II. Modules
7. Hauptidealsatz
Le nom de ce paragraphe signifie en allemand « théorème de l’idéal principal ». Il majore la hauteur d’un idéal principal dans un anneau noethérien.
Rappelons que la hauteur d’un idéal premier p dans un anneau A est le supremum des longueurs n des chaînes d’idéaux premiers de A terminant en p, c’est-à-dire du type p = pn ) · · · ) p1) p0. C’est aussi la dimension de Krull de l’anneau local Ap. Si I ( A est un idéal propre, on notera encore ht(I) l’infimum des hauteurs ht(p), où p est un idéal premier de A contenant I. On a toujours l’inégalité
ht(I) + dim(A/I) ≤ dim(A).
De nouveau, dans les « bons » anneaux (où l’on a égalité), il faut penser à la hauteur de I comme à sa « codimension » : elle est égale à dim(Spec(A)) − dim(V (I)).
Théorème 7.1 (Krulls Hauptidealsatz). — Soit A un anneau noethérien et soit a un élément de A. Pour tout idéal premier minimal p contenant(a), on a ht(p) ≤ 1. En particulier, si a n’est pas inversible, ht((a)) ≤ 1.
Démonstration. — Soit p un idéal premier minimal contenant (a). Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe une chaîne p = p2 ) p1 ) p0 d’idéaux premiers de A. Si on remplace A par A/p0, on se ramène au cas p0= 0 (l’anneau est en particulier intègre) ; si on remplace ensuite A par Ap, on se ramène finalement au cas où A est un anneau intègre local noethérien d’idéal maximal m avec un élément a tel que m est le seul idéal premier de A contenant a. Autrement dit, l’anneau B := A/(a) a un seul idéal premier. Nous utiliserons les notations et résultats de l’exerc. 4.13.
Prenons b ∈ p1non nul. Soit n ∈ N∗; nous allons considérer M := A/(an) comme un B-module. Notons M1le noyau de son endomorphisme « multiplication par b », M3son image et M2:= M/M3son conoyau. On a
M1 = {x ∈ M | xb ∈ (an)} ' ((an) : b)/(an), M2 = A/(an)
bA/(an) ' A/(an, b). Comme M3' M/M1et M2= M/M3, nous avons d’autre part (exerc. 4.13.e))
7. HAUPTIDEALSATZ 83
de sorte que `(M1) = `(M2).
D’autre part, pour tout x ∈ M1, il existe y ∈ A tel que xb = yan. On a en particulier y ∈ ((b) : an). Comme x est bien défini à addition d’un multiple de anprès et que A est intègre, x est bien défini à addition d’un multiple de b près et l’association x 7→ y définit un isomorphisme ((an) : b)/(an) ' ((b) : an)/(b) de A-modules.
Comme A est noethérien, la suite croissante d’idéaux ((b) : an) de A est stationnaire, donc ((b) : an) = ((b) : an+1) pour un entier n > 0 assez grand. On en déduit un isomorphisme
((an) : b)/(an) ' ((an+1) : b)/(an+1)
de A-modules, donc aussi de B-modules. Ils ont donc la même longueur. Il s’ensuit que les B-modules A/(an, b) et A/(an+1, b) ont aussi la même longueur. Cela entraîne (exerc. 4.13.e)) que la surjection canonique A/(an+1, b) → A/(an, b) est un isomorphisme, donc que l’on a (an, b) = (an+1, b). Il existe donc des éléments x et y de A tels que an= xan+1+ yb, c’est-à-dire an(1 − xa) = by.
Mais 1 − xa est une unité de A (lemme 3.7), donc an ∈ (b) ⊆ p
1et a ∈ p1. Mais c’est absurde car p est un idéal premier minimal contenant a. Ceci termine donc la démonstration.
On généralise le théorème précédent ainsi.
Théorème 7.2. — Soit A un anneau noethérien et soit I un idéal propre de A engendré par n éléments. Pour tout idéal premier minimal p contenantI, on a ht(p) ≤ n. En particulier, ht(I) ≤ n.
Dans un « bon » anneau A, ce théorème dit que la partie fermée de Spec(A) correspondant à un idéal engendré par n éléments est de codimension au plus n (cor. 14.7).
On n’a bien sûr pas toujours égalité (on peut toujours ajouter des générateurs « inutiles ») ; plus sérieu- sement, si ht(I) = n, il n’est pas toujours possible d’engendrer I avec seulement n éléments(9).
Démonstration. — On procède par récurrence sur n, le cas n = 1 étant le théorème précédent. Comme dans la preuve précédente, on se ramène au cas où A est un anneau intègre local noethérien d’idéal maximal m ; si a1, . . . , anengendrent un idéal I ⊆ m tel que m est le seul idéal premier de A contenant I, il s’agit de montrer ht(m) = dim(A) ≤ n.
