2-(a)). On remarque que les deux courbes se superposent et que la déviation (courbe

Figure 14.1  Variation de la réponse fréquentielle de la vitesse d'une membrane 20×20 µm2en fonction de la tension de polarisation - courbe rouge : résolution temporelle - cercle noir : résolution fréquentielle

Figure 14.2  (a) Variation de la fréquence de résonance d'une membrane 20×20 µm2_en

fonction de l'épaisseur de SiN (bleu : résolution temporelle - noir : résolution fréquentielle) (b) Variation de la déviation entre les deux modèles

14.2-(b)) est inférieure à 1%. La variation de la déviation entre les deux modèles, qui est beaucoup plus grande pour une épaisseur de 100 nm que pour 750 nm, s'explique par le fait que l'impact d'une résolution fréquentielle légèrement plus faible du modèle

14.2. VALIDATION DU CHARGEMENT DU FLUIDE

temporel est évidemment beaucoup plus important sur la précision des plus faibles valeurs de fréquences de résonance. La diérence absolue entre les deux modèles est d'ailleurs relativement constante autour de 20 kHz pour l'ensemble de l'étude.

Nous avons ainsi montré, qu'en hypothèse de "petits signaux", le modèle temporel produit bien les mêmes résultats que ceux du modèle linéarisé au premier ordre. Ce résultat est somme toute normal puisque le modèle reste le même aux niveaux des hypothèses mécaniques et du schéma de discrétisation. Il est à noter que le modèle fréquentiel est 2 fois plus rapide que le modèle temporel (15 secondes contre 30 secondes pour la résolution temporelle).