G´en´eration de la microstructure cubo¨ıdale

Premi`ere simulation

Nous reprenons ici les simulations ´elastiques conduisant `a la microstructure cubo¨ıdale. Nous rappelons que ces simulations sont effectu´ees `a contrainte macroscopique nulle avec le mod`ele ´elastique. La simulation de r´ef´erence est r´ealis´ee en prenant un misfit ´egal `a<sub>−0.2%. Quant au coefficient χ, nous l’avons fix´e `a 0.1,</sub> ce qui conduit `a un pas de grille de 11.8 nm. La figure 5.15 montre l’´evolution de la microstructure.

Nous avons compar´e la microstructure obtenue par simulation `a la microstructure de l’AM1. Cette comparaison est pr´esent´ee par la figure 5.16. On constate que la forme des pr´ecipit´es est beaucoup plus r´eguli`ere exp´erimentalement et que la dispersion de la taille des pr´ecipit´es semble plus faible. Afin de confirmer cette constatation nous avons men´e une ´etude quantitative de la taille et de la forme des pr´ecipit´es obtenus par simulation.

L’analyse de la taille des pr´ecipit´es est effectu´ee de la fac¸on suivante. L’image du champ de concen- tration est binaris´ee. Une fonction permet alors de rep´erer les pr´ecipit´es. Deux mesures de leur tailles ont ´et´e choisies. La premi`ere mesurel1est ´egale `a la racine cubique du volume des pr´ecipit´es. En 2D, cette mesure est ´egale `a la racine carr´e de la surface des pr´ecipit´es. La deuxi`eme mesurel2est ´egale `a la distance

5.7. Vers des simulations champs de phases plus quantitatives ?

(a) t=0 (b) t=3.6 h (c) t=14.7h (d) t=33.3 h

(e) t=0 (f) t=3.6 h (g) t=14.7 h (h) t=33.3 h

FIG. 5.15. Simulation de formation de la microstructure cubo¨ıdale `a partir du d´esordre. Les dimensions de la simulation sont de 6µm x 6 µm. Les images (a) `a (d) repr´esentent le champ de concentration entre t=0 et t=33.3 h. les images (e) `a (h) repr´esentent les champs de param`etres d’ordre aux mˆeme temps. Le code de couleur fait apparaˆıtre en gris la matrice et chacune des couleurs repr´esente un variant de la phaseγ′.

moyenne suivant l’axex ou y au barycentre du pr´ecipit´e :

l2x=

s Z

V(x − x

B)2dV (5.114)

o`uxBd´esigne l’abscisse du barycentre. Nous avons de plus calcul´e le facteur de forme des pr´ecipit´es d´efini comme le rapport entrel2xetl2y.

La figure 5.17 pr´esente l’´evolution de la moyenne del1ainsi que de l’´ecart type en fonction du temps. On trouve une cin´etique ent0.35_{. On constate sur la figure 5.17 que l’´evoltion del}3

1est `a peu pr`es lin´eaire en fonction du temps. La th´eorie LSW n’est pas applicable car elle ignore l’´elasticit´e mais dans [Thornton 04] un mod`ele est d´evelopp´e selon lequel l’´evolution ent1/3_{persite si les pr´ecipit´es sont cubo¨ıdaux.}

La figure 5.18 pr´esente une analyse statistique des tailles des pr´ecipit´es ainsi que du facteur de forme. La valeur moyenne de la taille des pr´ecipit´es, quelle que soit la mesure utilis´ee, est d’environ 450 nm. Le fac- teur de forme moyen est approximativement de 1. Ces chiffres sont conformes aux valeurs exp´erimentales [Diologent 02]. Cependant nous constatons une forte dispersion sur ces valeurs. Nous pouvons compa- rer nos distributions de pr´ecipit´es `a celles trouv´ees dans [Thornton 04]. Les auteurs montrent que, lorsque l’´elasticit´e devient importante, la distribution de tailles devient moins abrupte aux grandes tailles, en accord qualitatif avec nos r´esultats. Ainsi, la figure 5.18 montre que la taille des pr´ecipit´es varie entre 50 et 1800 nm. De mˆeme le facteur de forme varie entre 0.2 et 2.6.

