Identification du comportement de chaque phase dans l’alliage

3.3 Simulation du comportement du mat´eriau biphas´e

3.3.3 Identification du comportement de chaque phase dans l’alliage

N’ayant à notre disposition que le comportement macroscopique de l’AM1, cette identification est ef- fectuée par une méthode inverse et de manière itérative jusqu’à ce que l’on trouve des coefficients matériau pour chacune des phases qui permettent de reproduire au mieux le comportement macroscopique de l’alliage. Nous entrevoyons là une des limites de cette approche. En effet, il n’y a pas de solution unique au problème car plusieurs jeux de coefficients différents peuvent conduire au même comportement macroscopique.

3.3. Simulation du comportement du mat´eriau biphas´e

Famille Num´ero Plan de Direction Facteur de Facteur de Facteur de

glissement de glissement Schmid[001] Schmid[111] Schmid[011]

octa´edrique 1 [¯101] _√1 6 ≈ 0.41 0 1 √ 6 ≈ 0.58 2 (111) [0¯11] √1 6 0 0 3 [¯110] 0 0 √1 6 4 [¯101] _√1 6 0 0 5 (1¯11) [011] _√1 6 2 3√6 ≈ 0.27 0 6 [110] 0 2 3√6 0 7 [0¯11] √1 6 0 0 8 (¯111) [110] 0 2 3√6 1 √ 6 9 [101] _√1 6 2 3√6 1 √ 6 10 [¯110] 0 0 0 11 (11¯1) [101] −√1 6 2 3√6 0 12 [011] −√1 6 2 3√6 0 cubique 13 (001) [¯110] 0 0 − 1 √ 8 ≈ 0.35 14 [110] 0 √₃2 _{≈ 0.47} √1 8 15 (100) [011] 0 √ 2 3 0 16 [0¯11] 0 0 0 17 (010) [¯101] 0 0 1 √ 8 18 [110] 0 √₃2 √1 8

TAB. 3.3. Facteur de Schmid suivant la direction du chargement.

l’écrouissage de l’AM1. En tout, ce sont donc 20 coefficients qui sont à identifier pour décrire le comportement des systèmes octaédriques et cubiques des deux phases. Néanmoins, dans le but de restreindre ce nombre, un certaines hypothèses ont été fait.

Dans [Espié 96], le choix a été fait de faire porter l’effet d’échelle sur la valeur du paramètrer0dans la matrice. Ainsi, une augmentation der0permet une bonne description de la limite élastique du superalliage. Ce choix est contestable car il n’y pas de raison que l’effet d’échelle ne porte pas également sur l’écrouissage cinématique. Nous reviendrons sur ce point dans le chapitre consacré à la modélisation par les milieux continus généralisés au chapitre 6. Nous faisons ici le choix de ne modifier que les coefficients c et d.

Les paramètresr0 caractérisant le seuil de plasticité sont identifiés à partir des données expérimentales présentées par la figure 3.1. Nous prenons également l’exposantn de la loi de Norton identique pour les

deux types de systèmes de glissements des deux phases et égal à 5. Le nombre de paramètres à identifier est maintenant de 12. L’identification des coefficients octaédriques et cubiques s’effectue en deux temps comme cela est expliqué par la suite.

Identification des coefficients des syst`emes de glissement octa´edriques

Dans un premier temps les coefficients des systèmes octaédriques sont déterminés à partir de simulations de traction et d’écrouissage cyclique suivant l’orientation_{h001i. En effet, comme le rappelle le} tableau 3.3, pour cette orientation seuls les systèmes octaédriques sont activés. Cependant, dans le calcul de microstructure, il peut exister des zones où la contrainte est fortement multiaxiale, typiquement aux coins des précipités. Cette hypothèse revient à négliger la contribution des systèmes cubiques qui peuvent éventuellement s’activer localement dans ces zones. Elle sera vérifiée a posteriori une fois les paramètres des systèmes cubiques identifiés.

