a Influence de la durée du passage adiabatique Δt E

Les valeurs extrémales du champ électrique sont fixées à 2, 45 V/cm et 2, 24 V/cm, ce qui correspond à des fréquences de la transition |51, k = 0 → |51, k = 1 de

respecti-vement 240 MHz et 219 MHz. Les durées d’allumage et d’extinction de la radiofréquence Δtrf sont de 1μs pour s’assurer que l’on respecte la condition d’adiabaticité (III.28). Nous avons testé trois vitesses de passage adiabatique différentes : ΔtE = 0, 5μs (fig.III.19a), ΔtE = 1, 5μs (fig.III.19b) et ΔtE = 6μs (fig.III.19c).

Pour chaque intensité du champ radiofréquence, nous mesurons le nombre d’atomes préparé dans le niveau |51, m = 2 dans une séquence dite de « normalisation » où l’on

n’applique pas de radiofréquence. On joue ensuite une deuxième séquence durant laquelle a lieu le passage adiabatique, suivi d’une impulsion de sonde qui transfère un niveau

|51, ks vers la multiplicité n = 49. On compte alors le nombre d’atomes dans l’état |49, ks. Connaissant l’efficacité de la sonde ηs, on peut connaitre le nombre d’atomes dans l’état|51, ks. On trace alors ce nombre d’atomes, normalisé par le nombre d’atomes

initialement dans le niveau |51, m = 2 et corrigé de l’efficacité de détection η = 0, 21 du

niveau|51, m = 2, paramètre que nous discuterons plus tard. La probabilité d’occupation Pk du niveau |51, ks est ainsi donnée par

Pk = ^{#(49, ks)ηs}

#(51, m = 2)η^{. (III.33)}

radio-III.2. Circularisation par passage adiabatique 113 fréquence. Celle-ci est déterminée expérimentalement en mesurant à l’oscilloscope l’am-plitude de la radiofréquence U_1,pp qui est proportionnelle à la fréquence de Rabi Ω⁺₂₁/2π

de la transition |2 → |1 (cf fig.II.29a). Cette fréquence n’est cependant pas égale à la

vrai fréquence de Rabi du champ radiofréquence Ω_R. Elle est néanmoins proportionnelle puisque Ω⁺₂₁ est définie par

Ω+ 21

2 ⁼2| ˆV |1 = qFrf2|ˆz|1 (III.34) et par définition ΩR = 3nqa₀F_rf. On a donc la relation

Ω⁺₂₁= ²

3na₀2|ˆz|1ΩR. (III.35)

Le facteur de proportionnalité entre Ω⁺₂₁ et Ω_R a été calculé numériquement et vaut 7, 63. Ce facteur est utilisé pour tracer les probabilités d’occupation Pk en fonction de la fré-quence de Rabi de la radiofréfré-quence Ω_R (fig.III.19).

On distingue deux phases sur ces trois courbes. Pendant la première, qui conserne les faibles valeurs de Ω_R, la population est transférée du niveau de départ |51, m = 2 vers le

niveau circulaire. Avant que ce dernier ne soit atteint, les états |51, k = 2 et |51, k = 1

se peuplent transitoirement. Tous deux se dépeuplent ensuite et la majeure partie de la population est mesurée sur l’état |51, k = 0. L’intensité nécessaire pour atteindre le

niveau circulaire dépend comme on s’y attend de la vitesse du passage adiabatique : plus le champ est varié rapidement, plus l’intensité doit être grande. Ces courbes s’interprètent en terme de probabilité d’anti-croisements. En augmentant Ω_R, les niveaux habillés |±

deviennent de plus en plus séparés en énergie et la probabilité de faire un anti-croisement décroit. Pour des valeurs suffisantes de Ω_R, le couplage est tel que le système finit avec une grande probabilité dans l’état circulaire. Durant cette phase, les niveaux |51, k = 1 et |51, k = 2 ne sont pas peuplés à l’exception du passage adiabatique de 6 μs (cf fig.III.19c).

Pour les deux autres, nous en déduisons que le champ radiofréquence est très bien polarisé et qu’aucune transition σ⁻ n’est effectuée. Cela justifie a posteriori l’absence d’atomes dans le niveau |51, k = 2 dans l’étalonnage de la sonde du circulaire.

La deuxième phase s’observe pour les grandes valeurs de Ω_R : la population du niveau circulaire diminue au profit de la population du niveau |51, k = 1 et même du niveau |51, k = 2 (cf fig.III.19a), preuve d’une augmentation de la composante σ− du champ radiofréquence. Cette augmentation pourrait s’expliquer simplement par le fait que Ω⁻ est proportionnelle à Ω_R. Cependant, les simulations prédisent dans ce cas une évolution des populations plus lente que celle effectivement mesurée. L’augmentation rapide de la composante σ⁻ peut donc être imputée à une dégradation de la polarisation du champ radiofréquence. En effet, le réglage de la polarisation a été fait à Ω_R = 3, 5 MHz et n’est plus optimal pour les grandes valeurs de Ω_R.