Pour comparer exp´erience et simulation, il faudrait effectuer le mˆeme d´epouillement sur les micro- graphies exp´erimentales. Mais nous voyons d´ej`a sur la figure 5.16 que la principale diff´erence entre les microstructures exp´erimentales et simul´ees concerne la forme de pr´ecipit´es, que l’on peut par exemple ca- ract´eriser par le nombre de cˆot´es des polygones deγ′_{. Sur l’image exp´erimentale, ils en ont tous quatre alors} que l’image tir´ee de la simulation montre une grande proportion de pr´ecipit´es avec plus de quatre cˆot´es.

FIG. 5.16. Comparaison de la microstructure obtenue par simulation et de la microstructure de l’AM1 `a la mˆeme ´echelle. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 l [nm] Time [s] l1 moyen Ecart type 0 1e+07 2e+07 3e+07 4e+07 5e+07 6e+07 7e+07 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 l 3 [nm] Time [s] l1 moyen

5.7. Vers des simulations champs de phases plus quantitatives ? 0 5 10 15 20 25 30 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Nombre precipites l1 [nm] Moyenne 398 nm Max 1316 nm Min 50 nm Ecart type 258 nm (a) Mesure l1 0 5 10 15 20 25 30 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Nombre precipites l2 dans la direction x [nm] Moyenne 427 nm Ecart type 297 nm Max 1666 nm Min 47 nm

(b) Mesure l2dans la direction x

0 5 10 15 20 25 30 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Nombre precipites l2 dans la direction y [nm] Moyenne 477 nm Ecart type 371 nm Max 1772 nm Min 53 nm

(c) Mesure l2dans la direction y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Nombre precipites Aspect Ratio l2x/l2y (d) Facteur de forme

Pourquoi ces diff´erences ? Malgr´e nos efforts pour calibrer les simulations par champs de phases sur les caract´eristiques de l’AM1, nous observons une diff´erence importante entre les microstructures exp´erimentales et les microstructures obtenues par simulation en termes de dispersion sur les tailles des pr´ecipit´es. Nous avons tent´e d’aller plus loin en recensant des explications possibles des diff´erences ob- serv´ees. Selon nous, trois facteurs sont `a consid´erer. D’une part les incertitudes sur les param`etres des simulations champs de phases et d’autre part des erreurs d’ordre num´erique peuvent influer sur les r´esultats. Enfin, certaines hypoth`eses utilis´ees pour construire le mod`ele, notamment le fait de consid´erer un alliage binaire pour mod´eliser un alliage industriel de composition beaucoup plus complexe, peut ´egalement jouer un rˆole sur les r´esultats obtenus.

Nous avons recens´e les incertitudes d’ordre physique suivantes pouvant avoir une influence sur la mor- phologie des pr´ecipit´es :

– Incertitude sur les constantes ´elastiques des deux phases. D’une part, l’´etude bibliographique que nous avons men´ee sur les constantes ´elastiques dans les deux phases semble montrer une inhomog´en´eit´e sur les propri´et´es ´elastiques de l’ordre de 15% entre γ et γ′ et, d’autre part, [Hu 01b] montre que, pour obtenir des populations de pr´ecipit´es semblables `a l’exp´erience, il faut une inhomog´en´eit´e tr`es forte. Cependant, les simulations dans [Hu 01b] ne prennent pas en compte les diff´erents variants de la phaseγ′_{. C’est pourquoi il nous semble int´eressant d’´etudier ce point ;}

– Les traitements thermiques subis par le mat´eriau sont plus complexes que ce que l’on a simul´e jus- qu’ici. Il subit notamment un traitement d’homog´en´eisation `a 1200◦C avant un revenu `a 850◦C. Ce passage `a 1200◦C a-t-il une influence sur la microstructure finale ?