Supposons au contraire qu’il existe une chaîne m = pm) · · · ) p1) (0) d’idéaux premiers de A avec m > n. Comme A est noethérien, on peut supposer que pm−1est maximal parmi tous les idéaux premiers strictement contenus dans m. L’idéal pm−1 ne contient pas tous les ai; supposons an ∈ p/ m−1. L’idéal pm−1+ (an) n’est alors contenu dans aucun autre idéal premier de A autre que m, qui est donc son radical (lemme 3.2.b)).
Pour chaque i ∈ {1, . . . , n − 1}, on a ai ∈ m ; il existe donc un entier r > 0 tel que ari ∈ pm−1+ (an) pour tout i. On écrit ari ∈ xi + yian, avec xi ∈ pm−1 et yi ∈ A. On a (ar1, . . . , arn−1, an) = (x1, . . . , xn−1, an), donc le seul idéal premier de A contenant (x1, . . . , xn−1, an) est m.
Posons J := (x1, . . . , xn−1). Dans l’anneau quotient A := A/J , cela signifie que le seul idéal premier de A contenant l’idéal principal (an) est m := m/J . Le th. 7.1 entraîne ht(m) ≤ 1. Comme on a m ) pm−1/J , cela signifie que pm−1 est un idéal premier minimal contenant J . L’hypothèse de récurrence entraîne alors m − 1 ≤ n − 1, d’où le théorème.
Corollaire 7.3. — La hauteur de tout idéal propre d’un anneau noethérien est finie. Corollaire 7.4. — La dimension d’un anneau local noethérien est finie.
9. Si K un corps, l’idéal (XY, Y Z, ZX) de l’anneau K[X, Y, Z] est de hauteur 2 (cf. exerc. 4.28 et cor. 14.2), mais ne peut être engendré par 2 éléments (c’est difficile à montrer !).
Exercice 7.5. — Soit A un anneau local noethérien d’idéal maximal m. On pose B = A[X]. Soit I un idéal de A de radical m et soit J un idéal de B contenu dans mB tel que J + XB = IB + XB.
a) Montrer que mB + XB est un idéal maximal de B qui est le radical de IB + XB.
b) Dans l’anneau B := B/J , montrer que l’idéal (mB + XB)/J est un idéal premier minimal contenant l’idéal principal (X).
c) En déduire que mB est un idéal premier minimal contenant J (Indication : on pourra utiliser le th. 7.1). Exercice 7.6 (Eagon-Northcott). — Soit A un anneau noethérien et soit M ∈Mm×n(A) une matrice à coef- ficients dans A. Soit I l’idéal de A engendré par les r × r mineurs de M . Le but de cet exercice est de montrer que pour tout idéal premier minimal p contenant I, on a(10)
ht(p) ≤ (m − r + 1)(n − r + 1).
a) Montrer que cette inégalité est vraie lorsque m = 1. On procède par récurrence sur m. b) Montrer que l’inégalité est vraie lorsque r = 1.
c) Montrer qu’on peut supposer A local d’idéal maximal m = p, égal au radical de I.
d) Montrer que si un des coefficients de M est une unité de A, l’inégalité est vraie (Indication : on pourra utiliser des opérations élémentaires pour se ramener à une matrice de taille (m − 1) × (n − 1)). e) On suppose r > 1 et que tous les coefficients de M sont dans m, et on pose B = A[X]. Soit N ∈
Mm×n(B) la matrice obtenue à partir de M en changeant le coefficient a11en a11+ X, et soit J l’idéal de B engendré par les r × r mineurs de N . Montrer J ⊆ mB et J + XB = IB + XB. En déduire ht(mB) ≤ (m − r + 1)(n − r + 1) (Indication : on pourra utiliser l’exerc. précédent, puis travailler dans l’anneau local BmBet utiliser d)).
f) Montrer ht(m) ≤ ht(mB) et conclure.
Exercice 7.7 (Anneaux locaux réguliers). — Soit A un anneau local noethérien d’idéal maximal m. On note κ le corps A/m (on l’appelle le corps résiduel de l’anneau local A).
a) Montrer que m/m2est naturellement muni d’une structure de κ-espace vectoriel de dimension finie. b) Montrer que dimκm/m2est égal au nombre minimum de générateurs de l’idéal m de A (Indication : on
pourra utiliser le lemme de Nakayama (th. II.3.8)).
c) Montrer dim(A) ≤ dimκm/m2. On dit que l’anneau local A est régulier s’il y a égalité.
d) Soient m et n des entiers strictement positifs et soit A le localisé de l’anneau quotient C[X, Y ]/(Xm− Yn) en l’idéal maximal (X, Y ). Avec les notations précédentes, calculer dim
κm/m2 en fonction de m et n. Déterminer les paires (m, n) pour lesquelles l’anneau A est régulier (Indication : on pourra utiliser le fait que l’anneau A est de dimension 1 (cor. 11.14)).