Identication des paramètres du modèle

Pour trouver les bons paramètres a et b, nous formulons et résolvons un problème inverse. L'avantage de cette approche est de ne nécessiter aucun essai expérimental supplémentaire. Cependant, elle nécessite, outre le temps de calcul relativement élevé, une connaissance a priori d'un intervalle où on limite la recherche de ces paramètres.

74 CHAPITRE 4. MODÉLISATIONS THERMIQUES 4.4.2.1 Formulation du problème inverse

On s'intéresse à la résolution du problème thermique inverse suivant : connaissant, par la mesure, le champs de température dans certains points du mur, déterminer par le calcul, les paramètres a et b, dénies précédemment.

Les essais expérimentaux ont permis de mesurer, à intervalle régulier, des températures T_m(t)des parois pour t ∈ [0, Tmax] .

Nous cherchons a et b , dans [a1, a₂] et [b1, b₂] respectivement, telle qu'il existe une fonction T(t) solution du problème direct qui s'approche au mieux de Tm(t), pour t ∈ [0, T_max]. L'introduction des intervalles [a1, a₂] et [b1, b₂] permet l'initialisation de l'algorithme d'optimisation et conditionne sa vitesse de convergence vers la solution du problème.

On écrit le problème inverse comme une minimisation de la "distance" entre les mesures réelles Tm(t) et les valeurs de température calculées T (t), comme suit :

T rouver a ∈ [a₁, a₂] et b ∈ [b₁, b₂]; 1 2 Z Tmax 0 (T (t; (a, b)) − Tm(t))²dt ≤ ¹ 2 Z Tmax 0 (T (t; (a^∗, b^∗)) − Tm(t))²dt ∀ a^∗ ∈ [a₁, a₂] et ∀ b^∗ ∈ [b₁, b₂] (4.78) où T (t; (a∗, b^∗)) désigne la valeur de la solution du problème thermique au point de mesure à l'instant t et pour des valeurs a∗ et b∗ données.

Ne disposant que de valeurs discrètes mesurées à intervalles réguliers (toutes les 60 secondes pour nos essais), le problème continu 4.78 est discrétisé en temps et on l'écrit avec une formulation de moindres carrées :

T rouver a ∈ [a₁, a₂] et b ∈ [b₁, b₂]; 1 2 X ti (T (t_i, (a, b)) − T_m(t_i))² ≤ ¹ 2 X ti (T (t_i, (a^∗, b^∗)) − T_m(t_i))² ∀ a^∗ ∈ [a₁, a₂] et ∀ b^∗ ∈ [b₁, b₂] (4.79)

où les ti désignent les instants de mesures expérimentales (ti ∈ [0, T_max])

Ici, nous choisissons de caler notre modèle à l'aide des températures mesurées T7, et minimiser la distance entre T7 obtenues par le calcul et par la mesure.

Nous comparons, ensuite, les températures T6 obtenues par le calcul et par la mesure, pour vérier la pertinence des paramètres d'optimisation identiés.

On a un problème d'optimisation. Pour le résoudre, de nombreuses méthodes existent et ont été rappelées dans l'annexe A. Ici, nous choisissons la méthode de Nelder-Mead [NM65] vue la simplicité de sa mise en ÷uvre. Cette méthode est d'abord présentée avant d'être appliquée pour calibrer les paramètres de notre modèle thermique.

4.4.2.2 Algorithme de Nelder-Mead

L'algorithme de Nelder-Mead est un algorithme itératif basé sur la construction de simplexes de formes variables. Il a pour objectif de minimiser une fonction f : Rn

→ R. Son principe est de choisir un simplexe initial de (n+1) sommets. Chaque sommet correspond à un vecteur xi de Rn où 1 ≤ i ≤ n + 1, auquel est associé la valeur f_i = f (x_i). Les sommets sont triés selon les valeurs des fi.