Un effet similaire de dégradation de la polarisation s’observe sur la courbe III.19c pour de très faibles valeurs de Ω_R. La circularisation s’opère ici à très basse intensité (∼ 1 MHz) et montre le peuplement du niveau |51, k = 1, ce qui laisse supposer que la

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 P^k ( Ω^R ) Fréquence de Rabi Ω_R/2π (MHz) (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 P^k ( Ω^R ) Fréquence de Rabi Ω_R/2π (MHz) (b) 0 1 2 3 4 5 6 7 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 P^k ( Ω^R ) Fréquence de Rabi Ω_R/2π (MHz) (c)

Figure III.19 – Circularisation par passage adiabatique pour trois vitesses de variation du champ électrique différentes. (a) ΔtE = 0, 5μs (b) ΔtE = 1, 5μs (c) ΔtE = 6μs. Nous avons chaque fois tracé l’évolution des probabilités d’occupation Pk en fonction de la fréquence de Rabi Ω_R/2π. La convention de couleur est celle de la figure III.13. Sur la

figure (c), les points gris indiquent la somme des populations des niveaux |51, k = 0 et |51, k = 1. Les comptes tiennent compte des efficacités des sondes (η₀ = 83%, η₁ = 89%,

η₂ = 82%, η₁ = 67% et η₂ = 54%) mesurées le même jour que les données. Les barres d’erreurs intègrent la dispersion des comptes et l’incertitude sur l’efficacité des sondes, estimée sur un jeu de plusieurs mesures. Les traits pleins sont les simulations numériques, sans aucun paramètre libre. Le niveau|51, m = 2 est indiqué en magenta pour indication.

III.2. Circularisation par passage adiabatique 115 polarisation est aussi dégradée dans cette gamme d’intensité. Le dépeuplement du niveau

|51, k = 1 lorsque la fréquence de Rabi s’approche de ΩR = 3, 5 MHz prouve que c’est bien la polarisation qui est en cause.

Les mesures réalisées nous montrent que, les deux effets considérés simultanément, l’état circulaire le plus pur est obtenu de façon équivalente pour un passage adiabatique de 1, 5μs (fig.III.19b) avec ΩR = 3, 5 MHz ou un passage adiabatique de 0, 5μs (fig.III.19a) avec Ω_R = 5 MHz. Dans les deux cas, on mesure une pureté de 97, 6%. Les simulations numériques montrent cependant que le passage adiabatique en 1, 5μs respecte mieux les conditions d’adiabaticité. Sur le signal d’ionisation d’un tel passage adiabatique, le pic d’ionisation du niveau circulaire n’est pas contaminé par d’autres niveaux, ce qui nous permet de calibrer l’efficacité du détecteur ηd.

Ces simulations sont faites en calculant l’évolution Hamiltonienne du système au cours du temps. Nous supposons que le champ radiofréquence en parfaitement polarisé σ⁺: seuls les n niveaux de la multiplicité couplés par la composante σ⁺ sont pris en compte. Nous avons au préalable calculé les énergies et les éléments de matrice de ces niveaux pour des champs électriques compris entre 2, 45 V/cm et 2, 24 V/cm. Le champ électrique est pris constant pendant les phases d’allumage et d’extinction de la radiofréquence et varie linéairement pendant le passage adiabatique. L’impulsion de radiofréquence, quant à elle, est idéalement de forme trapézoïdale : allumage linéaire pendant 1μs, période constante pendant une durée variable, extinction linéaire pendant 1μs. En réalité, cette forme d’im-pulsion est celle que l’on commande via la tension de modulation Vmodqui module en temps réel l’amplitude des signaux radiofréquences (cf §II.1.5.a). En pratique, la non-linéarité de l’amplitude du champ radiofréquence avec cette tension de modulation modifie la forme de l’impulsion. Plutôt qu’un allumage brusque, on observe un allumage progressif, et il en est de même pour l’extinction. Les simulations montrent qu’il est important de tenir compte de cet effet pour reproduire les observations expérimentales, ce que nous avons fait en reproduisant la forme réelle de l’impulsion. Les simulations numériques n’ont ici aucun paramètre libre et présentent un accord qualitatif avec les données expérimentales. Sur la figure III.19c, la somme des populations des niveaux |51, k = 0 et |51, k = 1 est

tracée (points gris) pour montrer qualitativement l’accord des données avec les simulations numériques puisque celles-ci ne prennent pas en compte la composante σ⁻.

Pour les grandes valeurs de Ω_R, les simulations montrent des oscillations du niveau circulaire qui prouvent qu’une des conditions d’adiabaticité n’est plus respectée à très grande fréquence de Rabi. C’est ici la condition (III.28) sur l’allumage et l’extinction de la radiofréquence qui est mise en cause.

La figure III.20 fait le lien entre la dégradation de la polarisation du champ radio-fréquence et l’appauvrissement du niveau circulaire sur les passages adiabatiques. Ces mesures sont réalisées dans des conditions optimales de circularisation (ΔtE = 1, 5μs et Ω_R = 3, 5MHz) en dégradant volontairement la phase relative entre les paires d’électrodes

{1, 3} et {2, 4}. Le niveau circulaire se dépeuple au profit du niveau |51, k = 1 puis

-20 -10 0 10 20 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 P(k) Phase relative {1,3} - {2,4} (°)

Figure III.20 – Influence de la polarisation de la radiofréquence sur la circularisation. Nous avons mesuré ici les probabilités d’occupations après un passage adiabatique de 1, 5μs à une puissance de 3, 5 MHz en faisant varier la phase relative entre les paires d’électrodes radiofréquences {1, 3} et {2, 4}. Le code de couleurs est toujours celui de la

figure III.13. On observe que le niveau circulaire se dépeuple sous l’action de la composante

σ⁻et que le niveau|51, k = 1 se pleuple transitoirement. On évalue ainsi quelle précision

il est nécessaire d’avoir sur cette phase pour optimiser la circularisation.

phase de 1^◦, on mesure un peuplement de l’état k = 1^ d’environ 5%. A une puissance donnée, il est donc essentiel que la phase des électrodes soit stable de mieux qu’un degré d’un jour à l’autre. L’asservissement en phase des quatre voies du synthétiseur assure une telle stabilité.