ÉQUATIONS DE LA THERMIQUE 45 Condition de type Neumann On impose sur la partie Γqde la frontière, un ux

thermique φ0. Cette condition traduit la capacité de l'interface avec le milieu extérieur à transmettre ou à recevoir un ux de chaleur donné. On l'écrit de la manière suivante :

q.n = −k∇(T ).n = φ₀ sur Γ_q (4.5)

Remarquons qu'un ux φ0 négatif correspond à un apport d'énergie et qu'un ux positif correspond à une perte d'énergie. Dans le cas où φ0 est nul, la condition est dite adiabatique. Il s'agit d'un bord thermiquement libre.

Condition de convection Un phénomène de convection se produit quand un solide est en contact avec un uide mobile et que les deux sont à des températures diérentes. En plus du transfert d'énergie dû à la diusion, il y a également un transfert par le biais du mouvement du uide. La loi couramment admise pour la convection s'écrit comme :

q.n = −k∇(T ).n = h(T − T_f) sur Γ_qc (4.6)

où h est le coecient d'échange thermique, Tf désigne la température moyenne du uide, supposée constante.

Condition de rayonnement à l'inni Tous les matériaux rayonnent de l'énergie sans arrêt dans toutes les directions, à la suite du mouvement continu de vibration de leurs molécules situées en surface. Établies par Stefan et Boltzmann, les lois de rayonnement permettent d'exprimer le ux rayonnant par unité de surface, appelé exitance, émis par un corps en fonction de sa température.

Le ux rayonnant, noté qr, échangé entre un élément de surface S et le milieu inni qui l'entoure, s'écrit sous la forme simpliée suivante :

q_r(T ) = q.n = −k∇(T ).n = σ(T⁴− T4

ext) sur S (4.7)

où , l'émissivité du matériau, est un coecient de l'intervalle [0, 1] qui exprime le rapport entre le ux émis par le corps étudié et le ux de "référence" émis par un corps noir , Text est la température du milieu extérieur et σ est la constante de Stefan-Boltzman.

σ ' 5, 67.10⁻⁸W m²K⁻⁴ (4.8)

La relation 4.7 peut être réécrite sous la forme suivante (de type loi de Fourier, avec un coecient d'échange thermique dépendant de la température)

qr(T ) = hr(T )(T − Text) sur S (4.9) où hr(T ), appelé coecient d'échange radiatif, s'écrit :

hr(T ) = σ(T + Text)(T² + T_ext² ) (4.10) Condition de rayonnement dans une cavité Dès qu'il y a une diérence de température entre les surfaces d'une cavité, des échanges radiatifs se produisent entre ces surfaces. Cet aspect est d'une grande importance pour les briques alvéolées objet de nos travaux, comme nous le montrons dans nos résultats numériques.

Pour déterminer ces échanges, on introduit les facteurs de forme. Considérons deux surfaces distinctes Si et Sj, représentées sur la gure 4.2.

46 CHAPITRE 4. MODÉLISATIONS THERMIQUES

Figure 4.2  Transfert de chaleur par rayonnement entre deux surfaces Siet Sj

et réciproquement. Le facteur de forme Fij est déni comme la partie du ux rayonné par Si, interceptée par Sj. Il s'écrit comme suit :

F_ij = ¹ S_i Z Si Z Sj cos θ_icos θ_j πr2 dS_jdS_i (4.11)

où θi et θj sont respectivement les angles que forment les normales unitaires sortantes de dSi et de dSj avec le vecteur reliant dSi à dSj et r est la distance entre dSi et dSj. De cette formule, on peut déduire la relation de réciprocité suivante :

F_ijS_i = F_jiS_j (4.12)

Par ailleurs, pour une cavité fermée constituée de N surfaces isothermes, le ux ther-miques émis par une surface Si atteint, quelle que soit sa trajectoire, une surface Sj pour 1 ≤ j ≤ N. Il s'ensuit la relation suivante :

N X

j=1

F_ij = 1 ∀ i ∈ {1, .., N } (4.13)

Remarquons que si une surface Si est concave, elle peut intercepter une partie du ux qu'elle émet, d'où la dénition du facteur de forme Fii ([HMS15]).

Les échanges radiatifs dans une cavité sont obtenus par la méthode dite "net-radiation method" introduite par Hottel ([HS66]). Cette méthode, détaillée dans l'ouvrage de Siegel et Howell [HMS10], permet le calcul des ux de rayonnement interne qri. Le modèle proposé est basé sur les hypothèses suivantes :

 Le milieu dans la cavité est transparent (n'absorbe pas l'énergie transportée par les ondes qui le traversent).