Supposons que :

4.4. COMPARAISON AUX RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX 75 Avec 4.80, x1 est appelé "meilleur point", alors que xn+1 est appelé "plus mauvais point". L'algorithme de Nelder-Mead tente, à chaque itération, de remplacer xn+1 par un nouveau sommet plus optimal en termes de valeur de la fonctionnelle de coût f. Pour ce faire, on dénit d'abord xb

n+1, le barycentre des points xi pour i 6= n + 1 :

x^b_n+1 = ¹ n X i=1,n x_i (4.81) Ensuite, on construit xr

n+1, l'image de xn+1 par la réexion de centre xb n+1 :

x^r_n+1= x^b_n+1+ ρ(x^b_n+1− x_n+1) (4.82) où ρ est un coecient de réexion vériant 0 < ρ ≤ 1. De manière standard, on prend ρ = 1

 Si f(xr

n+1) < f (x_n+1)(la réexion a réussi à donner un point meilleur que xn+1), l'algorithme tente de chercher un point encore meilleur que xr

n+1 avec une opé-ration d'"expansion". On construit xe

n+1 en utilisant un coecient d'expansion χ supérieur à 1 (généralement χ = 2), comme suit :

x^e_n+1 = x^b_n+1+ (ρ × χ)(x^b_n+1− x_n+1) (4.83) Si f(xe

n+1) < f (x_n+1), le point xn+1 sera remplacé par xe

n+1 dans le simplexe initial. Sinon, on se contente de xr

n+1 comme remplaçant.  Si f(xr

n+1) > f (x_n+1), on eectue une opération de contraction du simplexe, où on dénit le point xc

n+1 à l'aide d'un facteur de contraction γ ∈ ]0,1[, pris égal à 0.5 de manière standard, comme suit :

x^c_n+1= x^b_n+1+ γ(x^b_n+1− x_n+1) (4.84) Si f(xc

n+1) < f (x_n+1), le point xn+1 sera remplacé par xc

n+1 dans le simplexe initial. Sinon, on construit l'image du simplexe par l'homothétie de centre x1 et de rapport σ ( σ de ]0,1[, généralement choisi égal à 0.5). On remplacera donc tout point xi pour i ≥ 2 par xh

i = x₁+ σ(x₁− x_i).

Dans le cas où f est une fonction à deux variables (comme pour notre problème ther-mique inverse), le simplexe est formé de trois sommets x1,x2 et x3. Les transformations que peut subir ce simplexe (réexion, expansion, contraction, homothétie) sont illus-trées sur la gure 4.29.

L'algorithme de Nelder-mead est itératif. Ainsi, lorsqu'on part d'un simplexe initial, on le déforme et on le déplace, via les diérentes transformations citées. Progressivement, le simplexe se réduit et ses sommets se rapprochent du minimum de la fonctionnelle de coût f.

L'annexe B illustre l'utilisation de cet algorithme avec une fonction f simple à deux vaiables.

Remarque 1 : La méthode de Nelder Mead requiert la donnée d'un simplexe initial, sur lequel on déroule l'algorithme. Dans la littérature, plusieurs stratégies pour choisir ce simplexe initial sont proposées (cf [BIJ96]).

76 CHAPITRE 4. MODÉLISATIONS THERMIQUES

Figure 4.29  Transformations subies par un simplexe à 3 sommets

Remarque 2 : L'algorithme de Nelder Mead est conçu pour résoudre des problèmes non contraints. Cependant, divers dispositifs existent pour reformuler un problème contraint en un problème équivalent sans contraintes.

Pour l'optimisation d'un problème contraint, l'utilisation de la méthode de Nelder Mead est classiquement précédée par l'introduction d'une transformation dans l'espace des variables (pour formuler le problème non contraint équivalent). Pour plus de détails, le lecteur est invité à consulter l'article [LLRG04], par exemple.

4.4.2.3 Application à la recherche des paramètres a et b

Le problème 4.79 est résolu en utilisant la méthode de Nelder-Mead. Pour initialiser l'algorithme, a et b sont xés à 10000 et 10 respectivement. Vu le peu d'information disponible sur la solution, les intervalles de recherches choisis sont relativement larges : [1000, 20000] × [1, 100].

Avec un choix d'une tolérance relative de 1 pour a et de 0.1 pour b, l'algorithme converge après 57 itérations. Plus précisément, le simplexe initial subit 17 réexions, 16 contractions, 16 expansions et 8 homothéties pour nalement donner la solution [6931 ; 5.9].

La gure 4.30représente l'évolution de la capacité calorique de la terre cuite en fonc-tion de la température avec ce jeu de paramètre.

Cette courbe atteint un maximum d'environ 8000 J/(kg*K), une valeur bien supérieure à ce que propose la norme (3 à 5 fois cp(T0)). Le pic à 100◦C, très localisé, présente une petite largeur à mi-hauteur.

L'expression de la capacité calorique en fonction de la température obtenue est in-jectée dans le modèle thermique. Les températures T6 et T7 calculées sont comparées aux mesures expérimentales dans la gure 4.31.