Barres d’erreur et estimation de C conv

Dans l’avant-dernière section de ce chapitre, afin d’avoir plus d’information sur le profil de

C_n² estimé, on se propose d’ajouter des barres d’erreur sur ce dernier. Le paragraphe 3.6.2.1

détaille le formalisme utilisé pour calculer ces barres d’erreur. Dans le paragraphe 3.6.2.2, on étudie l’évolution des barres d’erreur en fonction du nombre d’échantillons ainsi que l’effet de l’estimation de Cconv. On présente dans le paragraphe3.6.2.3le profil reconstruit avec les barres d’erreur estimées.

3.6.2.1 Calcul de barres d’erreur

La covariance de l’estimée du C2 n, notée : cov¹C^ˆ2_n MV 2 =¹M^TC_conv⁻¹ M²⁻¹, (3.6)

dans le cas de la solution MV, peut être utilisée pour obtenir des barres d’erreur sur le profil estimé. En effet, les valeurs diagonales de cette matrice représentent les variances des estimées du C2

nen fonction de l’altitude. La racine carrée de ces quantités est ainsi une bonne estimation de l’erreur commise sur la reconstruction.

En présence de régularisation, la matrice de covariance de l’estimée change, et les barres d’erreur calculées peuvent être trop optimistes, par exemple si la solution est trop fortement régularisée. On calculera donc toujours les barres d’erreur à partir de la solution MV.

La figure3.24 représente l’erreur commise en fonction de l’altitude. Cconv est ici estimée à partir des corrélations empiriques, en l’absence de bruit de détection. On rappelle qu’on dispose d’un cube de 900 images simulées pour réaliser les mesures et estimer les corrélations. Le profil de

C_n²modèle est superposé pour une meilleure visualisation. On constate que l’erreur est quasiment toujours inférieure à la valeur du C2

n, exceptée aux altitudes supérieure à 15 km, où elle devient comparable voire supérieure au C2

n. Il semble également intéressant d’afficher l’erreur relative en fonction de l’altitude. On la définit comme l’erreur calculée, divisée par la valeur théorique du C2

n, à l’altitude considérée. Le résultat est donné sur la figure3.25. On remarque que cette erreur relative est plus grande quand les couches turbulentes sont faibles, et qu’elle augmente avec l’altitude. En effet, les basses couches correspondent généralement à des valeurs fortes de

C_n², plus facile à estimer. Par ailleurs, plus l’altitude augmente, moins on dispose de couples de sous-pupilles pour l’estimation de la corrélation, ce qui fait augmenter le bruit de convergence.

3.6.2.2 Erreur en fonction du nombre d’échantillons et effet de l’estimation de

C_conv

On va maintenant s’intéresser à l’évolution des barres d’erreur en fonction du nombre d’échan-tillons, ainsi qu’à l’effet de l’estimation de Cconv. Dans sa thèse [Védrenne(2008)] a développé un formalisme pour calculer la matrice de covariance du bruit de convergence, à partir des cor-rélations théoriques. Il a ensuite proposé d’estimer cette matrice C_conv à partir des corrélations empiriques, car expérimentalement, on n’a pas accès aux corrélations théoriques. Il a montré que cette estimation n’avait que très peu d’incidence sur la reconstruction du profil de C2

Figure 3.24 – Erreur commise sur le C2

n estimé, en fonction de l’altitude.

L’erreur sur la reconstruction est calculée à partir de Cconv. On va donc vérifier que l’utili-sation de C_conv estimée est licite dans le cas du calcul de l’erreur. On va par ailleurs analyser comment évolue l’erreur en fonction du nombre d’échantillons disponibles. L’erreur est calculée à partir des matrices Cconv théorique et empirique, pour des cubes de 225, 450 et 900 images. Les résultats obtenus sont présentés sur la figure3.26, pour l’erreur et l’erreur relative. Comme on pouvait s’y attendre, l’erreur diminue quand le nombre d’échantillons augmentent. En effet, on dispose alors de plus de données pour estimer les corrélations, rendant le bruit de conver-gence plus faible. Il est donc important de travailler avec un nombre suffisant d’images, pour une estimation satisfaisante des corrélations. On remarque également qu’il n’y a que très peu de différences entre l’erreur théorique et l’erreur empirique, ce qui rend licite l’estimation de Cconv à partir des corrélations empiriques.

Figure 3.26 – Erreur et erreur relative en fonction du nombre d’échantillons et effet de l’esti-mation de C_conv. On utilise les abréviations suffisantes : th pour théorique, emp pour empirique et éch pour échantillons.