– Le traitement de l’´energie d’interface. Tout d’abord, l’´energie d’interface peut ˆetre anisotrope. Une ´energie d’interface anisotrope conduit `a des pr´ecipit´es plus carr´es. Ensuite, le poids relatif des coeffi- cientsλ et β peut avoir un rˆole important lorsque les couloirs sont fins. Jusqu’`a pr´esent, par manque

d’informations, nous avons choisi de d´eterminer_{λ/β pour que les termes h´et´erog`enes λ|∇c|}2 et

β|∇η|2 _{contribuent de mani`ere similaire `a l’´energie d’interface. Une possibilit´e pour estimerλ/β} serait d’utiliser l’´energie de paroi d’antiphase (APB) dans la phaseγ′ _{pure. Plus pr´ecisemment, il} est bien ´etabli que, dans le syst`eme Ni-Al, l’´energie d’APB conservative est tr`es significativement sup´erieure `a l’´energie d’interfaceγ/γ′ _{(les ordres de grandeurs de ces ´energies de surface sont res-} pectivement de 100 mJ.m−2et 10 mJ.m−2). On peut raisonnablement supposer qu’il en est de mˆeme dans les superalliages industriels. Il peut donc ˆetre important d’int´egrer cette information dans notre mod´elisation en identifiant en cons´equence les coefficientsλ et β . Une autre id´ee, si les gradients de

param`etres d’ordre sont forts, est de continuer le d´eveloppement de la partie h´et´erog`ene et d’ajouter le terme_|η|4.

Bien d’autres param`etres physiques entrent dans nos simulations mais nous pensons qu’ils n’ont pas d’influence sur le r´egime de coalescence des pr´ecipit´es. Il s’agit notamment de la fonctionnelle d’´energie libre. C’est ´egalement le cas du misfit et de l’´energie d’interface qui vont uniquement modifier les ´echelles de temps et d’espace des simulations.

Nous avons envisag´e deux types d’erreurs d’ordre num´erique, la premi`ere li´ee `a la finesse de la discr´etisation et la seconde li´ee au caract`ere 2D de nos simulations. Deux questions se posent alors :

– Quelle est l’influence du pas de grille sur la coalescence des pr´ecipit´es ?

– Obtient-on les mˆemes statistiques de populations de pr´ecipit´es pour des simulations 2D et 3D ? La premi`ere question conduit `a l’analyse suivante. La croissance de la taille moyenne des pr´ecipit´es s’accompagne d’´ev´enements de coagulation. Ces ´ev´enements sont tr`es d´ependants de la morphologie des interfaces, en particulier de leur ´epaisseur, car celle-ci contˆole le recouvrement des champs de diffusion entre pr´ecipit´es proches voisins. C’est pr´ecisemment l`a que notre mod´elisation est la plus approximative, car les interfaces que l’on reproduit sont beaucoup plus larges qu’observ´e exp´erimentalement. Cette largeur excessive est une cons´equence de la valeur nanom´etrique du pas de grille. Dans la mesure o`u la dur´ee des ´ev´enements de coagulation est contrˆol´ee par le recouvrement des champs de diffusion, les propri´et´es intrins`eques des ph´enom`enes de coagulation sont mal reproduits. N´eanmoins, le temps caract´eristique des ´ev´enements de coagulation ´etant tr`es inf´erieur au temps caract´eristique de la croissance1_{, il est peu probable}

que l’´evolution macroscopique de la microstructure soit tr`es sensible `a la valeur du pas de grille. L’analyse du second point ´evoqu´e ci-dessus (statistique de la taille des pr´ecipit´es en 3D) n´ecessiterait des simulations 3D tr`es couteuses en moyens informatiques. Celles-ci n’ont pas ´et´e entreprises ici.

