Neste caso, a popula¸c˜ao total N ´e constante e n˜ao h´a dinˆamica vital, isto ´e, na popula¸c˜ao estudada n˜ao s˜ao considerados nascimentos nem mortes.
Seja r a taxa de transmiss˜ao da doen¸ca. Como essa transmiss˜ao se d´a com o encon- tro entre indiv´ıduos suscet´ıveis e infectados, ent˜ao a varia¸c˜ao de indiv´ıduos suscet´ıveis em rela¸c˜ao ao tempo pode ser modelada por rSI. Seja γ a taxa de recupera¸c˜ao da doen¸ca. Considere a varia¸c˜ao dos indiv´ıduos infectados com rela¸c˜ao ao tempo proporcional ao pr´oprio n´umero de indiv´ıduos infectados, ent˜ao o retorno `a classe de suscet´ıveis ser´a mo- delado por γI. Com isso, neste caso o modelo SIS pode ser representado pelo diagrama a seguir:
Figura 2.10: Esquema do modelo epidemiol´ogico SIS com N constante (sem dinˆamica vital).
Fonte: Do Autor (2015), com adapta¸c˜oes de [12].
indiv´ıduos infectados, adquirem a doen¸ca e passam para a classe de infectados. Do mesmo modo, os indiv´ıduos infectados, ao se recuperarem, n˜ao adquirem imunidade e retornam `a classe de suscet´ıveis.
O sistema de EDO’s que rege este modelo ´e adaptado do sistema (2.70), conforme abaixo:
˙S = −rSI + γI
˙I = rSI − γI (2.75)
onde, r, γ > 0 e N = S + I.
Estabilidade
As fun¸c˜oes s˜ao f1(S, I) = −rSI + γI e f2 = rSI − γI. Os pontos de equil´ıbrio s˜ao
encontrados fazendo f1(S, I) = 0 e f2(S, I) = 0. [I(−rS + γ] ∩ [I(rS − γ)] [I = 0 ∪ (−rS + γ = 0)] ∩ [I = 0 ∪ (rS − γ = 0)] I = 0 ∩ I = 0 → X¯1 = ( ¯S1, ¯I1) = (S, 0). Adotando-se S = N, ent˜ao: ¯X1 = ( ¯S1, ¯I1) = (N, 0). I = 0 ∪ rS − γ = 0 ⇒ S = γ r Mas, I = N − S. Segue que, ¯X2 = ( ¯S2, ¯I2) = (γr, N − γr).
Portanto, os pontos de equil´ıbrio, s˜ao: ¯X1 = (N, 0) e ¯X2 = (γr, N − γr).
A an´alise de estabilidade desses pontos conforme estudamos nos outros sistemas epidemiol´ogicos, ser´a feita atrav´es das carecter´ısticas do tra¸co (Θ) e do determinante (Γ) da matriz de coeficientes do sistema localmente linear, conforme resultados apresentados
no cap´ıtulo anterior. Para isso, ´e preciso determinar a matriz jacobiana, a qual segue: J(S, I) = −rI −rS+ γ rI rS − γ . (2.76) No ponto ¯X1 = (N, 0)
Substituindo-o na matriz (2.76), tem-se:
J(N, 0) = 0 −rN + γ 0 rN − γ .
Como Θ = rN − γ > 0 e o Γ = 0, logo o este ponto ´e inst´avel.
No ponto ¯X2 = (γr, N −γr)
Substituindo-o na matriz (2.76), tem-se:
J(γ r, N − γ r) = −rN + γ 0 rN − γ 0 .
Como Θ = −rN + γ > 0 e o Γ = 0, logo com estes parˆametros n˜ao ´e poss´ıvel classific´a-lo quanto a sua estabilidade. Ent˜ao ser´a feito um estudo de ˙I.