Dans un premier temps, les paramètres octaédriques de la matrice sont déterminés de façon à reproduire le début de la courbe de traction. Le résultat de cette identification est présenté par la figure 3.8. On a

0 200 400 600 800 1000 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 σ [MPa] ε Essai 05 10-5 s-1 Essai 09 10-3 s-1 Simulation 10-5 s-1 Simulation 10-3 s-1

FIG. 3.8. Identification des paramètres des systèmes octaédriques de la phaseγ à 950◦_{C à partir d’essais de traction}

suivanth001i `a 10−5s−1et10−3s−1.

constaté qu’il est impossible de reproduire le comportement de l’AM1 avec comme seuls paramètres libres les coefficients matériau de la matrice. En effet, comme le montre la figure 3.8, le fait de conserver la phaseγ′ _{élastique empêche d’atteindre le comportement saturé macroscopique du matériau biphasé. Nous} avons trouvé deux approches dans la littérature. La première consiste à adopter un modèle de comportement visco-plastique pour la phaseγ′. Une autre approche a été développée par Nouailhas [Nouailhas 97]. Dans cet article, un modèle de comportement pour la phaseγ, basé sur une approche par invariants, est proposé.

Ce modèle est caractérisé par un critère de plasticité dépendant de la pression hydrostatique. En d’autres termes, c’est la trace du tenseur de contrainte qui entre dans l’écriture du critère et plus seulement sa partie déviatorique, ce qui implique que la matrice est compressible plastiquement. Ce modèle a initialement été développé dans le but de reproduire de manière satisfaisante des essais de traction mais aussi des essais de torsion par des simulations de microstructure. Mais il permet également d’obtenir un bon accord entre simulation et expérience en traction [Nouailhas 97, Massaoudi 02].

Nous avons opté pour la première solution qui consiste à autoriser la plasticité dans les précipités. Cette hypothèse semble raisonnable au vue des cissions résolues critiques relevées expérimentalement pour cette phase (cf. figure 3.1). Elle est d’ailleurs faite dans de nombreux travaux (e.g. [Espié 96, Fedelich 02]). Néanmoins, comme souligné dans [Benyoucef 03], la contribution du cisaillement des précipités semble faible devant la déformation subie par la matrice à haute température (850◦C dans ces expériences in-situ). Ce problème reste donc encore à l’heure actuel ouvert.

Le tableau 3.4 précise les valeurs des paramètres octaédriques des phasesγ et γ′ _{ainsi identifiés. La} figure 3.9 compare les résultats de l’identification proposée pour les systèmes octaédriques aux données expérimentales en traction et en écrouissage cyclique sur l’AM1 à 950◦C. Un compromis a dû être trouvé afin de décrire au mieux l’ensemble des courbes de traction (figure 3.9(a)). En effet, cette figure montre que, si l’on décrit correctement la traction pour les fortes déformations on constate, en revanche, que la pente de la courbe notamment à 10−3 s−1n’est pas très bien reproduite aux alentours de_{ε ≈ 0.005. De même,} en écrouissage cyclique (figure 3.9(b)), la boucle obtenue par simulation pour la vitesse de10−3 _s−1_est beaucoup moins large que la boucle expérimentale. Nous nous heurtons ici aux mêmes difficultés que celles rencontrées au chapitre 1 pour l’identification du modèle macroscopique, à savoir la difficulté de reproduire de manière satisfaisante écrouissage cyclique et traction monotone avec un modèle à 5 paramètres.

