Heuristiques et m´ ethodes exactes en PLNE

Les m´ethodes exactes et heuristiques sont des approches compl´ementaires qui permettent de s’enrichir mutuellement : les m´ethodes exactes peuvent ˆetre utilis´ees avec succ`es dans un sch´ema d’hybridation, tandis que les heuristiques peuvent acc´el´erer la convergence de m´ethodes exactes. De telles hybridations ont ´et´e engendr´e le terme de matheuristique. Nous traitons dans cette section les hybridations entre des m´eta-heuristiques et des m´ethodes de PLNE intervenant dans la suite de la th`ese. La programmation dynamique pr´esente ´egalement un potentiel hybride, nous r´ef´erons `a [44]) et [73].

Heuristiques primales en Branch&Bound L’am´elioration des heuristiques primales a permis des avanc´ees pratiques. Trouver plus rapidement d’excellentes solutions permet de couper plus tˆot des branches de l’arbre de Branch&Bound, ce qui acc´el`ere la convergence. En outre, un solveur de PLNE peut alors ˆetre utilis´e dans une vis´ee heuristique en temps contraint. Les heuristiques primales du Branch&Bound sont `a la fois constructives et perturbatives. On pourra se reporter `a [27] pour plus de d´etails. Ces id´ees ont ´et´e

1.5. HEURISTIQUES 47 depuis ´etendues en Branch&Price dans [75].

La construction naturelle de solutions en Branch&Bound est d’effectuer des branchements jusqu’`a obtenir une solution enti`ere, ce qui revient `a plonger dans l’arbre de Branch&Bound jusqu’`a obtenir une feuille. Des telles heuristiques de plongements ”diving heuristics”, sont incorpor´ees dans les r`egles de branchements, la fr´equence de recherche de solutions par plongement est un param`etre de la r´esolution Branch&Bound. Les derni`eres versions de Cplex utilisent la parall´elisation pour s´electionner les meilleurs branchements `a consid´erer `a partir d’une mˆeme situation, en permettant de collecter les meilleures in- formations des diff´erentes explorations. En particulier, en utilisant des r`egles de branchements orient´ees sur la recherche de solutions en parall`ele de branchements plus ´equilibr´es pour la convergence globale permet de mieux utiliser les heuristiques de plongements. De telles heuristiques sont insuffisantes, il est avantageux d’avoir des bonnes solutions avant tout branchement. Disposer initialement d’une bonne so- lution, est souvent int´eressant comme d´emarrage `a chaud, ce qui fournit une premi`ere hybridation m´eta- heuristique/Branch&Bound.

Les heuristiques constructives ”rounding heuristics” s’appuient sur la relaxation continue, pour d´eduire du PLNE initial un petit PLNE apr`es avoir fix´e toutes les variables enti`eres (ou suffisamment proches d’en- tiers `a la d´efinition d’un seuil pr`es) de la relaxation continue, pour lequel un petit calcul de Branch&Bound permet d’obtenir rapidement une solution. Une telle approche est souvent inefficace, en particulier en menant `a des PLNE infaisables. Une variante plus ´elabor´ee, ”Feasibility Pump” (FP), a ´et´e introduite introduite dans [53] pour des PLNE `a variables binaires, am´elior´ee dans [4], et g´en´eralis´ee `a tous les PLNE dans [26]. Feasibility Pump cherche `a partir du vecteur de solution continue la solution enti`ere la plus proche (au sens d’une distance d´efinie avec la norme 1). Math´ematiquement, pour le PLNE min<sub>Ax>b</sub>cx o`u les variables x sont binaires de solution relˆach´ee continue ˜x, on consid`ere le probl`eme d’optimisation min_Ax>b∆(x, ˜x, o`u ∆(x, ˜x) =X

i

|xi− ˜xi|. Si un tel PLNE ne r´eduit pas l’ensemble des solutions r´ealisables, l’orientation de la fonction objectif rend la r´esolution Branch&Bound bien plus efficace, avec une exploration guid´ee autour de la solution continue. La lin´earisation d´efinit pour tout indice j ∈ J tel que 0 < ˜xj < 1, des variables x+_j , x−_j > 0, telles que xj = ˜xj + x+_j − x−_j :

min x∈{0,1}m_,x+ j,x − j>0 X i:˜xi=0 xi+ X i:˜xi=1 (1 − xi) + X j∈J (x+_j + x−_j) s.c : Ax > b ∀j ∈ J xj = ˜xj+ x+j − x − j (1.55)