Segue que do sistema (2.75) a equa¸c˜ao de infectados, ´e:
(2.77) ˙I = rSI − γI
= I(rS − γ), aplicando-se o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, tem-se:
dI
I = (rS − γ)dt, integrando-se ambos os lados, tem-se:
Z dI
I =
Z
(rS − γ)dt,
resolvendo-se as integrais, tem-se:
Ln(I) = (rs − γ)t + C, I(t) = e(rs−γ)teC. A condi¸c˜ao incial, ´e:
Substitutuindo-o na equa¸c˜ao anterior:
I(0) = e(rs−γ)0eC = I0.
Portanto,
eC = I0.
Substituindo-se a constante C na fun¸c˜ao, tem-se:
I(t) = I0e(rS−γ)t. (2.78)
A an´alise da fun¸c˜ao de infectados ocorre da seguinte forma: i) Se rS > γ e t → ∞ ent˜ao, I(t) → ∞ e ocorre a epidemia; ii) Se rS = γ e t → ∞ ent˜ao, I(t) → I0 e ocorre uma estabilidade;
i) Se rS < γ e t → ∞ ent˜ao, I(t) → 0 e a epidemia desaparece. Portanto, este ponto ´e assintoticamente est´avel.
Observe que nesta an´alise exclu´ımos a popula¸c˜ao total N, haja visto que S+I = N, por´em se a considerarmos, devemos eliminar a vari´avel suscet´ıvel da equa¸c˜ao (2.77) e a fun¸c˜ao log´ıstica dos infectados em fun¸c˜ao do tempo quando analisada apresenta a mesma conclus˜ao.
Cap´ıtulo 3
APLICAC¸ ˜AO
Neste cap´ıtulo, a partir de dados coletados em sites governamentais e n˜ao gover- namentais que tem a responsabilidade de coletar dados e apresentar de forma organizada e cronologicamente, para que a sociedade em geral possa consult´a-los.
3.1 Doen¸ca de Chagas no Amap´a
De acordo com o documento eletrˆonico [11], a Doen¸ca de Chagas no Amap´a, apre- senta os n´umeros de casos (frequˆencia absoluta Ii), conforme a Tabela 3.1. Os dados
baseiam-se nas fam´ılias cadastradas no Sistema de Informa¸c˜ao da Aten¸c˜ao B´asica do Mi- nist´erio da Sa´ude (SIAB). “O SIAB ´e um sistema (software), desenvolvido pelo DATASUS em 1998, cujo objetivo centra-se em agregar, armazenar e processar as informa¸c˜oes relaci- onadas `a Aten¸c˜ao B´asica (AB) usando como estrat´egia central a Estrat´egia de Sa´ude da Fam´ılia (ESF).”([7]).
3.1.1 Modelo SI
Como visto na Se¸c˜ao 2.1, a doen¸ca de Chagas ´e um exemplo a ser estudado a partir da modelagem de um sistema epidemiol´ogico composto por dois grupos de indiv´ıduos: um de suscet´ıveis, S, e outro de infectados, I, propriamente dito, simbolizados por sistema SI.
Para se fazer um estudo qualitativo, deve-se determinar a taxa de infec¸c˜ao (ou transmiss˜ao) r. Para atingir tal ˆexito, faz-se necess´ario pesquisar o n´umero de casos em um determinado per´ıodo de tempo de ocorrˆencia da doen¸ca no Amap´a, conforme mostrado na Tabela 3.1.
Deduzimos na Subsec¸c˜ao 2.1.1, que a taxa de infec¸c˜ao r ´e obtida pela equa¸c˜ao (2.8). A partir da Tabela 3.1, calculamos o rm m´edio, utilizando-se os respetivos n´umeros
Tabela 3.1: Distribui¸c˜ao de casos confirmados de doen¸ca de Chagas no Estado do Amap´a de 1999 a 2013
´Indice (j) Ano (tj) Casos (Ij) Popula¸c˜ao (Nj) Sj = Nj− Ij rj
0 1999 6 485406 485400 0.00565 1 2000 39 499329 499290 0.00473 2 2001 12 519202 519190 0.00533 3 2002 21 538836 538815 0.00507 4 2003 22 558398 558376 0.00506 5 2004 21 577786 577765 0.00510 6 2005 32 596914 596882 0.00490 7 2006 23 615692 615669 0.00508 8 2007 22 634068 634046 0.00512 9 2008 19 651977 651958 0.00520 10 2009 14 669360 669346 0.00536 11 2010 14 686189 686175 0.00537 12 2011 10 702638 702628 0.00555 13 2012 26 718906 718880 0.00508 14 2013 20 734996 734976 0.00522 14 X j=0 30090 301 9189697 9189396 0.07785 14 X i=0 /15 2006 20.06667 612646.4667 612626.4 rm = 0.00519 Fonte: A partir de [11] (2016).
