Hypothèse de turbulence Kolmogorov

On souhaite tout d’abord vérifier qu’on se trouve en présence d’une turbulence de type Kolmogorov. Pour cela, à partir des pentes mesurées, on peut estimer les coefficients de Zernike

a_i et ainsi que leurs variances. La phase turbulente décomposée sur la base des polynômes de Zernike s’écrit : ϕ(r) = imax Ø i=2 a_iZ_i(r) . (5.2)

Ici on a exclu le piston correspondant à i = 1. En effet, le SH n’étant sensible qu’aux dérivées premières de la phase, celle-ci ne peut être déterminée qu’à une constante près. Comme la phase est paramétrée par un nombre fini de coefficients a_i, le système linéaire qu’est le SH peut être caractérisé par l’équation matricielle suivante :

P= Da, (5.3)

où P est le vecteur des pentes mesurées par le SH, la matrice D est appelée fonction d’appareil du SH et a est le vecteur contenant les ai. Le vecteur des ai estimés, ˆa, est obtenu en inversant la relation5.3 au sens des moindres carrés, tel que :

ˆ

a =¹D^TD²⁻¹D^TP (5.4)

On estime la variance des a_ireconstruits et on la représente en fonction du numéro de polynôme i. Les résultats obtenus sont présentés sur la figure5.7pour Vega, et sur la figure5.8pour la binaire STF1744, toujours à texp = 3 ms. On a ici reconstruit 135 modes de Zernike, correspondant aux 15 premiers ordres radiaux, mais on représente seulement les 44 premiers, pour une meilleure visibilité. Sur les figures 5.7 et 5.8, on reconnaît une structure en escalier, la variance est

Figure 5.7 – Variances des ai en fonction du numéro de polynôme i, pour Vega, à texp = 3 ms.

constante pour tous les coefficients d’un même ordre radial n, et elle décroît quand celui-ci augmente. On va maintenant regarder comment décroît cette variance pour n grand. En effet, dans le cas d’une turbulence de type Kolmogorov, cette variance décroît asymptotiquement en (n + 1)^−11/3. On représente donc la variance des ai, moyennée par ordre radial, en fonction de

Figure 5.8 – Variances des ai en fonction du numéro de polynôme i, pour la binaire STF1744, à texp= 3 ms. A gauche : étoile 1, à droite : étoile 2.

Figure 5.10 – Variances des ai moyennées par ordre radial, pour la binaire STF1744, à texp= 3 ms. A gauche : étoile 1, à droite : étoile 2.

Vega et pour la binaire STF1744 sont donnés sur les figures 5.9 et5.10. Pour Vega et pour la composante la plus brillante de la binaire, le terme n + 1 est à la puissance −3,67 et −3,62, donc égale ou quasiment égale à −11

3 . En revanche, on s’en éloigne un peu pour la composante la moins brillante de la binaire, où la puissance du terme n + 1 n’est que de −3,26. Cependant, ici, on travaille avec des données entachées de bruit, ce qui peut biaiser le résultat, et il est donc plus judicieux de réaliser ces vérifications sur les données à plus fort flux, de meilleur RSB, que sont les pentes mesurées sur Vega et l’étoile 1. Ces vérifications ont par été réalisées sur plusieurs cubes de données, et la puissance du terme n + 1 était toujours proche de ou égale à −11

3. On peut maintenant estimer un r0 à partir des variances des ai reconstruits, en utilisant l’expression des variances de Noll, donnée par l’équation 1.43, en excluant les ordres radiaux 1 et 2, pour s’affranchir des effets d’échelle externe et des éventuelles vibrations ou erreurs de pointage. Avec le r0 estimé, on peut alors représenter les variances de Noll, pour le rapport D

r0

associé et les comparer aux variances expérimentales.

Enfin, on rappelle que l’échelle externe L0 a pour effet d’atténuer les variances des bas ordres radiaux. On représente donc également les variances théoriques des coefficients de Zernike avec effet d’échelle externe, pour L₀ = 10 m et L₀ = 27 m, cette dernière valeur étant la médiane mesurée sur le site du Plateau de Calern [Conan(2000)]. Les résultats obtenus sont présentés sur la figure 5.11 pour Vega et sur la figure 5.12 pour la binaire STF1744. Pour la binaire, on a représenté les résultats obtenus avec trois cubes de données consécutifs, représentant chacun 1 min d’observation, et seulement pour la composante la plus brillante.

Les images acquises sur Vega et sur la binaire correspondent à des heures et à des directions d’observation différentes. Les images de Vega à t_exp = 3 ms ont été enregistrées à 23 : 51 TU, et les coordonnées horizontales étaient alors : Alt = 58°54′; Az = 84°40′, tandis que les images de la binaire à texp = 3 ms ont été enregistrées à 00 : 51 TU, avec les coordonnées horizontales : Alt = 55°12′; Az = 307°13′. En définitive, les r₀ estimés sont très proches, de l’ordre de 5 cm. Les variances mesurées sont bien en adéquation avec les variances de Noll pour ces r0, mais on constate un décrochage des ordre radiaux 1 et 2, typique d’un effet d’échelle externe. Les variances théoriques corrigées de l’effet de L₀, pour des valeurs de 10 et 27 m se superposent mieux aux variances estimées. Selon les cas, on constate que l’adéquation est meilleure pour

Figure 5.11– Variances des ai moyennées par ordre radial, pour Vega, à texp= 3 ms. Compa-raison avec les variances de Noll et avec les variances von Kármán, pour L₀ = 10 m, à gauche et L0 = 27 m, à droite.

on choisira la valeur médiane L₀ = 27 m. L’influence de l’échelle externe sur le reconstruction du profil de C2

n est faible quand celle-ci est grande devant le diamètre du télescope, comme on l’a vu dans le paragraphe 3.3.2. L’effet de L0 sur la reconstruction expérimentale du C2

n sera tout de même discuté au paragraphe5.4.3.

Ce paragraphe nous a permis de valider expérimentalement l’hypothèse de turbulence Kol-mogorov, avec effet d’échelle externe, via l’estimation des coefficients de décomposition de la phase sur la base des polynômes de Zernike, à partir des pentes mesurées. Dans le paragraphe suivant, on va tâcher de vérifier la seconde hypothèse que suppose le modèle, qui est celle des faibles perturbations.