Nous venons d’exhiber des conditions permettant `a toute entit´e percevant une d´efaillance dans le syst`eme de d´eterminer si la d´efaillance per¸cue est due `a une faute isol´ee ou une faute massive. De plus, nous avons montr´e que l’occurrence de diverses fautes concomitantes dans le syst`eme peut amener le syst`eme dans une configuration o`u certaines entit´es sont incapables de d´eterminer avec certitude le type de faute ayant engendr´e la d´efaillance per¸cue.
Sk Sk−1 B1 B2 1 2 4 3 5
Figure 3.7 – Calculs ´equivalents
Dans cette section, nous proposons une nouvelle caract´erisation visant `a r´eduire le nombre de calculs n´ecessaires pour d´eterminer pour chaque entit´e ayant per¸cu une d´efaillance, le type de faute l’ayant provoqu´ee.
Nous illustrons l’intuition que nous allons d´evelopper au cours de cette section par l’exemple suivant.
Exemple 11 Consid´erons `a pr´esent la situation illustr´ee dans la figure 3.7. Le syst`eme compos´e de 5 entit´es {1, 2, 3, 4, 5}. Supposons que toutes ces entit´es percoivent une d´efaillance dans l’intervalle de temps [k − 1, k] et τ = 3. Les deux ensembles B1 =
{1, 2, 3, 4} et B2= {2, 3, 4, 5} ont un mouvement τ -dense et sont maximaux.
Cas de l’entit´e 1 : L’entit´e 1 appartient `a un unique ensemble ayant un mouvement τ -dense maximal : B1. Les entit´es 2, 3, 4 appartiennent aussi `a l’ensemble B2.
Par cons´equent, on a Jk(1) = {1} et Lk(1) = {2, 3, 4}. Par application du
corollaire 3, l’entit´e 1 appartient `a Uk.
Cas de l’entit´e 2 : L’entit´e 2 appartient aux deux ensembles B1 et B2. On a alors
Jk(2) = {1, 2, 3, 4, 5}. Par application du th´eor`eme 3, l’entit´e 2 appartient `a Mk.
Cas de l’entit´e 3 : L’entit´e 3 appartient aux deux ensembles B1 et B2. On a alors
Jk(3) = {1, 2, 3, 4, 5}. Par application du th´eor`eme 3, l’entit´e 3 appartient `a Mk.
Cas de l’entit´e 4 : L’entit´e 4 appartient aux deux ensembles B1 et B2. On a alors
Jk(4) = {1, 2, 3, 4, 5}. Par application du th´eor`eme 3, l’entit´e 4 appartient `a Mk.
Cas de l’entit´e 5 : L’entit´e 5 appartient `a un unique ensemble ayant un mouvement τ -dense maximal : B2. Les entit´es 2, 3, 4 appartiennent aussi `a l’ensemble B1.
Par cons´equent, on a Jk(5) = {5} et Lk(5) = {2, 3, 4}. Par application du
corollaire 3, l’entit´e 5 appartient `a Uk.
On a :
Ik= ∅, Mk= {2, 3, 4} et Uk = {1, 5}.
Dans cet exemple, on a Jk(2) = Jk(3) = Jk(4). On applique alors pour chacune de
ces entit´es le th´eor`eme 3 afin de d´eterminer le type de faute ayant provoqu´e la d´efaillance per¸cue. On a Mk = {2, 3, 4}. On cherche `a pr´esent `a mutualiser les calculs n´ecessaires `a
Th´eor`eme 5 Pour tout k ≥ 1 et pour tout j, ℓ ∈ Ak, on a l’´equivalence suivante :
Wk(j) = Wk(ℓ) ⇐⇒ Jk(j) = Jk(ℓ).
Preuve (=⇒) Soient j, ℓ ∈ Ak tels que Wk(j) = Wk(ℓ). On a alors ∀B ∈ Wk(j), B ∈
Wk(ℓ). De plus, ∀B ∈ Wk(j), ℓ ∈ B, et donc ℓ ∈ Jk(j). De la mˆeme mani`ere, on a
j ∈ Jk(ℓ). On a donc Jk(j) = Jk(ℓ).