Une fois qu’une solution primale est connue, des heuristiques perturbatives permettent d’am´eliorer la solution courante, `a tout nœud de l’arbre de Branch&Bound. Nous citons tout d’abord l’heuristique Relaxation Induced Neighborhood Search (RINS) introduite dans [46]). L’id´ee est d’utiliser non seulement la solution de la relaxation continue, mais ´egalement la meilleure solution trouv´ee. Les variables communes `

a ces deux vecteurs sont fix´ees, et un petit calcul de PLNE est effectu´e sur les variables restantes, avec un faible temps de calcul allou´e. L’heuristique ”Local branching”, introduite dans [54], est une recherche locale utilisant uniquement la solution courante. Les voisinages sont d´efinis par une distance `a la solution courante, en consid´erant un param`etre k ∈ N indiquant le nombre maximal de modifications par rapport `

a la solution courante. Similairement `a l’approche ”Feasibility Pump”, cela se ram`ene `a une formulations PLNE o`u la combinatoire est r´eduite par rapport au probl`eme initial. Dans le cas d’un PLNE avec des variables binaires xi for i ∈ I ayant la valeur x0i dans la solution courante, les voisinages sont d´efinis en ajoutant les contraintes lin´eaires : X

i:x0 i=1 xi+ X i:x0 i=0

(1 − xi) 6 k. Ces voisinages param´etriques ont pu ˆetre incorpor´es dans une VNS pour une meilleure efficacit´e dans [99]. Variable Neighborhood Decomposition Search (VNDS) a ´egalement abouti `a des heuristiques primales efficaces, nous r´ef´erons `a [84].

Apport d’heuristiques dans la stabilisation d’une m´ethode de d´ecomposition Dans le cadre d’une impl´ementation d’un sch´ema de d´ecomposition, les approches heuristiques peuvent fournir des ap- ports consid´erables en terme de temps de calcul (en r´eduisant les temps de calcul pour chaque it´eration) et de stabilisation (en diminuant le nombre d’it´erations n´ecessaires `a la preuve de la convergence).

Dans le cas d’un sch´ema de g´en´eration de colonne, les premi`eres it´erations servent uniquement `a g´en´erer des colonnes de coˆut r´eduit n´egatif. Une heuristique fournissant rapidement de telles colonnes permet de limiter le temps de calcul des probl`emes esclaves, pr´epond´erants dans le temps de calcul de l’algorithme complet. Les heuristiques permettent ´egalement de diminuer le nombre d’it´erations n´ecessaires, en g´en´erant plusieurs colonnes de coˆut r´eduit n´egatif. Une telle stabilisation est r´ealis´ee dans [94]. Dans ce cas, l’util- isation de m´eta-heuristiques de populations est ´egalement int´eressante, Fournir de meilleures solutions initiales dans le processus de g´en´eration de colonne, avoir une population de solutions initiales r´ealisables permet d’avoir une meilleure approximation du dual.

