cerne les d´ecisions d’investissements d’infrastructures (renouvellement du parc, nouvelles technologies . . .). Sur un horizon pluriannuel de 3 `a 5 ans, on planifie les arrˆets des tranches nucl´eaires pour les maintenances et les rechargements du combustible. Sur l’horizon annuel, les valeurs d’usage des stocks hydraulique et nucl´eaire sont calcul´ees, pour d´efinir la strat´egie de passage de l’hiver prochain, et n´egocier si n´ecessaire des contrats d’approvisionnement compl´ementaires. `A l’horizon hebdomadaire (7 `a 12 jours), des simulations sont effectu´ees, en vue de d´eclencher des options tarifaires comme les EJP. L’horizon journalier (1 `a 2 jours) d´etermine le programme de production court terme pour RTE, tandis que l’horizon infra-journalier sert `a adapter la production presque en temps continu suivant les ´evolutions r´eelles.
Plus l’horizon de temps se rapproche du temps r´eel, plus les pas de temps des probl`emes d’optimisation se sont fins, induisant des mod´elisations de contraintes de plus en plus fines. `A plus long terme, on peut s’autoriser des agr´egations pour calculer des indicateurs globaux. Sur les probl`emes journaliers, les pas de temps sont de 30 minutes, alors qu’ils sont de l’ordre de la journ´ee pour les probl`emes des horizons de temps plus lointains. Les contraintes dynamiques de production sur le parc thermique doivent figurer sur des pas de temps de 30 minutes, l`a o`u elles ne seraient pas visibles sur un pas de temps d’une journ´ee. Inversement, plus l’horizon de temps est lointain, plus les al´eas `a consid´erer sont importants. Le probl`eme court terme est d´eterministe, grˆace `a des estimations de demandes fiables, et par le placement de r´eserves.
2.2
Unit Commitment Problem
Le Unit Commitment Problem (UCP), probl`eme acad´emique de r´ef´erence, se d´efinit comme le probl`eme d´ecisionnel de s´election d’unit´es de production, et de placement de la production des centrales ´electriques pour satisfaire une demande pr´evisionnelle. UCP pr´esente naturellement une structure `a deux niveaux, exploit´ee dans [28] et [117]. Les d´ecisions de premier niveau sont les d´ecisions d’arrˆet et de fonctionnement, reli´ees aux contraintes d’inertie de d´emarrage et d’arrˆet des centrales. Le second niveau plus r´eactif, place la production une fois que les unit´es actives ont ´et´e s´electionn´ees.
2.2.1 Mod´elisation en PLNE de l’Unit Commitment Problem
On fournit ici la mod´elisation PLNE de l’UCP acad´emique. On consid`ere des coˆuts de d´emarrages dans la formulation ´eventuellement nuls si ce n’est pas ainsi mod´elis´e. On introduit tout d’abord les variables binaires xu,t (dites de ”set up”) pour d´ecrire le fonctionnement d’une centrale u au pas de temps t. Ces variables sont n´ecessaires pour ´ecrire les coˆuts fixes dans la fonction objectif, mais aussi dans les contraintes de bornes de puissance et imposer une puissance produite nulle si xu,t = 0. Pour les coˆuts de d´emarrage, on introduit ´egalement des variables binaires de d´emarrages yu,t, dites de ”start up”, pour indiquer si la centrale u est d´emarr´ee `a l’instant t. Si ces variables d´ependent uniquement des variables xu,t, avec la formule yu,t= max(xu,t− xu,t−1, 0), le proc´ed´e de lin´earisation revient en fait exactement `a introduire ces variables. Pour les puissances et les r´eserves de puissance, on introduit pour toute centrale `a chaque pas de temps des variables continues Pu,t et Ru,t. Avec une telle mod´elisation, nous avons la formulation PLNE ci dessous.
Le crit`ere `a minimiser (2.1) comprend les coˆuts fixes de fonctionnement Cuf ix, les coˆuts proportionnels `
a la puissance produite Cuprp, et les coˆuts de d´emarrages Cudem(les coˆuts d’arrˆet sont nuls). Les contraintes (2.2) couplent les variables binaires, d´efinissant les variables de d´emarrages sur une variation des variables x. Les contraintes (2.3) et (2.4), contraintes de dur´ees minimales de fonctionnement et d’arrˆet seront expliqu´ees `a la section 2.2.3. Les contraintes (2.5) codent les conditions initiales en puissance. Les conditions initiales de dur´ees fonctionnement ou d’arrˆet `a l’instant 0 sont report´ees par extension de (2.3) et (2.4). Les
contraintes (2.6) et (2.7) expriment les contraintes de demandes en puissances et en r´eserves `a tout instant. Les contraintes (2.8) et (2.9) expriment les bornes de puissance produites et le couplage entre variables binaires et variables continues, la puissance produite est nulle pour une unit´e arrˆet´ee.