5.7. Vers des simulations champs de phases plus quantitatives ?

Les points suivants sont ´etudi´es dans la suite dans cette section. Premi`erement, nous discutons le fait que les simulations sont effectu´ees sur un alliage binaire. De mˆeme nous discutons sur la pertinence de prendre une ´energie d’interface isotrope. Puis nous pr´esentons des simulations permettant de quantifier le rˆole de l’inhomog´en´eit´e des constantes ´elastiques ainsi que celui d’un revenu `a 1200◦C. Enfin, en ´etudiant l’in- fluence de la discr´etisation sur la coalescence des pr´ecipit´es, nous avons rencontr´e un probl`eme num´erique. Nous avons observ´e des sauts sur les contraintes normales aux interfaces γ/γ′_{. Ce point est ´egalement} d´etaill´e.

Influence des ´el´ements d’alliage

Comme pr´ecis´e au premier chapitre, les superalliages utilis´es industriellement pr´esentent de nombreux ´el´ements d’alliage. Nos simulations sont effectu´ees sur l’alliage binaire Ni-Al. On peut donc l´egitimement se poser la question du rˆole des autres ´el´ements d’alliage sur la microstructure. Pour r´epondre `a cette question, il faudrait ajouter d’autres ´el´ements d’alliages dans nos simulations. Des mod`eles champs phases mod´elisant des alliages ternaires ont ´et´e propos´es r´ecemment [Wang 08, Kitashima 08]. La prise en compte d’´el´ements d’alliage suppl´ementaires ne pose pas de probl`eme de principe mais soul`eve des questions d’identification. En effet, cela ajoute au mod`ele de nombreux param`etres qui sont difficiles `a ajuster puisque, par exemple, l’influence des diff´erents ´el´ements d’alliage sur les ´energies d’interface et les coefficients de diffusion n’est en g´en´eral pas connue.

Par contre nous pouvons comparer nos simulations `a des r´esultats exp´erimentaux sur un alliage binaire Ni-Al `a forte fraction de pr´ecipit´es. La figure 5.19 est issue de [Chellman 74]. Elle semble montrer des tailles de pr´ecipit´es relativement homog`enes. Chellman et Ardell annoncent ´egalement que la coalescence des pr´ecipit´es entraˆıne la formation de quelques gros pr´ecipit´es. La forme des pr´ecipit´es dans Ni-Al est tr`es r´eguli`ere puisque, en coupe, ils ont presque toujours quatre cˆot´es. Donc, a priori, ce ne sont pas les autres ´el´ements d’alliage entrant dans la composition de l’AM1 qui influencent la forme des pr´ecipit´es. Bien ´evidemment, il faudrait plus de r´esultats exp´erimentaux sur le syst`eme Ni-Al pour confirmer ce point.

FIG. 5.19. Image exp´erimentale d’apr`es d’un alliage binaire Ni-Al `a forte fraction volumique de pr´ecipit´es. L’image fait 2.6 x 2.1µm. D’apr`es [Chellman 74].

Isotropie de l’´energie d’interface

Dans nos simulations, nous avons consid´er´e que l’´energie d’interface est isotrope. Dans un mod`ele champs de phases, il est possible d’utiliser des termes de gradient anisotropes, ce qui permet de reproduire l’anisotropie des ´energies d’interface. Une anisotropie cubique de l’´energie d’interface permettrait d’obtenir dans les simulations des pr´ecipit´es de forme plus cubo¨ıdale. La pertinence d’une telle d´emarche peut ˆetre ´evalu´ee en regardant des pr´ecipit´esγ′ <sub>tout petits. En effet, plus la taillel est petite, plus l’´energie d’inter-</sub> face (proportionnelle `al2_{) est importante vis-`a-vis de l’´energie ´elastique (proportionnelle `al}3_{). Ainsi, si la} longueurs caract´eristiques associ´ees `a ces ph´enom`enes : la largeur des interfaces ξet la taille moyenne des pr´ecipit´es l, respectivement. Dans le r´egime de croissance, ξ est tr`es inf´erieur `a l. Par cons´equent, le temps caract´eristique des ph´enom`enes de coagulation est tr`es inf´erieur au temps caract´eristique de la croissance.