 Les surfaces de la cavité sont grises (ont une émissivité indépendante de la fréquence) et diuses (rayonnent de façon isotrope).

 La frontière de la cavité Γqriest divisée en N secteurs (ou cellules) susamment petits pour que dans chaque secteur, on puisse supposer que la température est uniforme, ainsi que les ux d'énergie émis et rééchis. La réunion des diérents secteurs peut être regardé comme un premier maillage des surfaces rayonnantes. Dans la suite on désigne par "surfaces" (Sk)_1≤k≤N, les diérents secteurs.

4.1. ÉQUATIONS DE LA THERMIQUE 47 Considérons alors la k`eme surface Sk. Désignons par qk son ux radiatif, par qe,k son ux radiatif entrant et par qs,k son ux radiatif sortant. Pour alléger l'écriture, l'indice ”ri”a été omis.

Le bilan de l'énergie thermique sur la surface Sk se traduit par :

Q_k= q_kS_k = (q_e,k− q_s,k)S_k (4.14) Le ux sortant de Sk est composé de son propre rayonnement et de la partie rééchie du ux entrant. Soit, en utilisant la loi de Stefan-Boltzman :

q_s,k = _kσT_k⁴+ ρ_kq_e,k (4.15)

où ρk est le coecient de réexion qui s'exprime comme :

ρk= 1 − αk= 1 − k (4.16)

avec αk le coecient d'absorption qui est égal, d'après la loi de Kirchho, à l'émissivité _k de la surface Sk. Ainsi :

q_s,k = _kσT_k⁴+ (1 − _k)q_e,k (4.17) Parallèlement, le ux de chaleur incident reçu par la surface Sken provenance de toutes les surfaces Sj, y compris elle même, peut s'écrire, en utilisant la relation de réciprocité des facteurs de forme 4.12 comme :

qe,k = N X

j=1

Fkjqs,j (4.18)

En combinant les équations4.14 et4.17puis 4.14et4.18, on obtient les deux équations suivantes : q_k = ^k 1 − _k^(qs,k− σT4 k) (4.19) qk = N X j=1 Fkjqs,j− qs,k (4.20)

De la relation 4.19, on obtient une expression de qs,k et on l'injecte dans l'équation

4.20. Ceci donne nalement pour chaque cellule k de la cavité (cf. e.g. [EJ91]) : N X j=1 (^δkj _j − F_kj^{1 − j} _j ^{)qj =} N X j=1 (δ_kj − F_kj)T_j⁴ (4.21) où δij désigne le symbole de Kronecker.

On obtient ainsi un système discret d'équations non linéaires, couplant les ux qj et les températures Tj pour 1 ≤ j ≤ N. Cette formulation repose sur les hypothèses du modèle de rayonnement, exigeant des valeurs de températures surfaciques et des ux surfaciques constants sur chaque surface. On utilise les notations qj et Tj pour rappeler en permanence cette hypothèse. L'équation 4.21 devient avec ces notations :

N X j=1 [^δkj _j − F_kj(^{1 − j} _j ^{)]qj =} N X j=1 (δ_kj − F_kj)σT⁴_j (4.22)

48 CHAPITRE 4. MODÉLISATIONS THERMIQUES Les qk (ou plus exactement les qri,k) obtenus de4.22 sont les ux radiatifs, à appliquer comme conditions aux surfaces Sk. Cette relation est l'équation de l'échange thermique radiatif entre surfaces rayonnantes de la cavité.

En résumé, sous sa forme forte ou locale, le problème thermique que nous notons Ploc T , déni sur le domaine étudié Ω, s'écrit :

P our tout temps t ∈]0, Tmax], on cherche un champ de temp´erature T (t) et un champ de f lux radiatif q_ri(T₁, .., T_N) tel que :

Ploc T                                  Equation de la chaleur ρC_p^{∂T (t)} ∂t ^{= ∇.(k∇(T (t))) + s(t) dans Ω}

Condition initiale T (0) = T_ini dans Ω

Condition de Dirichlet T (t) = T₀(t) sur Γ_T

Condition de N eumann q(t).n = φ₀(t) sur Γ_q

Condition de convection q(t).n = h(T (t) − Tf(t)) sur Γqv Rayonnement `a l⁰inf ini q(t).n = h_r(T (t))(T (t) − T_ext(t)) sur Γ_qc Rayonnement interne q(t).n = q_ri,k(T₁, .., T_N) sur S_k(1≤k≤N) tel que4.22 est satisf ait.