min x,y,P >0 X u∈U X t∈T
CuprpPu,t+ Cuf ixxu,t+ Cudemyu,t (2.1)
∀u ∈ U , ∀t ∈ T , xu,t− xut−16 yu,t (2.2)
∀u ∈ U , ∀t ∈ T , t X t0=t−Lu+1 yu,t0 6 xu,t (2.3) ∀u ∈ U , ∀t ∈ T , t X t0=t−lu+1 yu,t0 6 1 − xu t−lu (2.4) ∀u ∈ U , P0u = Puinit (2.5) ∀t ∈ T , P u∈UPu,t = DPt (2.6) ∀t ∈ T , P u∈URu,t = DRt (2.7)
∀u ∈ U , ∀t ∈ T , xu,t.Pumin+ Ru,t6 Pu,t (2.8) ∀u ∈ U , ∀t ∈ T , Pu,t 6 xu,t.Pumax− Ru,t (2.9)
∀u ∈ U , ∀t ∈ T , 0 6 Ru,t 6 Rmaxu (2.10)
∀u ∈ U , ∀t ∈ T , xu,t, yu,t∈ {0, 1} (2.11)
La port´ee de ce mod`ele est limit´ee en pratique. Les unit´es ont ici un fonctionnement ind´ependant les unes des autres, ce qui n’est pas valide pour des unit´es hydrauliques, o`u les couplages entre unit´es d’une vall´ee sont tr`es dimensionnants. Cette mod´elisation est plus utilis´ee comme aide `a la d´ecision pour des mod`eles macroscopiques, `a assez long terme, o`u l’hydraulique doit ˆetre agr´eg´e ou d´efalqu´e de la demande.
2.2.2 R´esolution de probl`emes de type UCP, ´etat de l’art
La famille des probl`emes UCP est vaste, les mod´elisations diff´erant suivant le contexte op´erationnel. On r´esume ici quelques approches utilis´ees avec succ`es sur des variantes d’UCP.
Approches bas´ees sur des m´ethodes exactes L’article [11] fournit une mod´elisation acad´emique de l’UCP en programmation mixte en nombres entiers, o`u les courbes de d´emarrages sont calcul´ees finement, ce qui est dimensionnant pour le fonctionnement r´eel, l`a o`u la mod´elisation pr´ec´edente n´eglige l’inertie des d´emarrages, et les diff´erentes courbes de d´emarrages possibles. L’approche est frontale en PLNE, tirant partie d’une diminution judicieuse du nombre de variables binaires. En effet, le fait que les variables xu,t soient enti`eres et que la minimisation en yu,t soit avec des coefficients strictement positifs implique que le probl`eme avec la relaxation continue des yu,t a la mˆeme valeur que le probl`eme avec des variables de d´emarrage enti`eres.
Sur le probl`eme de production journali`ere d´efini avec les contraintes mentionn´ees `a la section 2.1.3, cela n´ecessite d’introduire des variables binaires pour mod´eliser le fonctionnement des centrales thermiques et les unit´es hydrauliques. L’approche industrialis´ee est pr´esent´ee dans [107], [49] et [87]. La m´ethode est bas´ee sur une m´ethode exacte, par relaxation lagrangienne des contraintes de demandes. Des sous blocs ind´ependants sont form´es par les unit´es nucl´eaires, ou par une vall´ee hydraulique comprenant de nombreuses usines. C’est en fait la relaxation lin´eaire qui est calcul´ee par une m´ethode de faisceaux (pour permettre une r´esolution en 15 minutes, temps imparti dans le processus op´erationnel). Les variables duales sont
2.2. UNIT COMMITMENT PROBLEM 55 calcul´ees `a cette ´etape et sont interpr´et´ees ´economiquement comme des coˆuts marginaux qui permettent de calculer des solutions enti`eres dans un second temps, sur des probl`emes d´ecoupl´es.
Approches heuristiques Pour r´esoudre des probl`emes d’UCP sur de grandes tailles de donn´ees, de nom- breuses approches ont ´et´e d´evelopp´ees. De nombreuses publications ont utilis´e des approches ´evolutionnistes et plus particuli`erement g´en´etiques. Nous mentionnons [12] pour une approche parall´elisable, [42] pour une hybridation avec un algorithme g´en´etique guid´ee par une heuristique lagrangienne, et [92] pour une hy- bridation avec un algorithme de recherche tabou. R´ecemment, le formalisme VNS a donn´e d’excellents r´esultats sur un probl`eme de type Unit Commitment dans [121].