Pour finir, il est intéressant de comparer sur une même figure le comportement de chaque phase tel qu’il a été déterminé dans ce travail et le comportement résultant du matériau biphasé (figure 3.10). Ainsi, le comportement de l’AM1 se situe entre celui des phasesγ et γ′_{. De plus, la comparaison de la courbe} de traction de la phaseγ identifiée pour l’AM1 (figure 3.10) et celle de la phase massive (figure 3.2) sou-

ligne l’importance des effets d’échelle dans les superalliages. Nous avons expliqué la procédure suivie pour l’identification des paramètres des deux phases. Nous aimerions toutefois vérifier que les comportements des deux phases ainsi déterminés sont réalistes physiquement. Pour cela, nous avons fait un calcul d’ordre

3.3. Simulation du comportement du mat´eriau biphas´e 0 200 400 600 800 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 σ [MPa] ε Essai 05 10-5 s-1 Essai 09 10-3 s-1 Simulation 10-5 s-1 Simulation 10-3 s-1

(a) Chargements monotones

-600 -400 -200 0 200 400 600 -0.0075 -0.005 -0.0025 0 0.0025 0.005 0.0075 σ [MPa] ε Essai 10-5 s-1 Essai 10-3 s-1 Simulation 10-5 s-1 Simulation 10-3 s-1 (b) Chargements cycliques

FIG. 3.9. Identification des paramètres des systèmes octaédriques de chacune des phases à 950◦C à partir d’essais sui- vanth001i aux vitesses de sollicitation de ˙ε = 10−5s−1et ˙ε = 10−3s−1. Les résultats expérimentaux en écrouissage cyclique sont issus de [de Bussac 92].

de grandeur à l’aide de l’équation d’Orowan qui lie la cission résolue à la distance entre obstacles :

τorowan =C44b

d (3.2)

avecb la norme du vecteur de Burgers et d la distance entre obstacles. Mod´elisons le comportement de

la phaseγ en considérant que la contrainte à 0.2% de déformation plastique est la somme d’une cission

critique, li´ee aux frictions de r´eseau, et d’une contribtion de type Orowan. Dans le cas de la phaseγ massive,

la contribution d’Orowan est nulle, et, d’après la figure 3.2, on aσ0.2 ≈ 200 MPa. Quand cette phase est dans l’AM1,d est égal, pour un système octaédrique, à√2x la distance entre deux précipités (égale en

moyenne `a 100 nm dans le cas de l’AM1). En prenantb = 0.254 nm ([Diologent 02]), on obtient une

contribution d’Orowan de l’ordre de 400 MPa, soitσ0.2 ≈ 600 MPa. Cette valeur est en accord avec la contrainte `a0.2% de d´eformation plastique que l’on peut lire sur la figure 3.10. Ce simple calcul nous

permet de nous rassurer quand à la validité des paramètres déterminés par les calculs de microstructure. La figure 3.10 suscite également quelques commentaires sur notre identification des paramètres matériau de la matrice et des précipités. Comme on peut le voir, nous avons choisi un écrouissage relativement lent pour la phase γ, caractérisé par un coefficient d = 2500, et au contraire très rapide pour la phase γ’ (d = 100000). Ce choix est difficile à justifier physiquement. Quant à la viscosité, elle est du même

ordre de grandeur dans les deux phases, ce qui n’est pas forcément très physique. On entrevoit ici l’un des défauts majeurs d’une approche du comportement des superalliages par homogénéisation. Les paramètres matériau de chacune des phases sont difficiles à déterminer et à justifier physiquement. D’ailleurs il n’y a pas unicité sur les paramètres matériau comme le montrent les identifications réalisées par d’autres auteurs [Espié 96, Nouailhas 97].

L’étude du comportement de l’AM1 par simulation à l’échelle de la microstructure permet d’obtenir des informations sur les champs locaux. On peut en effet localiser les zones où se concentrent les contraintes et la plasticité, et estimer l’importance de la multiaxialité. La figure 3.11 présente les champs de contrainte

σ11,σ22,σ33sur la cellule élémentaire ainsi que la déformation plastiqueεp33sur la microstructure et dans la matrice. Sur la figure 3.11(a), nous rappelons la définition des axes, le chargement appliqué étant suivant la direction_{−z. Les figures 3.11(b), (c) et (d) montrent que le champ de contrainte est relativement uniforme} dans le précipité. Comme on peut le voir sur les figures 3.11(e) et (f) la déformation plastique est la plus forte le long des arêtes et dans les coins des précipités.