Dans le cadre de la d´ecomposition de Benders, l’utilisation de la PPC peut remplacer avantageusement un solveur de PLNE dans le calcul du probl`eme maˆıtre, suivant l’approche mise en œuvre dans [25] pour un probl`eme d’ordonnancement o`u les question de faisabilit´es s’av`erent pr´epond´erantes. La PPC peut aussi ˆetre utilis´ee avantageusement pour renforcer des coupes de Benders, notamment pour d´etecter un ensemble minimal de variables engendrant un conflit, comme dans l’´equation (1.33). On se reportera `a [110] pour de telles applications appliqu´ees `a des coupes de Benders, et `a [3] pour un cadre plus g´en´eral en PLNE. Apport de m´ethode exactes de PL/PLNE dans une m´eta-heuristique Les approches exactes peuvent se d´eriver en une m´eta-heuristique de multiples mani`eres. Une premi`ere possibilit´e pour repousser les limites de calcul des approches exactes est de fixer pr´ealablement des variables de mani`ere heuristique pour d´eriver un calcul heuristique o`u l’approche exacte est envisageable, comme dans [51]. Les approches exactes sont aussi tr`es bien adapt´ees pour une hybridation de bas niveau interne `a une m´eta-heuristique, pour traiter des plus petits sous-probl`emes. Les approches de type POPMUSIC ([116]) permettent de r´eduire les espaces de recherches `a fournir `a une approche exacte, ce qui fournit naturellement une hy- bridation partielle. Tout op´erateur d’une m´eta-heuristique peut ˆetre remplac´e par une recherche optimale r´ealis´ee par une m´ethode exacte, pour fournir des hybridations sp´ecialis´ees. [45] remplace des op´erateurs d’algorithmes ´evolutionnaires par de la recherche de solutions B&B. L’article [114] op`ere le B&B dans une recherche locale VNS, ce qui permet de d´efinir de grands voisinages.

Les relaxations fournies par des m´ethodes exactes peuvent aussi servir `a guider des m´eta-heuristiques. La relaxation lagrangienne ´etait ainsi souvent utilis´ee dans un tel objectif, avant les progr`es des capacit´es de cal- culs et algorithmiques permettant l’impl´ementation de Branch&Price efficaces. On parle alors d’heuristique lagrangienne, on r´ef´erera `a [18] pour une hybridation avec un algorithme particulaire PSO. Plus r´ecemment, il a ´et´e d´evelopp´e dans [104] un algorithme g´en´etique pour le probl`eme d’affectation ”generalized assign- ment”, o`u la relaxation continue est exploit´ee pour cr´eer une population de solutions initiales par une proc´edure d’arrondis et apr`es des proc´edures de r´eparation et d’am´eliorations locales.

Chapitre 2

Gestion de production ´electrique

R´esum´e : Ce chapitre introduit le contexte industriel de la gestion de production d’´electricit´e, et le contexte acad´emique de l’Unit Commitment Problem, avant de pr´esenter les probl`emes d’applications de la th`ese et leur ´etat de l’art sp´ecifique. Le premier probl`eme d’application, UCPd, se distingue de l’UCP acad´emique par les contraintes de dur´ees minimales sur des paliers et des puissances discr`etes. Le second probl`eme d’application s’int´eresse `a la planification des arrˆets de maintenance et de rechargement des centrales nucl´eaires. Ce dernier probl`eme a fait l’objet du challenge EURO/ROADEF 2010.

Ce chapitre introduit le contexte industriel et acad´emique de gestion de production d’´electricit´e, dans lequel s’inscrivent les probl`emes d’application de la th`ese. Apr`es avoir d´ecrit le contexte national de pro- duction d’´electricit´e, nous introduisons l’Unit Commitment Problem (UCP), le probl`eme acad´emique d’op- timisation de la production d’´electricit´e, et l’´etat de l’art de sa r´esolution. Nous d´efinissons ensuite les probl`emes d’applications de la th`ese : un UCP discret mod´elisant des unit´es thermiques `a horizon jour- nalier et la planification des arrˆets de maintenances et de rechargement des centrales nucl´eaires `a un horizon pluriannuel.

2.1

Contexte national de production d’´electricit´e

Pour cerner les besoins de mod´elisation des probl`emes d’applications, nous introduisons dans cette section le contexte national de la production d’´electricit´e, et les processus d´ecisionnels associ´es.

Figure 2.1 – Evolution annuelle de la con-

sommation d’´electricit´e en France _{Figure 2.2 – ´Evolution de la demande au cours d’une ann´ee}