2.2.3 Contraintes dynamiques
Les articles [105] et [85] d´eveloppent une mod´elisation efficace du poly`edre form´e par les variables de set up xut avec les contraintes de dur´ee minimale d’arrˆet lu, et de dur´ee minimale de fonctionnement Lu. La formulation de [85] se base uniquement sur les variables de set up xut.
Th´eor`eme 2.2.1 Les contraintes de dur´ees minimales d’arrˆet et de fonctionnement peuvent s’´ecrire re- spectivement de la mani`ere suivante avec les variables xut :
∀u ∈ U , ∀1 6 t < τ 6 min(T, t + Lu), xut − xut−16 xuτ (2.12) ∀u ∈ U , ∀1 6 t < τ 6 min(T, t + lu), xut−1− xut 6 1 − xuτ (2.13) Pour toute tranche fix´ee, ces contraintes ne suffisent pas `a d´ecrire le poly`edre entier correspondant PT(l, L). Pour am´eliorer la description et le relˆach´e continu, leur article expose des coupes valides, qui de plus permettent de d´ecrire le poly`edre entier, pour une application dans un algorithme de type Branch&Cut : Th´eor`eme 2.2.2 Soit k ∈ N∗ un entier non nul. On consid`ere un ensemble d’entiers disjoints de T : ϕ(1) < ψ(1) < ϕ(2) < ψ(2) < · · · < ϕ(k) < ψ(k) < ϕ(k + 1) tels que ϕ(k + 1) − ϕ(1) 6 L (resp 6 l). On a les coupes suivantes valides pour le poly`edre PT(l, L) :
− k+1 X j=1 xϕ(j)+ k X j=1 xψ(j)6 0 resp k+1 X j=1 xϕ(j)− k X j=1 xψ(j) 6 1 (2.14)
Ces coupes g´en`erent exactement une description lin´eaire de PT(l, L).
Dans l’article [105], on rajoute les variables yut de d´emarrage, utiles `a la mod´elisation des coˆuts de d´emarrage. L’article [105] prouve tout d’abord que les in´egalit´es de couplage ´ecrites entre xu,tet yu,tforment une facette du poly`edre correspondant. De plus, il est remarqu´e qu’il existe une relation lin´eaire entre zu,t, variables binaires indiquant si l’unit´e u est arrˆet´ee `a l’instant t, avec xu,t et yu,t : zu,t = yu,t+ xu,t−1− xu,t. Les contraintes de d´emarrage et d’arrˆet qui couplent les xut et yut sont ´ecrites comme suit :
∀u ∈ U , ∀t ∈ [[Lu+ 1, T ]], t X t0=t−Lu+1 yu,t0 6 xu,t (2.15) ∀u ∈ U , ∀t ∈ [[lu+ 1, T ]], t X t0=t−lu+1 yu,t0 6 1 − xut−lu (2.16)
On peut obtenir la formulation [105] par le processus de coupes de cliques (cf [113]). Les contraintes peuvent s’´ecrire avec des yu,t0 6 xu,t, correspondant `a l’implication qu’un d´emarrage entraˆıne sur les vari-
ables de fonctionnement suivantes. De plus, deux d´emarrages sont espac´es d’au moins lu+ Lu pas de temps,
par les contraintes de dur´ees minimales d’arrˆet. En consid´erant la contrainte implicitePt0+lu+Lu
t=t0 y
u t 6 1, comprise dans les ´equations pr´ec´edentes, on obtient alors la formulation de [105] par regroupement sur des cliques. On note CT(l, L) l’enveloppe convexe des points r´ealisables entiers `a tranche u fix´ee. La force de cette formulation r´eside dans la description du poly`edre :
Th´eor`eme 2.2.3 Les familles d’in´egalit´es (2.15) et (2.16) dominent les coupes (2.14). Enfin, les familles d’in´egalit´es (2.15) et (2.16) associ´ee aux in´egalit´es triviales yt > 0 et xu,t− xu,t−1 > yu,t fournissent une description de CT(l, L). De plus, la projection sur l’espace des xt de CT(l, L) est exactement PT(l, L).
Il est ´egalement prouv´e dans l’article [105] que cette formulation contient les coupes de l’article [85], par projection sur l’espace des xut. Avec la positivit´e des variables et la contrainte (0.1), on a une description exacte de l’enveloppe convexe du polytope min up-min down avec les variables de d´emarrages.