Nj ´e a popula¸c˜ao estimada do Amap´a, conforme [3], (2016).
Figura 3.1: Gr´afico de dispers˜ao dos casos de Doen¸cas de Chagas no Amap´a, no per´ıodo de 1999 a 2013, juntamente com a reta de regress˜ao linear.
Fonte: Do Autor, a partir de [11] (2016).
Com S0 = 485400, I0 = 6 e r = 0.00519, vamos escrever as fun¸c˜oes S(t) e I(t), conforme a seguir: S(t) = 485400 485400 + 6e0.00519t = 485400 485400 1 + 6 485400te 0.00519 = 1 1 + e0.00519t 80900 (3.2) I(t) = 6e 0.00519t 485400 + 6e0.00519t = 6e0.00519t 6 (80900 + e0.00519t) = e0.00519t 80900 1 + e0.00519t 80900 (3.3)
Figura 3.2: Gr´afico das fun¸c˜oes S(t) e I(t) indicando o ponto em que S(t) = I(t) de doen¸ca de Chagas no Amap´a.
O tempo em que o n´umero de infectados ´e igual ao n´umero de suscet´ıveis ´e calculado pela equa¸c˜ao (2.7), conforme abaixo:
t∗ = ln(485400) − ln(6)
0.00519 ≈2178,
portanto, aproximadamente 2178 anos, a partir de 1999, que o n´umero de infectados ser´a igual ou maior de que o n´umero de suscet´ıveis, se mantida a taxa r.
Cap´ıtulo 4
DISCUSS ˜OES GERAIS
No decorrer dos estudos para a elabora¸c˜ao deste trabalho sobre sistemas epide- miol´ogicos, observou-se que os respectivos modelos matem´aticos s˜ao sistemas autˆonomos compostos por equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias de primeira ordem, cujo conjunto solu¸c˜ao ´e um vetor coluna com n fun¸c˜oes, onde n ´e a dimens˜ao do sistema. As EDO’s represen- tam a velocidade de dissemina¸c˜ao da epidemia. De certa forma, nos sistemas autˆonomos n˜ao estamos interessados especificamente na solu¸c˜ao vetorial do sistema, mas sim no comportamento das trajet´orias na vizinhan¸ca do(s) ponto(s) cr´ıtico(s) do mesmo. Este comportamento ´e definido como estabilidade de um sistema autˆonomo.
Os sistemas autˆonomos est˜ao divididos em dois tipos: o linear e o n˜ao linear [3]. O sistema linear possui um ´unico ponto cr´ıtico, ¯X = (0, 0), enquanto que o n˜ao linear
pode ter mais de um. O estudo de estabilidade nos sistemas pode ocorrer por meio de alguns m´etodos. Aqui podemos citar o m´etodo de autovalor, muito empregado para descrever a solu¸c˜ao vetorial conforme a equa¸c˜ao (1.6). Para sistemas bidimensionais h´a outros parˆametros a serem analisados, como por exemplo, o tra¸co (Θ), o determinante (Γ) e discriminante (∆) da matriz A dos coeficientes do sistema.
