Sommaire
3.1 Equations de base de la thermo-élasticité . . . 36 3.2 Problème thermo-mécanique couplé . . . 38
Figures
3.1 Coupes tomographiques d'un tesson en terre cuite. . . 37
36 CHAPITRE 3. COUPLAGE THERMO-MÉCANIQUE
Introduction
Dans les problèmes mécaniques classiques, les aspects thermiques, bien que toujours présents, sont souvent négligés, parce que leur incidence mécanique sur la probléma-tique posée est faible. Il y a au moins deux scénarios où l'impact des eets thermiques sur les contraintes mécaniques ne peut plus être négligé. Le premier correspond aux cas où la dilatation induite par l'élévation de la température est gênée. Le second corres-pond aux cas où la température n'est pas homogène et plus précisément, n'est pas a ne. Pour l'application industrielle à laquelle nous nous intéressons dans le cadre de cette thèse, à savoir la tenue d'un mur porteur en briques alvéolées en cas d'incendie, nous sommes dans le cas où les eets thermiques sont considérables à la fois à cause d'une dilatation thermique gênée et à cause d'un champ de température caractérisé par la présence de zones à forts gradients thermiques. Ces deux aspects seront étayés respec-tivement dans les chapitres consacrés aux comportements thermique et mécanique. Par ailleurs, comme mentionné au chapitre 1, le feu soumet les faces du mur qui lui sont exposées à des températures qui s'élèvent de la température ambiante à plus de 800◦C. Or, on sait que les caractéristiques du matériau constituant peuvent changer de manière signi cative avec la température. Raison de plus donc pour tenir compte des champs thermiques dans les équations de la mécanique. En n, les frottements internes, i.e., les contraintes de cisaillement dans le matériau sont aussi une source de chaleur qui augmente la température. Mais, dans le cadre de ce travail, nous allons négliger cet aspect. Tout comme nous négligeons les contraintes résiduelles, liées à l'histoire d'élaboration et de cuisson des briques. Nous considérons, en outre, que le matériau constituant les briques est élastique, homogène et isotrope mécaniquement et thermi-quement ; l'homogénéité et l'isotropie étant encore des hypothèses simpli catrices. En réalité, la terre cuite, matériau constituant des briques, est hétérogène. L'origine de ces hétérogénéités est multiple. Certains sont inhérentes à la composition chimique du matériau, formé de plusieurs types de minéraux. D'autres sont issues du procédé de fabrication et de la mise en forme du matériau, comme les porosités ou les micro ssu-rations (à la suite de la cuisson).
Il est possible de voir des tailles de ces hétérogénéités à l'aide de la tomographie X. Le principe de base de cette technique est de soumettre un objet à une source de rayonne-ment X et à mesurer l'atténuation de ces rayons pour diérentes positions angulaires. A l'aide d'algorithmes mathématiques, il est alors possible de reconstruire la structure interne et la composition de l'objet (e.g. [Zha12]).
La gure3.1montre deux coupes d'un tesson cylindrique en terre cuite, que nous avons obtenues par tomographie X.
C'est dans ce cadre que nous donnons dans la section 1, les équations qui régissent le problème de thermo-élasticité. Nous discutons les couplages et présentons le cadre dit faiblement couplé en section 2.
Ceci nous amènera à nous intéresser à la problématique purement thermique dans le chapitre 4 puis thermo-mécanique, avec chargement thermique donné au chapitre 5.
3.1 Equations de base de la thermo-élasticité
On considère un solide déformable B. On le suppose être fait d'un matériau élastique, mécaniquement et thermiquement homogène et isotrope, de module de Young E, de coe cient de Poisson ν , de coe cient de dilatation thermique α et de coe cient de
3.1. EQUATIONS DE BASE DE LA THERMO-ÉLASTICITÉ 37
Figure 3.1 Coupes tomographiques d'un tesson en terre cuite
conduction k.
On se place dans des Hypothèses des Petites Perturbations. On suppose que la partie de l'espace euclidien E muni d'un repère orthonormé (O,x,y,z), occupée par le solide B, est l'adhérence d'un domaine Ω , i.e. le domaine Ω et sa surface ∂ Ω.
On suppose également que le solide est soumis à un chargement mécanique et un char-gement thermique extérieurs. On suppose en n que, sans les charchar-gements externes, le matériau est non contraint et qu'il se trouve à une température de référence T0, donnée. Avec ces hypothèses, nous allons fournir ici les équations locales du problème thermo-mécanique, et ce pour tout instant t de l'intervalle d'étude [0, tmax] et pour tout point xdu domaine Ω.
Les déformations linéarisées sont données par : ε = 1
2(∇u + ∇u
t) (3.1)
La loi de comportement thermo-élastique de Duhamel-Neumann, exprimant le tenseur des contraintes en fonction des déformations et de la température, est donnée par :
σ = Eν
(1 + ν)(1 − 2ν)Trε Id + E
1 + νε − β(T − T0)Id (3.2) Ce qui, par inversion, donne la relation de comportement équivalente suivante :
ε = −ν
ETrσ Id + 1 + ν
E σ + α(T − T0)Id (3.3)
où β = Eα
1−2ν ; α étant le paramètre de dilatation thermique du matériau.
Observons que cette écriture fait apparaître la déformation totale ε comme la somme d'une déformation qu'on quali e d'élastique et qu'on note εe, génératrice des contraintes mécaniques σ, et d'une dilatation thermique εth= α(T − T0)Id.