(⇐=) Soient j, ℓ ∈ Aktels que Jk(j) = Jk(ℓ). Par d´efinition de l’ensemble Jk(j), on a
∀B ∈ Wk(ℓ), j ∈ B. De plus, B a un mouvement maximal, donc B ∈ Wk(j). On a donc
Wk(ℓ) ⊆ Wk(j). De la mˆeme mani`ere, on a ∀B ∈ Wk(j), ℓ ∈ B. De plus, B a un mouve-
ment maximal, donc B ∈Wk(ℓ). On a donc Wk(j) ⊆ Wk(ℓ) et donc Wk(j) = Wk(ℓ). 2
Corollaire 4 Pour tout k ≥ 1 et pour tout j, ℓ ∈ Ak, on a l’´equivalence suivante :
Wk(j) = Wk(ℓ) ⇐⇒ Lk(j) = Lk(ℓ).
Preuve Soient j, ℓ ∈ Ak tels que Wk(j) = Wk(ℓ). Par d´efinition, on a Dk(j) =
∪B∈W
k(j)B. On a donc Dk(j) = Dk(ℓ). D’autre part, l’ensemble Lk(j) est d´efini
comme le compl´ementaire de Jk(j) dans Dk(j). D’apr`es le th´eor`eme 5, on a Wk(j) =
Wk(ℓ) ⇐⇒ Jk(j) = Jk(ℓ). Par cons´equent, on a donc aussi Wk(j) = Wk(ℓ) ⇐⇒
Lk(j) = Lk(ℓ). 2
On d´efinit la relation suivante.
D´efinition 11 Pour tout k ≥ 1 et pour tout j, ℓ ∈ Ak, on d´efinit la relation
j ≡ ℓ ⇐⇒Wk(j) = Wk(ℓ).
Propri´et´e 2 La relation ≡ est une relation d’´equivalence dans Ak. On note Ek(j) la
classe d’´equivalence de j dans Ak. On a Ek(j) = {ℓ ∈ Ak| ℓ ≡ j}.
Preuve La relation ≡ est une relation binaire et celle-ci est r´eflexive : par d´efinition, pour tout j ∈ Ak, on a Wk(j) = Wk(j) et donc j ≡ j.
D’autre part, la relation ≡ est sym´etrique : pour tous j, ℓ ∈ Aktels que j ≡ ℓ, on a
Wk(j) = Wk(ℓ). Par cons´equent, on a Wk(ℓ) = Wk(j) et donc ℓ ≡ j.
Enfin, la relation ≡ est transitive : pour tous j, ℓ, p ∈ Ak tels que j ≡ ℓ et ℓ ≡ p,
on a Wk(j) = Wk(ℓ) et Wk(ℓ) = Wk(p). Par cons´equent, on a donc Wk(j) = Wk(p)
et donc j ≡ p.
La relation ≡ est donc une relation binaire r´eflexive, sym´etrique et transitive, il
s’agit d’une relation d’´equivalence. 2
On partitionne ici l’ensemble Aken trois sous-ensembles disjoints Ik, Mket Uk. Pour
tout j ∈ Ak, on note Ck(j) le sous-ensemble auquel j appartient. On a alors :
Th´eor`eme 6 Pour tout k ≥ 1 et pour tout j, ℓ ∈ Ak, on a
Preuve Soient j, ℓ ∈ Ak tels que j ≡ ℓ, on a alors Wk(j) = Wk(ℓ). Deux cas sont `a
consid´erer :Wk(j) = ∅ et Wk(j) 6= ∅.
Cas Wk(j) = ∅ : On a Wk(ℓ) = ∅. Par application du th´eor`eme 2, on a j ∈ Ik et
ℓ ∈ Ik. On a donc Ck(j) = Ck(ℓ) = Ik.
Cas Wk(j) 6= ∅ : On a Dk(j) 6= ∅, Jk(j) 6= ∅ et Lk(j) 6= ∅. D’apr`es le th´eor`eme 5
et le corollaire 4, on a Jk(j) = Jk(ℓ) et Lk(j) = Lk(ℓ). Par cons´equent, si j ∈ Mk, le
th´eor`eme 4 s’applique de la mˆeme mani`ere pour ℓ et on a alors Ck(j) = Ck(ℓ) = Mk.