De acordo com a dimens˜ao do espa¸co em que se est´a trabalhando, o grau de dificuldade para se estabelecer ou definir a estabilidade aumenta. No caso de um sistema no R2, se o sistema for linear e a matriz dos coeficientes for diagonaliz´avel, a estabilidade
na origem do sistema cartesiano pode ser est´avel, assintoticamente est´avel ou inst´avel – isto depende da combina¸c˜ao dos sinais dos autovalores; caso ele seja n˜ao linear, deve-se aplicar os m´etodos de Lyapunov para sistemas n˜ao lineares no R2.
O pimeiro m´etodo de Lyapunov consiste em linearizar o sistema n˜ao linear e efetuar o procedimento de an´alise na proximidade da origem, por´em para muitos autores pode-se estender para todos os pontos de equil´ıbrio do sistema n˜ao linear. Este m´etodo tamb´em ´e denominado de indireto, pois ao se reduzir o sistema n˜ao linear em linear, faz-se uma classifica¸c˜ao aproximada a partir da matriz jacobiana do sistema n˜ao linear.
O segundo m´etodo de Lyapunov ´e denominado de m´etodo direto ou global, pois a partir da constru¸c˜ao de fun¸c˜ao de Lyapunov, obtida a partir das equa¸c˜oes do sistema,
pode-se classificar a estabilidade do sistema.
O diagrama de fase ou retrato de fase ´e outro instrumento utilizado para a an´alise qualitativa de sistema autˆonomo linear no 2n. O diagrama de fase ´e o gr´afico do polinˆomio
caracter´ıstico do sistema autˆonomo linear, por´em pode ser adaptado para n˜ao lineares, como consequˆencia da aplica¸c˜ao do m´etodo de lineariza¸c˜ao (primeiro m´etodo de Lyapunov ou m´etodo indireto).
Particularmente no R2, o polinˆomio caracter´ıstico de ordem dois e a sua repre-
senta¸c˜ao gr´afica ´e uma par´abola com concavidade voltada para cima e v´ertice coincidente com a origem do sistema ortogonal, conforme Figura 1.1. O sistema ortogonal ´e com- posto por dois eixos perpendiculares, sendo que o eixo horizontal representa o tra¸co (Θ) e o vertical, o determinante (Γ) da matriz dos coeficientes constantes do sistema linear. O discriminante (∆) indica se o ponto de equil´ıbrio est´a abaixo, sobre ou acima da par´abola. A combina¸c˜ao dos parˆametros constantes Θ, Γ e ∆ s˜ao utilizados para classificar os pontos de equil´ıbrio.
Para sistema com trˆes ou mais equa¸c˜oes, como dissemos anteriormente, aumenta a dificuldade de classifica¸c˜ao de estabilidade, e para verificar se h´a ou n˜ao ciclo limite em torno de um ponto de equil´ıbrio de um sistema autˆonomo n˜ao linear, pode-se testar o crit´erio negativo de Bendixon – Dulac. Sabe-se que o teorema de Green estuda o com- portamento do fluxo de campos vetoriais no espa¸co bidimensional (R2), por´em tamb´em
este crit´erio pode ser estendido para outras dimens˜oes, ou seja, de um modo geral para o Rn. Caso o divergente seja negativo, segundo este crit´erio o sistema n˜ao linear ent˜ao em seu dom´ınio n˜ao existe ciclo e nem ´orbitas.
A an´alise de estabilidade dos pontos cr´ıticos do SIS com dinˆamica vital com po- pula¸c˜ao constante, foi realizada atrav´es das caracter´ısticas do tra¸co (Θ) e do discriminante (Γ) da matriz de coeficientes do sistema localmente linear; para o primeiro ponto, cujos resultados obtidos, s˜ao: o Θ = T r(A) > 0 e Γ = det(A) = 0, resultando que o ¯X1 = (N, 0)
em um ponto inst´avel. Com estas coordenadas, o ponto est´a sobre o semieixo positivo horizontal, do diagrama de fase, confirmando com isto que realmente o ponto ´e inst´avel.
