Esp´erance du temps total pass´e dans les ´etats sains et pollu´es

On s’int´eresse tout d’abord au temps pass´e par le cluster dans les ´etats sains avant que celui-ci ne soit amen´e `a se scinder en deux nouveaux clusters ou `a devoir fusionner avec un autre. Comme nous l’avons vu dans la section pr´ec´edente, la chaˆıne de Markov X(r) est absorbante : les ´etats de S et P sont transitoires et les ´etats de Aω_S, Aσ_S et Aω_P sont absorbants. On d´efinit alors la variable al´eatoire T_S(φ) qui compte le temps total pass´e dans les ´etats sains avant absorption par un cluster appliquant le protocole Pφ.

On a alors T_S(φ)= ∞ X m=0 1 {Xm(φ)∈S}.

D’apr`es [Ser90], la loi de T_S(φ) est donn´ee par : Pr{T_S(φ) = ℓ} =

(

1 − v✶ si ℓ = 0

vRℓ−1(I − R)✶ si ℓ ≥ 1 (6.3)

o`u I d´esigne la matrice identit´e, v = αS+ αP(I − MP)−1MP S, R = MS + MSP(I −

MP)−1MP S et o`u ✶ d´esigne le vecteur colonne de dimension ad-hoc ne contenant que

des 1. La fonction de r´epartition et l’esp´erance de T_S(φ) sont donn´ees par les relations suivantes :

Pr{T_S(φ) ≤ ℓ} = 1 − vRℓ✶ et E(T_S(φ)) = v(I − R)−1✶. (6.4) De mani`ere similaire, on d´efinit la variable al´eatoire suivante :

T_P(φ) = ∞ X m=0 1 {Xm(φ)∈P }

Cette variable compte le temps total pass´e dans les ´etats pollu´es avant absorption par un cluster appliquant le protocole Pφ. La loi de TP(φ) est donn´ee par la relation (6.5),

sa fonction de r´epartition et son esp´erance par la relation (6.6). Pr{T_P(φ)= ℓ} =

(

1 − w✶ si ℓ = 0

wQℓ−1_{(I − Q)✶ si ℓ ≥ 1} (6.5)

Pr{T_P(φ)≤ ℓ} = 1 − wQℓ✶ et E(T_P(φ)) = w(I − Q)−1✶, (6.6) o`u I d´esigne la matrice identit´e, w = αP + αS(I − MS)−1MSP et Q = MP + MP S(I −

Les figures 6.14 et 6.15 illustrent l’esp´erance du temps pass´e dans les ´etats sains E(T_S(φ)) et les ´etats pollu´es E(T_P(φ)) avant absorption en nombre d’´ev´enements join et leavepour diff´erentes proportions µ d’entit´es malveillantes, et diff´erentes probabilit´es δ qu’un identifiant soit valide. Les figures 6.14(a) et 6.15(a) illustrent ces quantit´es pour φ = 1 pour les distributions initiales α(1) et α(2) consid´er´ees. Les figures 6.14(b) et 6.15(b) illustrent ces quantit´es pour φ = γ pour les distributions initiales α(1) _{et α}(2)

consid´er´ees.

Ces deux protocoles repr´esentent les deux situations extrˆemes concernant φ. Dans le premier cas, lors du d´epart d’une entit´e du core, une seule entit´e est choisie parmi le spare pour remplacer l’entit´e partie, tandis que dans le second cas, l’ensemble du core est renouvel´e en choisissant al´eatoirement un sous-ensemble de taille γ parmi les entit´es du cluster.

Tout d’abord, quelle que soit la distribution initiale ou la proportion d’entit´es renou- vel´ees dans la mise `a jour du core, on constate qu’`a dur´ee de vie fix´ee, la proportion de temps pass´e dans les ´etats pollu´es augmente avec la proportion d’entit´es malveillantes dans le syst`eme. En effet, plus cette proportion augmente, plus la probabilit´e d’ajou- ter une entit´e malveillante au cluster augmente, et donc la probabilit´e que celle-ci soit choisie pour faire partie du core.