0 200 400 600 800 1000 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 σ [MPa] ε γ 10-3 s-1 γ ’ 10-3 s-1 AM1 10-3 s-1

FIG. 3.10. Comportement monotone des phasesγ, γ′_{et de l’AM1 `a 950}◦_{C identifi´es dans ce travail.}

Identifications des coefficients des syst`emes de glissement cubiques

Les coefficients des systèmes cubiques sont identifiés à partir d’essais suivant l’orientation _h111i. Le tableau 3.3 montre que pour un chargement suivant cette orientation, ce sont les systèmes cubiques qui sont principalement activés. L’activation des systèmes octaédriques est également possible sous forte contrainte. Nous identifions donc les paramètres matériau relatifs au systèmes cubiques avec les paramètres octaédriques identifiés précédemment. Nous rappelons que l’introduction du glissement cubique à l’échelle des phases peut paraˆıtre contestable puisque le glissement cubique est en fait un glissement octaédrique dévié [Bettge 99]. On peut cependant comprendre que l’écrouissage pour ce type de glissement est différent de celui présenté par du glissement octaédrique pur, ce qui justifie à nos yeux l’introduction des six systèmes cubiques fictifs. Enfin, pour cette orientation cristallographique, le chargement n’est plus symétrique par rapport aux plansx = 0, y = 0 et z = 0 de la microstructure, ce qui nous oblige à effectuer les calculs sur

la cellule élémentaire complète.

Nous avons identifié le comportement des phasesγ et γ′_{suivant l’orientation}_{h111i en nous basant à la} fois sur des données expérimentales en traction obtenues dans le cadre du PEA EGISTHE (cf. chapitre 4, essai 10) et en écrouissage cyclique issues de [de Bussac 92] mais également à partir de la réponse du modèle macroscopique. Le modèle macroscopique utilisé pour cette identification est le modèle de comportement de l’AM1 identifié dans [de Bussac 92] et recalé, pour les chargements suivant_{h001i, sur les données en} traction monotone du PEA EGISTHE (paragraphe 2.4.1).

La figure 3.12 montre le résultat de notre identification des paramètres cubiques. Les coefficients iden- tifiés sont présentés dans le tableau 3.4. En traction monotone, on obtient un bon accord entre les simulations à l’échelle de la microstructure et les simulations menées avec le modèle macroscopique. Il en résulte un bon accord avec l’expérience pour la vitesse de déformation de10−5 _s−1_{. En revanche, la simulation sur-} estime la contrainte pour la vitesse de déformation de10−3 _s−1_{. Les comparaisons expérience/simulation} sur les boucles stabilisées (figure 3.12(b)) montrent que les simulations sous-estiment la largeur des cycles pour les deux vitesses étudiées. De plus, on constate un écart d’environ 80 MPa sur la contrainte stabilisée entre expériences et simulations pour la vitesse la plus rapide.

La figure 3.13 représente la cission résolue macroscopique en fonction de la moyenne du glissement pour chacun des systèmes de glissement à ε = 0.02 pour la vitesse de 10−3 _s−1_{. Comme prévu par le} critère de Schmid, trois systèmes de glissement cubique sont activés en traction suivant_{h111i. Cependant} ils ne s’activent pas tous avec la même intensité comme le prévoit le modèle macroscopique. Dans notre simulation, le système 14 contribue de manière plus importante à la déformation plastique que les systèmes 13 et 18.

La figure 3.14 présente les isovaleurs de quelques champs remarquables. Tout d’abord elle montre que le champ de contrainteσ33est relativement homogène sur la microstructure, excepté aux coins des précipités. Ces contraintes importantes aux coins des précipités induisent localement l’activation de systèmes de glis-

3.3. Simulation du comportement du mat´eriau biphas´e

(a) D´efinition des axes (b) contrainte σ11

(e) D´eformation plastique εp33 (f) D´eformation plastique ε p 33dansγ

FIG. 3.11. Champs de contrainte et de déformation plastique locaux aux points de Gauss à 2% de déformation suivant [001] à ˙ε = 10−3s−1.