Uma modo mais r´apido, confi´avel e seguro de se classificar o segundo ponto ´e resolvendo a equa¸c˜ao ˙I = dI
dt cuja solu¸c˜ao ´e fun¸c˜ao:
I(t) = rN − γ − δ r+hrN −γ−δI o − r i e−(rN −γ−δ)t. (4.1) Assim, quando t → ∞ , I → N − δ+γ r e consequentemente, S → δ+γ r , logo ¯X2 = δ+γ r , N − γ r
´e assintoticamente est´avel.
A an´alise de estabilidade dos pontos cr´ıticos do SIS sem dinˆamica vital com po- pula¸c˜ao constante, foi realizada atrav´es das caracter´ısticas do tra¸co (Θ) e do discriminante (Γ) da matriz de coeficientes do sistema localmente linear, para o primeiro ponto, cujos
resultados obtidos, s˜ao: o Θ = T r(A) > 0 e Γ = det(A) = 0, resultando que o ¯X1 = (N, 0)
em um ponto inst´avel. Com estas coordenadas, o ponto est´a sobre o semieixo positivo horizontal, do diagrama de fase, confirmando com isto que realmente o ponto ´e inst´avel.
Uma modo mais r´apido, confi´avel e seguro de se classificar o segundo ponto ´e resolvendo a equa¸c˜ao ˙I = dI
dt cuja solu¸c˜ao ´e fun¸c˜ao:
I(t) = rN − γ r+hrN −γI o − r i e−(rN −γ)t. (4.2) Assim, quanto t → ∞ , I → N −γ r e consequentemente, S → γ r, logo ¯X2 = γ r, N − γ r ´e assintoticamente est´avel.
CONCLUS ˜AO
Dos quatro modelos epidemiol´ogicos estudados, buscou-se uma aplica¸c˜ao para a Doen¸ca de Chagas no Amap´a e, para tanto, utilizou-se os dados dos casos confirmados da doen¸ca dispon´ıveis no SIAB - Sistema de Informa¸c˜ao da Aten¸c˜ao B´asica do Minist´erio da Sa´ude e da popula¸c˜ao do Estado, fornecida pelo IBGE. Tais informa¸c˜oes possibilitaram a determina¸c˜ao de uma taxa de infec¸c˜ao, bem como o tempo em que o n´umero de infectados ´e igual ao n´umero de indiv´ıduos suscet´ıveis.
No tocante aos modelos explorados, verifica-se que as adapta¸c˜oes que foram sendo feitas no modelos contemplam uma vasta possibilidade de aplica¸c˜ao e abordagem de epide- mias.Tais abordagens favorecem entendimentos e estudos diversos sobre comportamentos, formas de dissimina¸c˜ao e podem dar respaldos a estudos que buscam formas de controle
REFERˆENCIAS
[1] BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matem´atica: uma nova estrat´egia. 3. ed. S˜ao Paulo: Contexto 2006.
[2] BASSANEZI, R.C.; FERREIRA JR., W.C. Equa¸c˜oes diferenciais com
aplica¸c˜oes. S˜ao Paulo: Harbra, 1988.
[3] BASSANEZI, R.C. Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias: um curso introdut´orio. Santo Andr´e: Universidade Federal do ABC, s.d. (Cole¸c˜ao BC & T - UFABC. Textos Did´aticos. Volume 1.)
[4] BASSANEZI, R.C. Temas e modelos. Santo Andr´e: Universidade Federal do ABC, s.d.
[5] BOYCE, E. W.; DIPRIMA, R. C. Equa¸c˜oes diferenciais elementares e pro-
blemas de valores de contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. (Tradu¸c˜ao e
revis˜ao t´ecnica Val´eria de Magalh˜aes I´orio).
[6] BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica.
Proje¸c˜ao da Popula¸c˜ao 2000-2030. Bras´ılia. Dispon´ıvel em:
http://www.ibge.gov.br/estadosat/temas.php?sigla=ap & tema=projecao2013. Acesso em: 05 set. 2016.
[7] BRASIL. Minist´erio da Sa´ude. Departamento de Aten¸c˜ao B´asica (DAB).
