Op´erations de FixMe

Nous d´ecrivons `a pr´esent les cinq op´erations n´ecessaires `a la mise en œuvre de FixMe : lookup, join, leave, split et merge.

op´eration lookup Lorsqu’une entit´e souhaite effectuer une recherche dans FixMe, celle-ci ex´ecute l’op´eration lookup. Cette op´eration d´ecrit l’utilisation de la table de routage afin d’acheminer la requˆete de lookup de proche en proche, de la source `a la destination. L’entit´e utilise sa table de routage afin de contacter le seed le plus proche de la destination pr´esent dans la table de routage. Si celui-ci ne g`ere pas la cellule contenant la destination il transfert `a son tour la requˆete de recherche au seed le plus proche de la destination pr´esent dans la table de routage. Ce processus est r´ep´et´e successivement de proche en proche jusqu’`a atteindre le seed g´erant la cellule contenant la destination. Ce routage est une g´en´eralisation du routage employ´e dans Chord [SMK+01] `a un espace de dimension d. Il n´ecessite donc de contacter O(d log n) seeds afin d’atteindre la destination.

op´eration join Lorsqu’une entit´e p entre dans le syst`eme, celle-ci doit trouver le bu- cket auquel elle va appartenir. Elle contacte une entit´e q d´ej`a pr´esente dans le syst`eme. Cette entit´e q effectue alors une recherche dans le syst`eme sur la position pk(p) afin

S ins`ere alors p dans le bucket appropri´e et met `a jour les informations de sa table de routage. Dans le cas o`u ce bucket devient un seed (i.e., plus de γ entit´es sont pr´esentes dans le bucket), la cellule g´er´ee par le seed est d´ecoup´ee en deux nouvelles cellules. Le pseudo-code de cette op´eration est fournit dans l’algorithme 8.

Algorithme 8 : p.join(t,q=None) 1 d´ebut 2 si q = None alors 3 q ← getBootstrapNode() ; 4 fin 5 seed ← q.lookup(Q(p,t)); 6 si p ∈ seed alors 7 seed.insert(p); 8 sinon 9 bucket ← seed.findBucket(p); 10 bucket.insert(p);

11 si | bucket |≥ S_min alors 12 cells ← seed.split(bucket);

13 fin

14 fin 15 fin

op´eration split Suite `a l’insertion d’une nouvelle entit´e dans un bucket, il peut arriver que celui-ci devienne un seed. La cellule contenant ce bucket peut alors d´etenir deux seeds S1, S2 contredisant ainsi la d´efinition 12. Dans ce cas, cette cellule doit ˆetre

scind´ee en deux nouvelles cellules, chacune de ces nouvelles cellules poss`edant un seed. L’op´eration de split g`ere la cr´eation de ces deux nouvelles cellules.

On note pk(S1) = (x(1)1 , . . . , x (1) d ) et pk(S2) = (x (2) 1 , . . . , x (2)

d ) la position des centres

respectifs de S1 et S2. De plus, on d´efinit

i0= argmax 1≤i≤d kx (1) i − x (2) i k.

La dimension i0 correspond alors `a la dimension pour laquelle l’´ecart entre pk(S1)

et pk(S2) est le plus important. L’hyperplan orthogonal `a i0 et passant par le point

b = (b1, . . . , bd) d´efinit alors la fronti`ere entre les deux nouvelles cellules. On a :

∀1 ≤ i ≤ d, bi =    ⌊x (1) i0 +x (2) i0 2ρ_i0 ⌋ρi0 si i = i0 0 sinon

Les seeds de S1 et S2 mettent `a jour leurs tables de routage afin que chaque seed

remplac´ee par l’une des deux nouvelles cr´e´ees. Les entit´es de S1 et S2 notifient ensuite

les pr´ed´ecesseurs de la cellule de ce changement topologique.

Exemple 19 La figure 5.4 illustre cette op´eration. L’espace E est initialement par- titionn´e en 4 cellules (figure 5.4(a)). Les cellules 1, 2 et 3 ont un seed tandis que la cellule 4 en est d´epourvue. Une entit´e de FixMe se d´eplace et rejoins un nouveau bucket de la cellule A. Celui-ci devient alors un seed, la cellule 1 a donc deux seeds (figure 5.4(b)). Le seed S1 a pour coordonn´ees pk(S1) = (13/32, 17/32) et le seed S2

pk(S2) = (9/32, 7/32). On a pk(S1) − pk(S2) = (4/32, 10/32) donc i0 = 2. La fronti`ere

s´eparant les deux nouvelles cellules est orthogonale `a l’axe des ordonn´ees et passe par le point de coordonn´ees (0, 12/32). Cette fronti`ere est illustr´ee par la figure 5.4(c). Fi- nalement, les deux nouvelles cellules (cellule 5 et cellule 6) sont cr´ees `a partir de la cellule 1 (figure 5.4(d)). Les seeds de chaque cellule notifient ensuite les pr´ed´ecesseurs de la cellule 1 de la cr´eation des cellules 5 et 6.