Phaseγ Phaseγ Inhomog´en´eit´e C11[GPa] 177 197 11% C12[GPa] 130 135 3.8% C44[GPa] 90 95 5.4% Anisotropie 2C44 C11− C12 3.83 3.06 22%

TAB. 5.2. Constantes ´elastiques des phasesγ et γ′utilis´ees pour quantifier l’influence de l’anisotropie de la phaseγ sur la microstructure.

forme des gros pr´ecipit´es est la cons´equence de l’anisotropie ´elastique, la forme des petits pr´ecipit´es est pricipalement le reflet de l’anisotropie interfaciale. Malheureusement, `a notre connaissance, aucune analyse microstructurale de petits pr´ecipit´es (inf´erieurs `a quelques dizaines de nm) n’a `a ce jour ´et´e entrepris dans l’AM1. Nous ne pouvons donc pas conclure sur ce point.

Influence de l’inhomog´en´eit´e des constantes ´elastiques

Dans [Hu 01b] est propos´ee une ´etude param´etrique de la morphologie des pr´ecipit´es en fonction de l’inhomog´en´eit´e des propri´et´es ´elastiques des deux phases. Les auteurs mettent notamment en ´evidence le rˆole de la diff´erence d’anisotropie ´elastique et d’inhomog´en´eit´e des modules de cisaillement sur la micro- structure. Ces simulations ont ´et´e men´ees avec un mod`ele champs de phases qui ne prend pas en compte l’existence de diff´erents variants pour les pr´ecipit´es. C’est pourquoi il nous a sembl´e int´eressant d’effectuer quelques simulations afin de quantifier l’influence de l’inhomog´en´eit´e ´elastique sur les microstructuresγ/γ′_. Nous avons n´eanmoins souhait´e conserver des propri´et´es ´elastiques comparables pour les deux phases, ´etant donn´e que l’´etude bibliographique r´ealis´ee sur les constantes ´elastiques a montr´e que leur inhomog´en´eit´e est relativement faible dans les superalliages.

Nous avons effectu´e une simulation avec les caract´eristiques ´elastiques des deux phases donn´ees par le tableau 5.2. Nous avons jou´e sur l’anisotropie de la phaseγ. Le jeu de coefficients retenu conduit `a une

diff´erence de 22% sur le coefficient d’anisotropie entre les deux phases, contre 10% avec les param`etres

identifi´es dans l’annexe E. Les modules de cisaillementC44 sont pris constants par rapport au jeu de pa- ram`etres initial.

La figure 5.20 montre l’´evolution de la microstructure avec le jeu de param`etres du tableau 5.2. La comparaison des figures 5.20(c) et (d) montre que l’augmentation de l’anisotropie de la phaseγ entraˆıne

une microstructure dont les couloirs de matrice sont mieux dessin´es et plus longs. Les cercles rouges de la figure 5.20(d) mettent en ´evidence des zones o`u l’on a coalescence des pr´ecipit´es avec le jeu de coefficients ´elastiques initial et non coalescence avec le jeu du tableau 5.2. L’absence de coalescence de ces pr´ecipit´es limite en partie la formation de certains pr´ecipit´es ”biscornus”. Cependant, la microstructure obtenue par cette simulation est encore bien diff´erente de la microstructure de l’AM1.

Simulation d’un traitement thermique

Nous simulons un maintien `a 1200◦C avant le revenu `a 950◦C. Les param`etres de la simulation `a 1200◦C sont les suivants :

– param`etres de la fonctionnellecγ = 0.175, cγ = 0.25, cb= 0.19 ; – misfit_{δ = −0.3% en accord avec les mesures de [Royer 98] ;} – χ = 0.1 ;

– les constantes ´elastiques des phasesγ et γ′_{sont donn´ees par le tableau 5.3 ;}

– on suppose, faute de donn´ees exp´erimentales, que l’´energie d’interface a la mˆeme valeur `a 1200◦C qu’`a 950◦C.