Sistema de Informa¸c˜ao da Aten¸c˜ao B´asica. Bras´ılia. Dispon´ıvel em:
http://dab.saude.gov.br/portaldab/siab.php. Acesso em: 04 set. 2016.
[8] BURATINNI, M.N.; CHEN, M.; CHOW, A; COUTINHO, F.A.; GOH, K.T.; LO- PEZ, L.F.; MASSAD, E. Modelling the control strategies against dengue in Sin- gapore. Epidemiology and Infction (Online), USA, 2007, n. 136, p. 309-19. Dispon´ıvel em: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/17540051. Acesso em: 21 jul. 2017.
[9] DIEKMAN, O.; HEESTERBEEK, J.A.P.; METZ, J.A.J. On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R0 in models for infectious diseases in
[10] DINIZ, M. M.; BASSANEZI, R. C. Teorema de Poincar´e-Bendixson no espa¸co m´etrico fuzzy (R2). Biomatem´atica, Campinas - SP, n. 22, p. 93-104, 2012.
(Uma Publica¸c˜ao do Grupo de Biomatem´atica IMECC/UNICAMP). Dispon´ıvel em: http://www.ime.unicamp.br/ biomat/bio22˙art7.pdf. Acesso em: 24 jun. 2015. [11] DOENC¸A DE Chagas: Veja n´umero e incidˆencia de casos por estado do Bra-
sil - Amap´a. Deepask: o mundo e as cidades atrav´es de gr´aficos e mapas. Dispon´ıvel em: http://www.deepask.com/goes?page=amapa-Confira-o-numero-de- pessoas-com-doenca-de-chagas-no-seu-estado. Acesso em: 04 set. 2016.
[12] EDELSTEIN-KESHET, L. Mathematical models in biology. Philadelphia, USA: SIAM – Society for Industrial and Applied Mathematics, 2005. (Classics In Applied Mathematics, 46).
[13] GOMES, L.T.; BARROS, L.C. Um modelo evolutivo para a dengue em dom´ınio bidimensional considerando fatores ambientais. Revista biomatem´atica (On- line), Campinas, 2009, n. 19, p. 39-56. ISSN 1679-365X. Dispon´ıvel em: http://www.ime.unicamp.br/ biomat/bio19˙art4.pdf. Acesso em: 21 jul. 2016. [14] LUIZ, Mˆonica H. R. Modelos matem´aticos em epidemiologia.
2012. 75 f. Disserta¸c˜ao (Mestrado profissional em Matem´atica Uni- versit´aria) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociˆencia e Ciˆencias Exatas. Rio Claro, SP, 30 nov. 2012. Dispon´ıvel em: http://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/94348/luiz˙mhr˙me˙rcla.pdf? Acesso em: 13 set. 2016.
[15] MACUFA, M.M.M.; MEYER, J.F.C.A.; KRINDEGS, A.D. Difus˜ao da mal´aria em Mo¸cambique: modelagem com simula¸c˜oes computacionais. Revista bioma-
tem´atica (Online), Campinas, 2015, n. 25, p. 161-184. ISSN 1679-365X. Dispon´ıvel
em: http://www.ime.unicamp.br/ biomat/bio25˙art11.pdf. Acesso em: 21 jul. 2016. [16] MARCOLINO, R. S. Modelos matem´aticos epidemiol´ogicos da Tuberculose em Cod´o - MA. 2016. 75 f. Disserta¸c˜ao (Mestrado
profissional em Matem´atica Aplicada e Computacional) - Universi- dade Estadual de Campinas, Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Ciˆencias da Computa¸c˜ao. Campinas, SP, 06 maio 2016. Dispon´ıvel em: http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?code=000970960&fd=y. Acesso em: 08 ago. 2016.
[17] MASS, K. Barriers and Opportunities for the Integration of Modelling in Mathe- matic Classes: Results of an Empirical Study. In: International Congress in Mathe- matical Education — ICME, 10, Copenhagem, Dinamarca, 2004. Dispon´ıvel em: http://www.icme-organisers.dk/tsg20/Maass.pdf. Acesso em: 6 jul. 2015.