D’autre part, on constate que le temps pass´e dans les ´etats pollu´es croˆıt avec δ. En effet, l’adversaire laissant ses entit´es malveillantes le plus longtemps possible au sein du cluster, plus leur dur´ee de validit´e augmente, plus la probabilit´e d’ˆetre choisie pour faire partie du core augmente. D’autre part, l’adversaire bloque les arriv´ees d’entit´es honnˆetes (r`egle 2), limitant ainsi la possibilit´e de revenir `a un ´etat sain.

Le tableau 6.3 illustre cette tendance pour valeurs de δ proches de 1. La dur´ee de validit´e des identifiants tend vers l’infini lorsque δ s’approche de 1. On constate alors que lorsque δ tend vers 1, la classe d’´etats P tend `a devenir absorbante. Ainsi pour δ = 0.999, d`es µ = 10% le temps moyen pass´e dans les ´etats sains avoisine les 700000 ´ev´enements de join et leave alors qu’en l’absence d’entit´es malveillantes, la dur´ee de vie moyenne du cluster n’est que de 12 ´ev´enements.

D’autre part, on constate que la distribution initiale d’´etats du cluster a un impact sur l’esp´erance du temps pass´e dans les ´etats sains et celle du temps pass´e dans les ´etats pollu´es. En effet, dans le cas de la distribution initiale α(1), le cluster est initia- lement exempt d’entit´es malveillantes. Par cons´equent, les ´etats contenant des entit´es malveillantes ne sont pas imm´ediatement accessibles. Le cluster vit alors en ´etat sain et fini par atteindre un ´etat o`u il doit se scinder en deux ou fusionner avec un autre cluster avant qu’il n’y ait suffisamment d’entit´es malveillantes au sein du cluster permettant de prendre le contrˆole de celui-ci et ainsi de bloquer l’arriv´ee d’autres entit´es honnˆetes.

`

A l’inverse, dans le cas de la distribution initiale α(2), des entit´es malveillantes sont d´ej`a potentiellement pr´esentes dans le cluster. Lorsque l’adversaire prend le contrˆole du cluster, celui-ci bloque les arriv´ees d’entit´es honnˆetes augmentant ainsi significativement l’esp´erance du temps pass´e dans les ´etats pollu´es.

Enfin, on constate sur cette figure que le choix du protocole a un impact sur l’esp´erance des temps totaux pass´es dans les ´etats sains et pollu´es. ´Etonnamment, le protocole P1 offre une esp´erance du temps total pass´e dans les ´etats sains nettement

Table _{6.3 – E(T}(φ)

S ) et E(T (φ)

P ) en fonction de µ et δ dans le cas o`u φ = 1, γ = 7,

∆ = 7 et α = α(1)

µ = 0% µ = 10% µ = 20% µ = 30%

δ 0.9 0.999 0.9 0.999 0.9 0.999 0.9 0.999

E(T_S(1)) 12.0 12.0 12.18 12.19 12.21 12.16 12.12 11.99 E(T_P(1)) 0.0 0.0 0.02 698591 0.17 2.57 × 108 0.64 4.92 × 109

plus faible que dans le cas du protocole Pγ. Ceci est dˆu `a deux facteurs combin´es : la

quantit´e φ d’entit´es du core renouvel´ees lors du d´epart d’une entit´e du core et l’appli- cation par l’adversaire de la r`egle 2.

P1 : Dans ce cas, les entit´es malveillantes int`egrent le core une par une. Il faut donc

au minimum c+1 d´epart d’entit´es du core pour y ins´erer les entit´es malveillantes n´ecessaires `a la prise de contrˆole du cluster par l’adversaire. Dans le cas de la distribution initiale α(1), il faut de plus au minimum c + 1 ajouts d’entit´es malveillantes dans le cluster pour permettre la pollution.

Pγ : Si le cluster comporte c + 1 entit´es, la pollution est possible d`es le premier

d´epart d’une entit´e du core. De plus, d’apr`es la r`egle 2, l’adversaire ignore tout ´ev´enement join d’une entit´e honnˆete. Il augmente ainsi la repr´esentation des en- tit´es malveillantes au sein du cluster de mani`ere significative et donc l’esp´erance du temps pass´e dans les ´etats pollu´es.