0 200 400 600 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 σ [MPa] ε Modele macro 10-5 s-1 modele macro 10-3 s-1 Essai 10 10-5/10-3 s-1 Simulation 10-5 s-1 Simulation 10-3 s-1

(a) Chargements monotones

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -0.005 -0.0025 0 0.0025 0.005 σ [MPa] ε Essai 10-5 s-1 Essai 10-3 s-1 Simulation 10-5 s-1 Simulation 10-3 s-1 (b) Chargements cycliques

FIG. 3.12. Identification des paramètres des systèmes cubiques de chacune des phases à 950◦C à partir d’essais monotones et cycliques suivanth111i à ˙ε = 10−5s−1et˙ε = 10−3s−1.

0 50 100 150 200 250 300 350 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 τ [MPa] γ 13 14 18 6, 7, 9, 10, 11, 12

FIG. 3.13. Systèmes de glissement activés en traction suivant l’orientationh111i à ˙ε = 10−3s−1etε = 0.02.

Param`etre Syst`emes r0 c d k n

MPa MPa MPa.s1/n

Phaseγ octa´edriques 35 2.105 2500 750 5

cubiques 20 5.107 106 750 5

Phaseγ′ _{octa´edriques} ₂₀₀ _5.105 ₁₀5 ₁₀₀₀ ₅

cubiques 150 5.106 10000 500 5

3.3. Simulation du comportement du mat´eriau biphas´e

sement octaédriques tels que le système 6 (figure 3.14(c)). Contrairement au cas de la traction suivant_h001i, les précipités se déforment moins plastiquement en traction suivant_{h111i comme le montrent les cartes de} glissement sur les systèmes 14, 15 et 18. Le système 15 qui est non actif macroscopiquement est néanmoins activé localement, notamment aux coins des précipités.

Maintenant que nous disposons d’un jeu complet de paramètres matériau pour le comportement des phases, nous vérifions que l’hypothèse effectuée au paragraphe 3.3.3 est justifiée. Rappelons que nous avions négligé la contribution des systèmes cubiques pour un chargement suivant_{h001i. Une simulation} avec l’ensemble des systèmes de glissement a donc été réalisée. La moyenne du glissement cubique cumulé sur la microstructure est de1.710−7_{, contre}_2.110−2_{pour la moyenne du glissement octaédrique. De plus,} aucune différence n’est visible sur la réponse macroscopique entre le calcul prenant seulement en compte le glissement octaédrique et le calcul avec tous les systèmes de glissement. L’hypothèse faite au paragraphe 3.3.3 est donc largement justifiée.

Comportement suivant l’orientation_h011i

Un point important consiste à simuler par homogénéisation le comportement de l’AM1 suivant l’orientation _{h011i. En effet, au niveau macroscopique nous avons vu qu’une loi de Schmid sur les systèmes} cubiques se justifie par les bons résultats obtenus pour cette orientation. Nous souhaitons donc vérifier que cette hypothèse est également valable à l’échelle de la microstructure pour les simulations par ho- mogénéisation. La figure 3.15 présente la comparaison entre simulations avec le modèle macroscopique et simulations biphasées en traction monotone ainsi que la comparaison avec des résultats expérimentaux. En traction monotone, l’accord entre modèle macroscopique et simulations biphasées est aussi bon que celui montré pour les orientations_{h001i et h111i. En revanche, la comparaison avec l’essai 12 (cf. chapitre 4)} montre que la simulation à l’échelle de la microstructure ainsi que le modèle macroscopique surestiment fortement la contrainte.