L’algorithme 9 d´ecrit le pseudo-code utilis´e pour cette op´eration Algorithme 9 : cell.split(bucket)

Entr´ees : | bucket |≥ Smin∧ ¬bucket.isSeed()

Sorties : bucket.isSeed()

1 d´ebut

2 matchingCell ← findCell(bucket); 3 si matchingCell ∈ orphanCells alors 4 bucket.cell ← matchingCell; 5 orphanCells.remove(matchingCell ); 6 sinon 7 matchingCell.split(bucket); 8 fin 9 bucket.notifyPredecessors(matchingCell ); 10 bucket.updateRoutingTable(); 11 bucket.setSeed(True); 12 fin

op´eration leave Lorsque les mesures de performances effectu´ees par une entit´es j varient, celle-ci peut ˆetre amen´ee `a se d´eplacer dans E et ainsi `a devoir changer de bucket dans FixMe. Nous d´ecrivons `a pr´esent la gestion du d´epart de cette entit´e d’un bucket de FixMe : il s’agit de l’op´eration leave dont le pseudo-code est d´ecrit dans l’algorithme 10. Dans ce cas, le seed efface cette entit´e de celles pr´esentes dans la cellule qu’il g`ere.

Suite au d´epart d’une entit´e d’un seed, il peut arriver que ce seed ne soit plus suffisamment peupl´e. Dans ce cas, le seed redevient un bucket. La cellule contenant ce bucket n’a plus de seed. Il est n´ecessaire de r´eallouer la gestion de celle-ci `a un autre seed. Cette restructuration repose sur la pr´esence d’un hook.

1 2 1 1 2 1 O s1 s2 Seed Cellule1 Cellule2 Cellule3 Cellule4

(a) Situation initiale

1 2 1 1 2 1 O s1 s2 Cellule1 Cellule2 Cellule3 Cellule4

(b) Cr´eation d’un nouveau seed

1 2 1 1 2 1 O s1 s2 Cellule1 Cellule2 Cellule3 Cellule4 (c) Cr´eation de la fronti`ere 1 2 1 1 2 1 O s1 s2 Cellule6 Cellule2 Cellule3 Cellule4 Cellule5

(d) Cr´eation des cellules

Figure_{5.4 – D´eroulement d’une op´eration split dans FixMe.}

Algorithme 10 : p.leave()

1 d´ebut

2 bucket ← p.bucket;

3 isSeed ← bucket.isSeed(); 4 bucket.removePeer(p);

5 si isSeed ∧ | bucket |< S_min alors 6 bucket.setSeed(False); 7 cell ← bucket.cell.getHook(); 8 cell.merge(bucket.cell ); 9 fin

D´efinition 13 (Hook) Soit C une cellule de FixMe. Chaque coin de cette cellule a 2D buckets voisins. Le hook de C est le premier de ces buckets dans l’ordre lexicographique qui n’appartient pas `a la cellule C.

Proposition 2 Pour toute cellule diff´erente de E, le hook existe et est unique. Preuve Soit C une cellule de FixMe. Par d´efinition, celle-ci est caract´eris´ee par 2D coins. Chaque coin a 2D buckets voisins. On d´esigne par B l’ensemble des buckets voisins d’un des coins de la cellule C appartenant `a une cellule diff´erente. Si C = E alors tous les buckets du syst`eme appartiennent `a C et on a alors B = ∅. Dans le cas contraire, C a au moins une cellule voisine, et donc B 6= ∅. De plus, les ´el´ements de B sont totalement ordonn´es suivant l’ordre lexicographique. B ´etant non vide, il existe donc n´ecessairement un premier ´el´ement dans cet ensemble. Il s’agit du hook et donc

celui-ci est unique. 2

Exemple 20 La figure 5.5(a) illustre tous les ´el´ements de FixMe n´ecessaires aux diff´erentes op´erations. Les cellules sont repr´esent´ees en couleurs, les seeds correspondent au carr´es noirs parall`eles aux axes et les hooks aux triangles noirs.

Consid´erons la cellule 3 et supposons que son seed soit peupl´e de γ entit´es. Lors du d´epart d’une de ces entit´es, le seed devient sous-peupl´e et redevient donc un bucket. La cellule 3 est alors d´epourvue de seed, elle est orpheline. Il faut donc qu’un autre seed g`ere cette cellule. Celui-ci est d´etermin´e par le hook. Dans le cas pr´esent, le hook de la cellule 3 appartient `a la cellule 1. Par cons´equent, le seed de la cellule 1 va g´erer temporairement la cellule 3. On se retrouve alors la situation d´ecrite dans la figure 5.5(b).

Consid´erons `a pr´esent la cellule 2 de la figure 5.5(a) et supposons que son seed soit peupl´e de γ entit´es. De la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment, lors du d´epart d’une de ces entit´es, le seed devient sous-peupl´e, et la cellule 2 devient orpheline. Le hook de la cellule 2 appartient `a la cellule 1, le seed de la cellule 1 va donc g´erer temporairement la cellule 2. `A la diff´erence du cas pr´ec´edent, les cellules 1 et 2 sont jumelles. Cela signifie qu’elles partagent une face compl`ete. Dans ce cas, les deux cellules sont fusionn´ees en une seule cellule comme illustr´e par la figure 5.5(c). De plus, dans le cas pr´esent, la cellule 2 g´erait la cellule 4 orpheline. Celle-ci sera alors g´er´ee par la nouvelle cellule 1. Finalement, dans les deux cas, la cellule prenant en charge les cellules orphelines notifie les pr´ed´ecesseurs de ces cellules du changement topologique.

L’algorithme 11 fournit le pseudo-code de l’op´eration merge.