38 CHAPITRE 3. COUPLAGE THERMO-MÉCANIQUE ∂ρ
∂t + ∇ · (ρv) = 0 (3.4)
où ρ désigne la masse volumique et v et le champ des vitesses. La conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
ρdv
dt = f + ∇ · σ (3.5)
Ces équations sont complétées en utilisant la conservation de l'Énergie (premier prin-cipe de la thermodynamique) pour établir l'équation de diusion, d'une part , la loi de comportement thermique de Fourier, d'autre part. En notant q le ux de chaleur, cp le paramètre de chaleur spéci que, nous avons les deux équations suivantes (cf. e.g. [BW12]) :
la première exprime la diusion de la chaleur et s'écrit : ρcp
∂T
∂t = −∇q − βT ∂Trε
∂t (3.6)
la seconde donne le comportement thermique (isotrope) du matériau. On retient ici la loi de conduction de Fourrier qui donne la relation entre le ux de chaleur q et le gradient de température (dans le sens où l'énergie cinétique moléculaire est transférée des régions agitées, i.e. à haute température, vers les régions moins agitées, i.e. à basse température) :
q = −k∇T (3.7)
Un simple décompte montre que le nombre de champs inconnus et égal au nombre d'équations et que nous pouvons poser le problème en terme de problèmes aux limites, moyennant la fermeture par des conditions aux limites, mécaniques et thermiques et moyennant ses conditions thermiques et mécaniques initiales.
3.2 Problème thermo-mécanique couplé
La section précédente combine des équations de l'élasticité et des équations de diu-sion de la chaleur, dans un régime instationnaire. On y relève que tel que formulé, le problème thermo-mécanique résultant couple fortement les champs mécaniques aux champs thermiques : par la loi de comportement de Hooke étendue à la thermique (3.2), d'une part, et par l'équation de diusion (3.6), d'autre part.
Dans la littérature, plusieurs stratégies traitant du couplage thermo-mécanique ont été développées pour diverses applications industrielles. On peut citer par exemple la mise en forme à chaud de composants mécaniques, ou l'étude de certaines classes d'écoule-ments non isothermes de uides.
Le principal dé pour ces stratégies est de représenter de manière pertinente les pro-blèmes physiques couplés et de les résoudre de manière e cace. Les approches les plus référencées portent sur des formulations monolithiques (fortement couplés) résolus par splitting d'opérateurs (cf.[VL17]). La question du choix entre les méthodes de couplage a fait l'objet de nombreuses publications (e.g. [Ner04]), la réponse dépend fortement du problème traité.
Dans une problématique de conception comme celle considérée dans ce travail, ame-nant, par dé nition, à calculer plusieurs problèmes thermo-mécaniques, un couplage
3.2. PROBLÈME THERMO-MÉCANIQUE COUPLÉ 39 fort mène à une résolution coûteuse.
Or, pour la problématique des murs en briques alvéolaires soumis à des chargements thermo-mécaniques tels que décrit dans le chapitre 2, il nous semble raisonnable de négliger le deuxième terme du membre de droite de l'équation de diusion (3.6), par-ticipant au couplage thermo-mécanique, en supposant que les taux de déformations sont faibles. Il nous semble également que le terme d'inertie, intervenant dans l'équa-tion de conserval'équa-tion de la quantité de mouvement (3.5) peut également être négligé. En faisant ces deux simpli cations, souvent utilisées dans les applications pratiques et, par ailleurs justi ables dans le cas de l'objet de nos travaux, nous transformons le problème de la section 3.1 en deux problèmes qui sont résolus de manière séquen-tielle. Le premier problème est de type transfert thermique pur, pouvant être traité de manière totalement découplée des aspects mécaniques. Le second est un problème de nature thermo-mécanique quasi-statique, dans lequel le chargement thermique inter-vient juste comme un chargement tiré de la résolution du premier problème thermique pur. Ce modèle relève de la théorie dite de Duhamel-Neumann (cf. [BCL10]) et la for-mulation est souvent quali ée de thermo-mécanique quasi-statique, faiblement couplée. Faisons en la synthèse ici :
3.2.1 Problème thermique local
En supposant que la frontière ∂Ω du solide B est partagée en deux parties, ΓT et Γq sur lesquelles on se donne, respectivement la température T0 et le ux de chaleur q0, le problème thermique pur s'écrit :
Pour t ∈ [0, tmax], Trouver T (t) tel que : Equation de conduction : ρcp
∂T
∂t = −∇q Relation de Fourrier q = −k∇T
Conditions aux limites thermiques T = T0 sur ΓT et q = q0 sur Γq Conditions initiales T (t = 0) = Tini
3.2.2 problème thermo-mécanique quasi-statique
En utilisant le champ de température T trouvé à l'étape précédente, et en supposant que la frontière ∂Ω du solide B est partagée en deux parties, Γu et Γg sur lesquelles on se donne, respectivement le déplacement u0 et un champ de force surfacique g, le problème thermo-mécanique s'écrit :
Trouver u et σ tel que : Equilibre ∇ · σ + f = 0 Comportement σ = Eν (1+ν)(1−2ν)Trε Id + E 1+νε − β(T − T0)Id Compatibilité ε = 1 2(∇u + ∇ut)
Conditions aux limites u = u0 sur Γu et σ : n = g sur Γg
C'est à ce modèle et plus précisément à ces deux problèmes faiblement couplés, que nous allons nous intéresser dans les chapitres suivants.
40 CHAPITRE 3. COUPLAGE THERMO-MÉCANIQUE
Conclusion
Ce mini-chapitre met en avant les aspects liés à la modélisation du problème sous-jacent de ce travail de thèse. La sollicitation principale étant l'incendie, l'analyse numérique à mener est la résolution d'un problème de couplage thermo-mécanique. Un couplage faible entre les deux physiques a été reternu et le traitement de chaque problème est étayé dans les chapitres 4et 5.