De mani`ere analogue, si j ∈ Uk, le corollaire 3 s’applique de la mˆeme mani`ere pour ℓ
et on a alors Ck(j) = Ck(ℓ) = Uk. 2
L’ensemble des classes d’´equivalence des ´el´ements de Ak forme une partition de
Ak. D’autre part, d’apr`es le th´eor`eme 6, tous les ´el´ements de Ek(j) calculent le mˆeme
ensemble Ck(j). Il est donc suffisant de caract´eriser le type de faute pour un repr´esentant
j de chaque classe d’´equivalence Ek(j) afin de d´eterminer pour l’ensemble des entit´es
de Ak le type de faute ayant provoqu´e la d´efaillance per¸cue par ces entit´es permettant
ainsi de r´eduire le coˆut de calcul total de cette caract´erisation. Le corollaire suivant nous permet de calculer l’ensemble Ek(j).
Corollaire 5 Pour tout k ≥ 1 et pour tout j ∈ Ak, on a
Ek(j) = {ℓ ∈ Jk(j) | j ∈ Jk(ℓ)}.
Preuve Ce corollaire d´ecoule directement du th´eor`eme 5 et de la d´efinition 11 de la
relation d’´equivalence. 2
Exemple 12 Revenons sur la situation illustr´ee dans la figure 3.7. Le syst`eme compos´e de 5 entit´es {1, 2, 3, 4, 5}. Supposons que toutes ces entit´es percoivent une d´efaillance dans l’intervalle de temps [k − 1, k] et τ = 3. Les deux ensembles B1 = {1, 2, 3, 4} et
B2 = {2, 3, 4, 5} ont un mouvement τ -dense et sont maximaux. On a alors :
— Wk(1) = {B1} — Wk(2) = {B1, B2} — Wk(3) = {B1, B2} — Wk(4) = {B1, B2} — Wk(5) = {B2} Par cons´equent, on a 2 ≡ 3 ≡ 4. On a : Ek(1) = {1}, Ek(2) = {2, 3, 4} et Ek(5) = {5}.
On effectue la caract´erisation pour un repr´esentant de chacune de ces classes. On a alors :
Cas de l’entit´e 1 : L’entit´e 1 appartient `a un unique ensemble ayant un mouvement τ -dense maximal : B1. Les entit´es 2, 3, 4 appartiennent aussi `a l’ensemble B2.
Par cons´equent, on a Jk(1) = {1} et Lk(1) = {2, 3, 4}. Par application du
Cas de l’entit´e 2 : L’entit´e 2 appartient aux deux ensembles B1 et B2. On a alors
Jk(2) = {1, 2, 3, 4, 5}. Par application du th´eor`eme 3, l’entit´e 2 appartient `a Mk.
Cas de l’entit´e 5 : L’entit´e 5 appartient `a un unique ensemble ayant un mouvement τ -dense maximal : B2. Les entit´es 2, 3, 4 appartiennent aussi `a l’ensemble B1.
Par cons´equent, on a Jk(5) = {5} et Lk(5) = {2, 3, 4}. Par application du
corollaire 3, l’entit´e 5 appartient `a Uk.
Les entit´es 3 et 4 appartiennent `a la classe d’´equivalence de l’entit´e 2. Par application du th´eor`eme 6, les entit´es 3 et 4 appartiennent alors `a Mk. On a :
Ik= ∅, Mk= {2, 3, 4} et Uk= {1, 5}.
Nous avons pr´esent´e dans cette section des conditions permettant `a toute entit´e percevant une d´efaillance dans le syst`eme de d´eterminer avec certitude si la d´efaillance per¸cue est due `a une faute isol´ee ou une faute massive ou s’il s’agit d’un ´etat ind´etermin´e. Ces conditions nous permettent alors de r´esoudre le probl`eme 2.
D’autre part, ces conditions ne s’appuient que sur la connaissance des variations de mesures per¸cues par d’autres entit´es proches dans l’espace des qualit´es. Ainsi, une connaissance locale est suffisante pour d´eterminer avec certitude le type de faute ayant engendr´e la d´efaillance per¸cue. Cela signifie qu’une connaissance plus large, telle que celle qu’aurait un observateur global du syst`eme n’apporte aucune information suppl´ementaire ni une pr´ecision accrue sur le type de faute ayant engendr´e la d´efaillance per¸cue.
Enfin, nous avons exhib´e des conditions permettant de d´efinir des entit´es comme ´equivalentes, nous permettant ainsi de r´eduire le nombre d’entit´es pour lesquelles l’´evaluation de ces conditions est n´ecessaire.