Homog´en´eisation `a l’´echelle m´esoscopique

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A l’´echelle m´esoscopique, le champ de contrainte et le champ de d´eformation sont respecti-vement d´efinis par σ(z) et ǫ(z) o`u z est le vecteur position qui d´efinit l’emplacement dans le VER. Le tenseur de contrainte Σ et de d´eformation E `a l’´echelle macroscopique sont li´es aux champs de contrainte et de d´eformation `a l’´echelle m´esoscopique σ(z) et ǫ(z) par la r`egle de moyenne :

La condition aux limites utilis´ee est de type uniforme en d´eformation : z ∈ ∂Ω, ξ(z) = E.z o`u ξ(z) pr´esente le champ de d´eplacement m´esoscopique dans le VER. On se place dans l’hy-poth`ese d’une g´eom´etrie isotrope de la microstructure. Le comportement de la phase solide est suppos´e ´elastique lin´eaire. Les tenseursCnoy etCc d´esignent respectivement les tenseurs de rigidit´e homog´en´eis´e du noyau et de la couche microporeuse. Le comportement macroscopique

attendu est alors ´elastique lin´eaire et isotrope. Les tenseurs de contrainte et de d´eformation macroscopiques sont reli´es par l’´equation d’´etat :

Σ=Chom:E; Chom= 3khomJ+ 2µhomK (5.10) o`uJijklijδkl/3 etK=I−J, I: le tenseur identit´e d’ordre 4,Iijkl= 1/2(δikδjlilδjk),khom etµhom d´esignent les modules de compressibilit´e et de cisaillement homog´en´eis´es.

Le syst`eme des ´equations `a r´esoudre `a l’´echelle m´esoscopique poss`ede la structure suivante :





















div(σ) = 0 (Ω) (a)

σ = 0 (Ωf) (b) σ =Cnoy :ǫ (Ωnoy) (c) σ =Cc :ǫ (Ωc) (d)

v = E.z (∂Ω) (e)

(5.11)

5.3.1 Sch´ ema auto-coh´ erent

Le sch´ema auto-coh´erent est classiquement le sch´ema d’homog´en´eisation de type Eshelby le mieux adapt´e pour les mat´eriaux de type polycristallin (Dormieux et al., 2007). Le principe consiste `a repr´esenter chaque phase (solide et pore), sous le chargement appliqu´e au VER, par une inclusion plong´ee dans un milieu infini homog`ene dont les propri´et´es sont celui du milieu homog´en´eis´e cherch´e. La notationCac est utilis´ee `a la place de Chom. Le tenseur Cac est caract´eris´e par kac etµac.

Soit Ela d´eformation macroscopique impos´ee au VER. On introduit une d´eformation auxi-liaire E0. La d´eformation moyenne dans chaque phase est estim´ee par celle qui s’installerait dans une inclusion de cette phase plong´ee dans le milieu recherch´e et soumis `a l’infini `a la d´eformation homog`ene E0 (cf. Figure 5.3).

AC

rnoy rc

AC

f

ξ(z)→E0.z, z → ∞

G

Figure 5.3 – Probl`emes auxiliaires d’´elasticit´e `a r´esoudre pour mettre en œuvre le sch´ema auto-coh´erent envisag´e

Deux probl`emes auxiliaires sont ´etudi´es. Le premier est celui d’Eshelby (Eshelby, 1957) dans lequel l’inclusion est un pore sph´erique plong´e dans un milieu ´elastique homog`ene Cac, soumis

`a une condition aux limites `a l’infini sous forme :

z → ∞; ξ(z) =E0.z (5.12)

La d´eformation moyenne dans le m´esopore est estim´ee `a partir de sa solution :

ǫP =APaux :E0 = (I−Ssphac )−1 :E0 (5.13)