3.6.2.3 Ajout de barres d’erreur sur le profil reconstruit

On conclut cette section par l’ajout de barres d’erreur à 3σ, σ représentant l’erreur calcu-lée, sur le profil de C2

n reconstruit. Le profil est ici estimé en présence de bruits de détection, par la méthode d’estimation conjointe. La matrice Cconv est estimée à partir des corrélations empiriques. Le résultat est représenté sur la figure 3.27. Comme on l’a déjà dit précédemment, l’erreur est relativement plus faible sur les couches de fort C2

n et de basse altitude, en raison du meilleur RSB ainsi que du plus grand nombre d’échantillons pour évaluer les corrélations. On constate qu’à l’exception des points à 1,25 et 13,75 km, le profil de C2

n modèle est bien inclus dans ces barres d’erreur à 3σ.

3.7 Conclusion

Ce chapitre a décrit une simulation bout-en-bout de la reconstruction du profil de C2 n par la méthode CO-SLIDAR, tirant parti de l’utilisation conjointe des corrélations des pentes et des indices de scintillation. La première partie a été consacrée à la description de la simulation et à l’étude des différentes sources d’erreur affectant la reconstruction. En l’absence de bruit

Figure 3.27– Profil de C2

nreconstruit par la méthode d’estimation conjointe et barres d’erreur à 3σ associées.

de détection, différentes sources d’erreur affectent la mesure. Ainsi, la taille de la fenêtre de calcul des pentes et des indices de scintillation doit être choisie avec précaution, pour faire un compromis entre bruit propagé dans les mesures et biais de fenêtrage. La reconstruction du profil de C2

n par la technique CO-SLIDAR est peu sensible à l’échelle externe, exceptée pour le cas où la valeur de cette dernière devient comparable au diamètre du télescope. Cependant, pour un télescope de 1,5 m, cela correspond à des échelles externes ayant peu de sens physique. Mais dans le cas où l’on souhaiterait tout de même estimer la valeur de l’échelle externe, on a montré un sensibilité du minimum du critère à la valeur de L0. Ceci laisse envisager une possible estimation de cette grandeur. Le CO-SLIDAR utilisant à la fois les autocorrélations et les intercorrélations des mesures, il est sensible à la turbulence non-vue présente au-delà de H_max, via les autocorrélations, qui représentent la réponse du système à l’intégrale de la turbulence. Ceci provoque une surestimation des couches turbulentes les plus hautes en altitude, si de la turbulence est présente au-delà de H_max.

Les bruits de détection conduisent également à une erreur sur la reconstruction du profil de turbulence. C’est pourquoi, dans la seconde partie de ce chapitre, on a étudié leur propagation sur les mesures SH de pentes et de scintillation, avant de proposer trois méthodes de prise en compte de ces bruits de détection et de soustraction du biais induit. L’approche initiale, consistant seulement en une soustraction du biais théorique, n’est pas adéquate, car la variance du bruit sur les pentes, calculée à partir des formules analytiques ne correspond pas à la variance estimée à partir des mesures. Les formules analytiques sont en revanche valables pour le calcul de la variance du bruit sur la scintillation, mais il semble peu judicieux de les utiliser dans un cadre expérimental comportant d’autres sources d’erreur. On a donc développé deux autres méthodes. La première consiste en une solution élégante d’estimation conjointe du profil de C2 n et des variances des bruits. La seconde consiste à exclure les pseudo-mesures biaisées du vecteur concaténant les corrélations. Ces deux solutions donnent des résultats très comparables.

Dans la dernière partie de ce chapitre, on a effectué une comparaison de la restitution du profil de C2

n par la méthode CO-SLIDAR et par des méthodes n’utilisant que les corrélations des mesures de pentes ou des indices de scintillation. L’exploitation simultanée des deux types de corrélations permet une reconstruction fidèle du profil de turbulence sur toute la rampe d’altitude, du sol jusqu’aux couches en altitude. Avec la géométrie considérée ici, un SH de 30× 30 sous-pupilles couplé à un télescope de 1,5 m de diamètre, observant une étoile binaire de séparation 20 arcsec, le CO-SLIDAR permet d’estimer le profil du sol jusqu’à environ 15 km, avec une résolution de l’ordre de 500 m. Afin d’améliorer notre analyse de la reconstruction, on a proposé un formalisme permettant d’estimer des barres d’erreur sur le profil restitué, en fonction de l’altitude. Ces barres d’erreur permettent d’encadrer la valeur vraie du C2

n, à l’altitude considérée.

Ce chapitre nous a donc permis de connaître l’impact des différentes sources d’erreur sur la reconstruction, et d’affiner les procédures d’estimation du profil de C2

n. La méthode CO-SLIDAR est maintenant prête à être testée sur le ciel. Le développement du banc optique d’acquisition ainsi que l’expérimentation sur le ciel du CO-SLIDAR font l’objet des deux prochains chapitres.

DIMENSIONNEMENT ET CARACTÉRISATION EN