[18] MATEM´ATICA faz bem `a sa´ude. Revista Pesquisa FA-
PESP On Line, S˜ao Paulo, ed. 61, p. 33-35, jan./fev.
2001. Dispon´ıvel em: http://revistapesquisa.fapesp.br/wp- content/uploads/2001/01/33˙epidemiologia.pdf?d328cc. Acesso em: 21 jul. 2016. [19] MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinˆamicos. 2. ed. S˜ao Paulo: Editora Livra-
ria da F´ısica, 2006. Dispon´ıvel em: http://www.livrebooks.com.br/livros/sistemas- dinamico. Acesso em: 18 set. 2016.
[20] M¨ULLER, J.A. Mathematical Models in Biology. Technical University Munich Centre for Mathematical Sciences, 2004. pp. 154 - 164. (Chapter 6. Population Dy- namics and Ecology).
[21] MURRAY, J.D. Mathematical biology: 1. introdution. 3. ed. Verlag: Springer, 2001. (James Dickson Murray). pp. 315 - 394.
[22] PAIVA JUNIOR, F. P. de. Modelagens alternativas para meningite no Ma-
ranh˜ao.. 2015. 73 f. Disserta¸c˜ao (Mestrado profissional em Matem´atica Aplicada e
Computacional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Ciˆencias da Computa¸c˜ao. Campinas, SP, 04 maio 2015. Dispon´ıvel em: http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?code=000942961. Acesso em: 18 Jul. 2016.
[23] POLETTI, E.C.M.; MEYER, J.F.C.A.; CONEGIAN, C.M.R. Dispers˜ao de infec¸c˜ao por Toxoplasma gondii modelagem matem´atica e simula¸c˜ao num´erica Revista bio-
matem´atica (Online), Campinas, 2010, n. 20, p. 37-46. ISSN 1679-365X. Dispon´ıvel
em: http://www.ime.unicamp.br/ biomat/bio20˙art4.pdf. Acesso em: 21 jul. 2016. [24] ROSALES, J.C.; YANG, H.M.; IBARRA, A.; BARRAZA, R. An´alise da dis-
tribui¸c˜ao espacial dos casos de leishmaniose em Hip´olito Yrigoyen, Or´an, Salta, Argentina, no per´ıodo de 2005 - 2006. BEPA - Boletim epidemiol´ogico
pauista (Online), S˜ao Paulo, Nov. 2008, vol. 5, n. 59, p. 4-9. ISSN 1806-
4272. Dispon´ıvel em: http://www.ime.unicamp.br/ hyunyang/publications/pa- per/2008˙bepa˙rosales.pdf. Acesso em: 21 jul. 2016.
[25] ROUQUAYROL, M.Z.; GURGEL, M. (Orgs.). Epidemiologia & Sa´ude. 7. ed. Rio de Janeiro: MedBrook, 2013. pp. 235 - 251.
[26] SALES FILHO, N. An´alise qualitativa de um modelo de propaga¸c˜ao
de dengue para a popula¸c˜ao espacialmente homogˆenea. 2015. 77 f.
Disserta¸c˜ao (Mestrado profissional em Matem´atica Aplicada e Computacional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Ciˆencias da Computa¸c˜ao. Campinas, SP, 24 fev. 2015. Dispon´ıvel em:
http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?code=000942961. Acesso em: 13 Ago. 2016.
[27] WYSE, A.P.P.; GEMAQUE, A.O.; CHAMILCO, G.E.I. Modelo matem´atico de transmiss˜ao de dengue. Revista biomatem´atica (Online), Campinas, 2011, n. 21, p. 153-162. ISSN 1679-365X. Dispon´ıvel em: http://www.ime.unicamp.br/ biomat/- bio21˙art12.pdf. Acesso em: 21 jul. 2016.
[28] YANG, H.M. Epidemiologia matem´atica: estudo dos efeitos da vacina¸c˜ao em doen¸cas de transmiss˜ao direta. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2001.