Dans le deuxi`eme probl`eme, l’inclusion est une sph`ere composite constitu´ee d’un noyau d’´elasticit´e Cnoy entour´e par une couche d’´elasticit´e diff´erente Cc. Elle est ´egalement plong´ee dans le milieu infini ´elastique (Cac), soumis `a la condition aux limites uniforme en d´eformation (cf. 5.12). rnoy est le rayon du noyau de calcite et rc est d´efini comme le rayon de l’inclusion (cf. Figure 5.3). ρ = (rc−rnoy)/rnoy est le rapport entre l’´epaisseur de la couche et le rayon du noyau. La relation entre ρ et la fraction volumique de chacune des phases du milieu est la suivante :

(1 +ρ)3−1 =fc/(1−f −fc) (5.15) On est ainsi ramen´e `a un probl`eme d’Eshelby g´en´eralis´e (Dormieux et al., 2007), car la phase solide n’est pas homog`ene, ayant la structure suivante :

 o`u knoy, µnoy, kc et µc sont respectivement les modules de compressibilit´e et de cisaillement homog´en´eis´es du noyau et de la couche microporeuse. La solution de ce probl`eme nous permet d’estimer (σIIII) qui sont reli´es `a la contrainte moyenne et la d´eformation moyenne dans l’inclusion par les expressions :

σinc= 3

Notre objectif est d’estimer les moyennes de la contrainte et de la d´eformation dans la phase solide du VER. On admet que celles-ci sont ind´ependantes des grains ´etudi´es :

∀i, σGiincGiinc) (5.21) L’´equation (5.8) prend donc la forme :

Σ= (1−f)σinc (5.22)

La r`egle de moyenne des d´eformations donne :

E=fǫp+ (1−f)ǫGi =f(I−Ssphac )−1 :E0+ (1−f)ǫinc (5.23) Pour d´eterminer les deux constantes macroscopiques inconnueskac etµac, il suffit de consid´erer successivement deux sollicitations E0 respectivement purement isotrope et d´eviatorique. On commence par traiter le probl`eme (5.16) pour le choix d’une sollicitation isotrope de la forme E0 = E01. La solution analytique de ce probl`eme poss`ede la structure suivante :

ξ(z) =

les coefficients Ai et Bi d´ependant du domaine consid´er´e (Anoy, Bnoy pour le noyau, Ac et Bc

pour la couche microporeuse etAac etBac pour le milieu homog´en´eis´e). Les six coefficients sont d´etermin´es `a l’aide des continuit´es du d´eplacement et du vecteur contrainte aux fronti`eres entre les domaines ainsi que la condition aux limites `a l’infini, compte tenu du choix de E0.

Une fois que le champ de d´eplacement ξ(z) est d´etermin´e, la contrainte moyenne et la d´eformation moyenne dans la phase solide et la phase poreuse sont estim´ees par les ´equations (5.13), (5.18) et (5.19). En rempla¸cant (5.22) et (5.23) dans (5.10), on obtient une ´equation de la forme suivante :

kac =F(knoy, µnoy, kc, µc, ρ, f)µac (5.25) On consid`ere ensuite une sollicitation purement d´eviatorique :E0 =E0(e1 ⊗e3+e3⊗e1).

L’id´ee consiste `a rechercher, dans chaque phase, le champ de d´eplacement :

ξi(z) =ξri(r) sin(2θ) cos(φ)erθicos(2θ) cos(φ)eθφi(r) cos(θ) cos(φ)eφ (5.26) Dnoy etBac sont ´egaux `a z´ero. Comme pr´ec´edemment, les coefficients inconnus sont d´etermin´es

`a l’aide des conditions de continuit´es et des conditions aux limites. En rempla¸cant (5.22) et (5.23) dans (5.10) et utilisant (5.25), on montre que le module de cisaillement homog´en´eis´e est la solution d’une ´equation du 4`eme degr´e :

X1ac)4 +X2ac)3+X3ac)2+X4µac+X5 = 0 (5.28) o`u X1, X2, X3, X4 et X5 sont des fonctions polynomiales de knoy, kc, µnoy, µc, ρ et f. La r´esolution de deux ´equations (5.28) et (5.25) nous permet d’estimer les valeurs kac et µac qui sont des fonctions de knoynoy, kc, µc,ρ et f :

kac =kac(knoy, µnoy, kc, µc, ρ, f); µacac(knoy, µnoy, kc, µc, ρ, f) (5.29)

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