Conclusions sur l’identification du comportement des phasesγ et γ′_{dans l’AM1}

Nous avons donc identifié un modèle de comportement pour chacune des phases. Le tableau 3.4 ré- capitule ce travail d’identification en donnant les paramètres des systèmes octaédriques et cubiques des deux phases. En conclusion, nous avons reporté sur la figure 3.16 les simulations en traction suivant les orientations_{h001i, h011i, h111i et h123i comparées aux résultats expérimentaux de [Poubanne 89]. La} figure 3.16(a) présente les simulations effectuées avec le modèle macroscopique et la figure 3.16(b) les simulations à l’échelle de la microstructure. Globalement l’accord entre simulations et expériences est sa- tisfaisant dans le sens où les simulations par homogénéisation donnent les bonnes tendances concernant l’anisotropie du comportement mécanique. On retrouve, dans l’ordre croissant de niveau de contrainte pour une même vitesse de sollicitation, les orientations_{h111i, h123i, h011i et h001i. L’accord entre simulations} et expériences n’est cependant pas parfait, même pour l’orientation_{h001i. Une première raison vient du} fait que les essais de [Poubanne 89] n’ont pas été effectués dans les mêmes conditions expérimentales et de nuance de matériau. Il est toujours délicat de comparer des résultats expérimentaux provenant de différentes campagnes expérimentales comme souligné dans l’annexe D. Pour les autres orientations, et notamment les orientations_{h011i et h123i activant simultanément systèmes octaédriques et cubiques, les différences ont} été discutées au paragraphe précédent. Mais il est rassurant de constater que le modèle macroscopique ne donne pas forcément de meilleurs résultats.

Le travail d’identification étant validé sous chargement uniaxial, nous nous sommes intéressés aux limites de cette approche. Deux questions peuvent être posées :

– Que donnent les simulations `a l’´echelle de la microstructure sous chargement multiaxial ?

– Cette approche permet-elle de prévoir le comportement de l’AM1 pour des microstructures légèrement modifiées par rapport à la microstructure de référence ?

(a) D´eform´ee x15 (b) Contrainte σ33

(e) Glissement cubique γ15 (f) Glissement cubique γ18

FIG. 3.14. Isovaleurs du champ de contrainteσ33et des champs de glissementγ6,γ14,γ15,γ18aux points de Gauss

3.4. Simulation d’essais de torsion 0 200 400 600 800 0 0.005 0.01 0.015 0.02 σ [MPa] ε Essai 12 Modele macro 10-5 s-1 modele macro 10-3 s-1 Simulation 10-5 s-1 Simulation 10-3 s-1

FIG. 3.15. Validation de l’identification d’un modèle visco-plastique à 950◦C pour chacune des phases par comparaison avec des simulations d’essais monotones suivanth011i avec le modèle cristallin.

3.4 Simulation d’essais de torsion

La simulation du comportement en cisaillement constitue une validation de l’identification des pa- ramètres visco-plastiques des deux phases. Nous commençons par comparer les simulations à l’échelle de la microstructure à la réponse du modèle macroscopique pour un chargement en cisaillement pur. La simulation des essais de torsion réalisés par Bonnand durant sa thèse [Bonnand 06] est ensuite comparée aux résultats expérimentaux.

3.4.1 Simulation du comportement du mat´eriau biphas´e en cisaillement pur sui-

vant_h001i

La réponse d’un monocristal en cisaillement pur suivant _{h001i dépend de l’orientation secondaire de} l’échantillon [Nouailhas 93, Bonnand 06]. En effet, dans le cas d’un tube soumis à un chargement de torsion, on observe des bandes de déformation plus importantes dans les directions de type_{h011i que dans celles} de type_{h100i. La figure 3.17, issue de [Bonnand 06] montre qu’un modèle de comportement cristallin est} capable de reproduire cette anisotropie observée expérimentalement [Nouailhas 93].

Nous avons donc effectué des simulations de cisaillement pur en déformation imposée suivant_{h001i en}

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