Impact de la fr´equence d’´echantillonnage des ´etats du syst`eme

Notre mod´elisation nous permet de d´etecter aussi rapidement que possible le type de faute dont la d´efaillance est per¸cue par les entit´es supervis´ees. Nous ´etudions `a pr´esent le nombre d’entit´es en ´etat ind´etermin´e en fonction de la fr´equence d’´echantillonnage des ´etats du syst`eme. Comme nous venons de le voir, les ´etats ind´etermin´es se produisent lorsque plusieurs fautes impactent des entit´es proches dans l’espace des qualit´es.

Pour un syst`eme comportant n = 1000 entit´es supervis´ees avec une probabilit´e de faute isol´ee f = 0.005, la figure 4.13 illustre l’´evolution de |Uk|/|Ak| en fonction

du nombre de fautes A g´en´er´ees dans le syst`eme pour diff´erentes valeurs de G. Cette proportion d´esigne la proportion d’entit´es supervis´ees en ´etat ind´etermin´e par rapport au nombre d’entit´es percevant une d´efaillance. Cette figure valide le fait que plus le nombre de fautes impactant le syst`eme dans l’intervalle de temps [k − 1, k] augmente, plus le nombre d’´etat ind´etermin´es augmente.

Ainsi, si les entit´es sont capables d’´echantillonner les ´etats du syst`eme de mani`ere suffisamment fr´equente pour qu’il n’y ait au plus qu’une seule faute impactant le syst`eme dans l’intervalle de temps [k − 1, k], la superposition de fautes est impos- sible et donc le nombre d’´etats ind´etermin´es devient nul. De plus, si la faute impactant le syst`eme est une faute massive alors toutes les entit´es j impact´ees par cette faute calculent le mˆeme ensemble Jk(j) et on a alors Lk(j) = ∅. Dans ce cas, le th´eor`eme 3

d´ecide efficacement pour toutes les entit´es impact´ees par cette faute.

La lecture de la figure 4.13 montre ´egalement le faible impact de la distribution du type de fautes sur l’´etat du syst`eme. En effet, un syst`eme ne subissant que des fautes massives engendre plus d’´etats ind´etermin´es qu’un syst`eme ne subissant que des fautes isol´ees. Lorsque que G = 0, quasiment toutes les anomalies g´en´er´ees sont des anomalies massives augmentant ainsi la probabilit´e que celles-ci se superposent.

`

A l’inverse, lorsque G = 1, la majorit´e des anomalies g´en´er´ees sont des anomalies isol´ees. Lorsque plus de τ entit´es appartenant `a des anomalies isol´ees sont suffisamment proches dans l’espace des qualit´es E, ces anomalies sont fusionn´ees en une anomalie massive afin de respecter la restriction R3 du mod`ele. Ceci donne lieu `a l’apparition

0 10 20 30 40 50 60

Number A of errors in time interval [k¡1;k]

0 5 10 15 20 25 30 35 jUk j= jA k j G =0:0 G =0:3 G =0:5 G =0:7 G =1:0

Figure_{4.13 – Proportion d’entit´es en ´etat ind´etermin´e |Uk|/|Ak| en fonction du nombre} A de fautes dans le syst`eme dans l’intervalle de temps [k − 1, k] et de la proportion de fautes massives G. Le syst`eme est compos´e de n = 1000 entit´es et la probabilit´e de faute isol´ee est f = 0.005.

d’anomalies massives dans la v´erit´e synth´etique g´en´er´ee, permettant ainsi l’apparition d’´etats ind´etermin´es.

4.2.4 Pertinence du mod`ele

Comme nous l’avons ´evoqu´e dans la section 4.2.1, il arrive qu’on soit amen´e `a modifier la v´erit´e synth´etique g´en´er´ee pour la simulation afin qu’elle respecte la restric- tion R3 du mod`ele. Celle-ci impose que dans un ensemble ayant un mouvement τ -dense, il y ait au minimum une entit´e ayant subi une faute massive. Cela signifie donc qu’un ensemble ayant un mouvement τ -dense ne peut pas ˆetre constitu´e uniquement d’entit´es impact´ees par une faute isol´ee.