5.7. Vers des simulations champs de phases plus quantitatives ?

(a) t=3.6 h (b) t=14.7 h (c) t=33.3 h (d) t=33.3 h, figure 5.15

FIG. 5.20. Influence de l’anisotropie de la phaseγ sur la formation de la microstructure en cubes. Les constantes ´elastiques utilis´ees pour cette simulation sont donn´ees par le tableau 5.2. La microstructure finale obtenue avec les propri´et´es ´elastiques identifi´ees dans l’annexe E est ajout´ee pour faciliter la comparaison (image (d)). Phaseγ Phaseγ′ C11[GPa] 167.9 159.7 C12[GPa] 126.5 111.7 C44[GPa] 76.3 84.1 E_h001i[GPa] 59.2 67.8 ν_h001i[GPa] 0.43 0.41 Anisotropie 2C44 C11− C12 3.68 3.50

TAB. 5.3. Constantes ´elastiques des phases γ et γ′ _{`a 1200</sub>◦<sub>C. Ces valeurs sont obtenues `a partir de l’interpolation}

propos´ee en annexe E.

L’influence de la temp´erature intervient ´evidemment sur la valeur du coefficient de diffusion. Il est calcul´e `a l’aide de l’´equation donn´ee au paragraphe 5.4.1. Nous avons choisi de garder le param`etreχ

constant. Le pas de grille est donc modifi´e. Cependant, les param`etres choisis pour la temp´erature de 1200◦C conduisent `a un pas de grille de 10 nm, relativement proche du celui que l’on a `a 950◦C.

La figure 5.21 montre l’´evolution microstructurale `a partir du d´esordre `a 1200◦C. La fraction volumique de pr´ecipit´es `a l’´equilibre est de l’ordre de 0.4. On constate la formation de pr´ecipit´es relativement allong´es conform´ement aux exp´eriences effectu´ees par Ardell [Chellman 74] et `a d’autres simulations champs de phases [Wang 98].

(a) 1.5 minutes (b) 4.5 minutes (c) 9 minutes (d) 15 minutes

FIG. 5.22. Microstructure cubo¨ıdale obtenue par un revenu de 15 minutes `a 1200◦C puis vieillie 1.5h `a 950◦C. 0 2 4 6 8 10 12 14 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Nombre precipites l1 [nm] Moyenne 492 nm Max 1335 nm Min 80 nm Ecart type 267 nm (a) Mesure l1 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Nombre precipites Aspect Ratio l2x/l2y (b) Facteur de forme

FIG. 5.23. Statistiques de tailles de pr´ecipit´es `a l’issue de la simulation d’un maintien de 15 minutes `a 1200◦C puis de 1.5 heures `a 950◦C.

La microstructure g´en´er´ee `a 1200◦C sert ensuite de configuration initiale `a un maintien `a 950◦C. La figure 5.22 pr´esente le r´esultat de ces deux revenus. On constate que les cubes sont beaucoup plus carr´es qu’`a l’issue d’un maintien de 33.3 heures `a 950◦C. Cela est probablement dˆu au fait que nous avons pris un d´esaccord param´etrique plus important `a 1200◦C qu’`a 950◦C.

Un recuit pr´eliminaire `a 1200◦C a ´egalement des cons´equences claires sur la forme des pr´ecipit´es. En effet, sur la figure 5.22, la majorit´e des pr´ecipit´es a une forme polygonale `a quatre cˆot´es alors que ce n’´etait pas le cas de la figure 5.15. La forme des pr´ecipit´es de la figure 5.22 est donc en meilleur accord avec la microstructure de l’AM1. La figure 5.23 montre que la taille moyenne des pr´ecipit´es est plus importante qu’`a l’issue de la premi`ere simulation. De plus, la dispersion de taille, ´evalu´ee par l’´ecart type divis´e par la taille moyenne, est sensiblement plus faible apr`es un recuit initial `a 1200◦C (0.54 contre 0.78 pour un recuit