Afin de mesurer l’´ecart de ce mod`ele `a la v´erit´e, de nouvelles v´erit´es synth´etiques sont g´en´er´ees et non modifi´ees mˆeme si celles-ci ne respectent pas la condition C2 de la d´efinition 8 de partition d’anomalies. On mesure alors les taux de mauvaises d´etections du type de fautes dans ce cas, c’est-`a-dire la proportion des entit´es ayant subi une faute isol´ee dans la v´erit´e synth´etique et pour lesquelles l’algorithme 3 rend ”Massive”.

Par construction de la caract´erisation, il est impossible pour une entit´e ayant subi une faute massive que l’algorithme conclut `a une faute isol´ee. En effet, si la v´erit´e synth´etique comporte des entit´es appartenant `a une anomalie massive C, il existe au minimum un ensemble ayant un mouvement τ -dense contenant ces entit´es : il s’agit de l’ensemble C. Par cons´equent le th´eor`eme 2 ne s’applique pas. Il est donc impossible pour une entit´e ayant subi une faute massive que l’algorithme conclue `a une faute isol´ee.

La figure 4.14 illustre cette proportion en fonction du nombre d’anomalies g´en´er´ees dans le syst`eme pour diff´erentes proportions d’anomalies isol´ees/massives. On constate sur cette figure que pour toutes les proportions d’anomalies isol´ees/massives, le nombre de mauvaises d´etections croˆıt jusqu’`a 10 puis se stabilise.

De plus, on s’aper¸coit que lorsque seules des anomalies massives (G = 0) sont g´en´er´ees, la proportion de mauvaises d´etections est tr`es faible. Celles-ci sont dues `a des anomalies isol´ees g´en´er´ees faute d’un voisinage suffisamment dense, puis `a la superpo- sition d’une seconde anomalie massive. Cette situation est illustr´ee par la figure 4.12.

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A l’inverse, lorsque seules des anomalies isol´ees (G = 1) sont g´en´er´ees, la proportion de mauvaises d´etections augmente jusqu’`a environ 10%. Dans ce cas, seules les entit´es supervis´ees subissent des fautes tandis que le reste du syst`eme est parfait et ne subit aucune faute. Ainsi, dans le pire des cas, ce mod`ele ne s’´eloigne que de 10% de la r´ealit´e pour les entit´es ayant subi une faute isol´ee.

La figure 4.15 illustre l’´evolution de la proportion d’entit´es en ´etat ind´etermin´e en fonction du nombre de fautes impactant le syst`eme. Celle-ci reste totalement stable, traduisant le fait que la restriction R3 du mod`ele n’a aucun impact sur la qualit´e de la d´ecision. En effet, lors de l’application du corollaire 3, l’existence d’une collection d’ensemble dans laquelle l’entit´e consid´er´ee appartient `a un ensemble au mouvement non τ -dense suffit `a amener `a un ´etat ind´etermin´e. Cette collection n’est donc bas´ee que sur les positions des entit´es proches aux instants k − 1 et k et non pas sur la mani`ere dont ces entit´es se sont d´eplac´ees. Il est donc normal que la restriction R3 du mod`ele n’ait aucun impact sur la proportion d’´etats ind´etermin´es.

Ces r´esultats montrent ainsi que les contraintes impos´ees pour ce mod`ele ne sont pas trop restrictives. Ces contraintes nous ont permis de construire un formalisme nous permettant d’´etablir une caract´erisation des fautes suivant leur impact. Cependant, les simulations nous montrent qu’en l’absence de ces contraintes, le mod`ele s’applique dans une tr`es grande majorit´e des cas et n’engendre qu’une faible proportion de mauvaises d´etections.